移動(dòng)重疊構(gòu)造全等

來林芳

摘 要：輔助線的添加，一直是幾何教學(xué)中的難點(diǎn)，而構(gòu)造全等三角形是一種常見的構(gòu)造方法，就已知線段相等時(shí)，通過經(jīng)歷移動(dòng)重疊的探索過程，探究出構(gòu)造全等三角形的一些方法。

關(guān)鍵詞：輔助線；構(gòu)造；重疊；全等三角形

人人都說幾何難，難就難在添輔助線，如何讓學(xué)生既快又準(zhǔn)地添加輔助線，一直是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。當(dāng)已知條件中含有線段相等時(shí)，我們經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)造全等三角形來解決問題。構(gòu)造兩字說起來簡(jiǎn)單，可對(duì)大部分學(xué)生來說卻比登天還難。如何突破構(gòu)造全等三角形的難點(diǎn)？讓移動(dòng)重疊來揭開它神秘的面紗吧！

一、題目呈現(xiàn)和解答

例1：如圖1所示，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，設(shè)CD的長(zhǎng)為x，四邊形ABCD的面積為y，求 y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式。

【分析】題目要求y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式，而四邊形ABCD的形狀為不規(guī)則四邊形，因此需要把不規(guī)則圖形利用割或補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。此題涉及全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理、求二次函數(shù)解析式等知識(shí)。解此題的關(guān)鍵在于如何通過添加輔助線，將求不規(guī)則四邊形面積的問題轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來求。通過構(gòu)造全等三角形來轉(zhuǎn)化，可得如下解題方法。

這是二次函數(shù)第一講作業(yè)中的最后一題。從學(xué)生的完成情況來看，全班37位學(xué)生，僅3位學(xué)生做正確，另有2位學(xué)生把全等三角形構(gòu)造出來了，但將3∶4∶5對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤，導(dǎo)致解題不完全正確。而大部分學(xué)生則是將題目空在那里，束手無策。和學(xué)生交流后我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的主要問題集中在不知道如何去添輔助線，而此題的突破口就是通過構(gòu)造一個(gè)全等三角形，把不規(guī)則四邊形面積問題轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來求。

從例1及以往的經(jīng)驗(yàn)，我們可以發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造全等三角形是添加輔助線的一種常用方法。如何去構(gòu)造全等三角形？為什么這樣去構(gòu)造？只能這樣構(gòu)造嗎？這就成了我們需要思考的問題。為什么大部分學(xué)生總是構(gòu)造不出來？是否可以把更為簡(jiǎn)單的已知條件作為突破口讓學(xué)生去嘗試構(gòu)造？既然是構(gòu)造全等，那就應(yīng)該有最基本的線段或角相等，能否以此為突破口，找到此類題型添加輔助線的共同方法呢？

二、移動(dòng)重疊論構(gòu)造

在例1中，我們發(fā)現(xiàn)有已知條件線段AB=AD，是否能以此為思維突破口呢？既然這兩條線段相等了，那么這兩條線段就可以重疊了。接下來是線段AB不動(dòng)，讓線段AD及所在圖形（一般是三角形）移動(dòng)過去重疊，還是線段AD不動(dòng)，讓線段AB及所在圖形（一般是三角形）移動(dòng)過來重疊呢？我們發(fā)現(xiàn)，這樣的重疊圖形都可以構(gòu)造出4個(gè)，如圖3、圖4所示。

觀察圖3這四種移動(dòng)方案，發(fā)現(xiàn)當(dāng)移動(dòng)到如圖3所示的△ AED時(shí)，能把已知條件中的∠BAD=90°利用起來，使點(diǎn)A、E、C三點(diǎn)共線，根據(jù)全等三角形線段之間的關(guān)系，又能把已知條件AC=4BC利用起來，得到兩直角邊之比為3∶4的Rt△CED，利用方程思想和勾股定理就能把不規(guī)則圖形中的各邊表示出來，進(jìn)而表示四邊形ABCD的面積，因此確定構(gòu)造方案如圖2所示；另外，我們還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)移動(dòng)到如圖3所示的△AE′′D時(shí)，不規(guī)則四邊形ABCD的面積問題可轉(zhuǎn)化為求梯形ACDE′′的面積問題，根據(jù)全等三角形線段之間的關(guān)系，結(jié)合勾股定理，把梯形上底E′′D、下底AC、高AE′′分別用含x的代數(shù)式表示，可表示四邊形ABCD的面積，所以還可以有如圖5所示的構(gòu)造方案。

同樣，觀察圖4這四種移動(dòng)方案，發(fā)現(xiàn)同樣有兩種構(gòu)造方案有利于題目的解決，在這里不再一一展開。

三、歸納與感悟

從上面的探索中，我們可以發(fā)現(xiàn)，移動(dòng)重疊的方法是一個(gè)經(jīng)歷探索的過程。它是根據(jù)全等的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等，聯(lián)想到線段相等就有可能是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，就可以重疊。而線段重疊是學(xué)生比較容易操作和模仿的，關(guān)鍵在于帶著圖形（一般是三角形）去重疊時(shí)相等線段的端點(diǎn)如何去對(duì)應(yīng)，第三個(gè)端點(diǎn)在這條線段的哪個(gè)方向。于是就產(chǎn)生了4種構(gòu)造全等三角形的輔助線了。觀察哪種圖形更有利于溝通已知條件與求解目標(biāo)的內(nèi)在聯(lián)系，有時(shí)會(huì)有多種構(gòu)造法，此時(shí)就產(chǎn)生了一題多解，選擇最優(yōu)的構(gòu)造方法，把構(gòu)造出的圖形用輔助線的形式表述出來，完成求解過程。

下面利用移動(dòng)重疊的探索方法，讓我們來感悟經(jīng)典構(gòu)造法名稱的由來，而不是如參考答案或教師講的突如其來的“像是帽子里跑出一只兔子”式的證明方法。

1.中線倍長(zhǎng)法

例2：如圖6，已知△ABC中，AB=5，AC=3，BC上的中線AD=2，求BC的長(zhǎng).

【分析】此題涉及勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線。由已知條件中線AD，可得出BD=CD，進(jìn)而想到嘗試用移動(dòng)重疊的方法，當(dāng)線段BD不動(dòng)時(shí)，可得圖7。觀察這四種移動(dòng)方案，發(fā)現(xiàn)只有移動(dòng)到如圖7所示的△A′DB時(shí)，與已知圖形中∠ADC形成對(duì)頂角模式，點(diǎn)A、D、A′三點(diǎn)共線，出現(xiàn)新的三邊可知的△A′BA，利用勾股定理逆定理找出Rt△A′BA，找到Rt∠A′，再利用勾股定理求出BD，與求解目標(biāo)打通。因此確定構(gòu)造方案如圖8所示，所添輔助線為延長(zhǎng)AD到A′使得A′D=AD，聯(lián)結(jié)BA′，這就是經(jīng)典的中線倍長(zhǎng)法的由來。

2.旋轉(zhuǎn)法

例3（2012·南充第14題）：如圖9，四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四邊形ABCD的面積是24 cm2，求AC的長(zhǎng)。

【分析】此題涉及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，同樣是需要添輔助線才能解決問題，通過上面的探索方法，發(fā)現(xiàn)條件中有AB=AD，進(jìn)而想到用移動(dòng)重疊法來探索，如圖10所示，最后確定構(gòu)造方法如圖11所示，所添輔助線為△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°使得點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，這就是經(jīng)典的旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形。

四、直接應(yīng)用

例4：如圖12，在等腰△ABC中，AB=AC，頂角∠A=20°，在邊 AB上取點(diǎn)D，使AD=BC，求∠BDC的度數(shù)。

【分析】此題涉及全等三角形、正三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)。學(xué)生解此題困難很大。但如果根據(jù)本文的探索，發(fā)現(xiàn)條件AD=BC，進(jìn)而想到移動(dòng)重疊的方法進(jìn)行嘗試的話，難度就不攻自破了。根據(jù)BC所在三角形有兩個(gè)，考慮讓BC不動(dòng)，移動(dòng)AD及AD所在三角形，如圖13所示，發(fā)現(xiàn)C′和C′′點(diǎn)的構(gòu)造方案出現(xiàn)了特殊圖形正三角形，能夠再次利用AB=AC的條件，進(jìn)而求解，最后確定構(gòu)造方案如圖14或圖15所示。以圖15為例，可得如下解題方法。

解：如圖15，移動(dòng)△ADC，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′′，連結(jié)AC′′。

因?yàn)锳B=AC，∠BAC=20°，

所以∠ABC=∠ACB=80°.

因?yàn)椤鰽DC≌△BCC′′，

所以∠CBC′′=20°，AB=AC=BC′′.

所以∠ABC′′=60°.

所以△ABC′′為正三角形.

所以∠BAC′′=60°，AC′′=AB=AC.

所以∠CAC′′=40°.

所以∠AC′′C=∠ACC′′=70°.

所以∠BC′′C=10°=∠ACD.

所以∠BDC=∠DAC+∠ACD=30°.

移動(dòng)重疊不僅僅是構(gòu)造全等的一種探索，它還包含了分類討論的思想、圖形的變換等知識(shí)，也為以后學(xué)習(xí)相似的構(gòu)造做了鋪墊，而在探索過程中出現(xiàn)的各種圖形，都是全等三角形章節(jié)中常見的基本圖形。因此在我們的教學(xué)過程中，特別是當(dāng)幾何中開始出現(xiàn)需要添輔助線構(gòu)造全等時(shí)，要多給學(xué)生提供這個(gè)經(jīng)歷移動(dòng)重疊的探索過程的機(jī)會(huì)，使其在探索中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這樣學(xué)生才能真正明白構(gòu)造兩字的含義，由慢到快地去添加輔助線。輔助線添法繁多，又無定法，移動(dòng)重疊僅僅是全等構(gòu)造法的一種探索，并不絕對(duì)，更多的是需要我們?cè)谄綍r(shí)多探索、多思考、多積累。

參考文獻(xiàn)：

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編輯 范昕欣