提出問(wèn)題是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的顯性表現(xiàn)
——“圖形的旋轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)課”的教學(xué)實(shí)踐與思考

●傅瑞琦 (金華市教育局教研室 浙江金華 321000)

提出問(wèn)題是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的顯性表現(xiàn)
——“圖形的旋轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)課”的教學(xué)實(shí)踐與思考

●傅瑞琦 (金華市教育局教研室 浙江金華 321000)

近日，筆者所在教研室組織了一次九年級(jí)復(fù)習(xí)教學(xué)研究活動(dòng)，內(nèi)容是“圖形的旋轉(zhuǎn)”，其主題是“有效促進(jìn)數(shù)學(xué)思考”.

“數(shù)學(xué)思考”作為一種“過(guò)程性目標(biāo)”，是課堂教學(xué)組織實(shí)施的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)，需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生在觀察探究、獨(dú)立思考、合作交流中經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”，通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和分析解決問(wèn)題，形成數(shù)學(xué)的思維方式.“圖形旋轉(zhuǎn)”的復(fù)習(xí)，其目的是回憶旋轉(zhuǎn)概念、識(shí)別旋轉(zhuǎn)圖形、運(yùn)用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)解決有關(guān)圖形變換問(wèn)題，學(xué)會(huì)思考與表達(dá)，形成內(nèi)在的知識(shí)聯(lián)系，落實(shí)“數(shù)學(xué)思考”的目標(biāo).

為了使活動(dòng)能夠聚焦話題，理解“數(shù)學(xué)思考”的內(nèi)涵，采用“同題異構(gòu)”的形式，2位教師選用同一個(gè)例題，力求經(jīng)過(guò)對(duì)教學(xué)素材不同的處理方式，產(chǎn)生不同的教學(xué)效果，引起聽(tīng)課教師的關(guān)注，通過(guò)進(jìn)一步地研究和探討，尋求復(fù)習(xí)教學(xué)的有效途徑.

1 教學(xué)素材選擇

例1 如圖1，E是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)F，使BF=DE，聯(lián)結(jié)AE，AF，能通過(guò)旋轉(zhuǎn)△ADE得到△ABF嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

本素材為浙教版教材“3.2圖形的旋轉(zhuǎn)”后的作業(yè)題，“在正方形背景下賦予旋轉(zhuǎn)的內(nèi)容、呈現(xiàn)的基本圖形”為學(xué)生所熟悉，容易與三角形、四邊形和圓等知識(shí)相聯(lián)系，有很大的可塑性和進(jìn)一步拓展的空間.

圖1

圖2

2 教學(xué)片段回顧

教師A

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧旋轉(zhuǎn)的概念、條件和性質(zhì)后，呈現(xiàn)例題:

例2 如圖2，在正方形ABCD中，E是邊CD上任意一點(diǎn)，將△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABF.旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)?旋轉(zhuǎn)了多少度?旋轉(zhuǎn)角有哪些?

生1:旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)了90°，旋轉(zhuǎn)角是∠DAB.

生2:還有∠EAF也是旋轉(zhuǎn)角.

師:若正方形ABCD的邊長(zhǎng)是8，DE=6，點(diǎn)E在旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是多少?生3:該路徑是一段弧長(zhǎng)，其長(zhǎng)度是5π.

師:△ADE在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的是什么圖形?你能求出它的面積嗎?小組討論3分鐘.

生4:△ADE在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的是以AE為半徑、圓心角為90°的扇形.

生5:不對(duì)，掃過(guò)的圖形是“扇形+△ADE”.

生4:不對(duì)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中不應(yīng)該包括△ADE.

面對(duì)2位學(xué)生的爭(zhēng)論，教師指出△ADE在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的部分應(yīng)該包括三角形，求解后呈現(xiàn)練習(xí)，在學(xué)生練習(xí)鞏固中完成這節(jié)課的教學(xué).

教師B

圖3

例 3 如圖 3，在正方形ABCD中，E是CD邊上一點(diǎn)，將△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn).

畫一畫 自己給定旋轉(zhuǎn)的角度，你能夠畫出圖形嗎?

想一想 如圖2，請(qǐng)你用直角三角板操作，觀察旋轉(zhuǎn)過(guò)程，從旋轉(zhuǎn)的概念、性質(zhì)出發(fā)，你能夠提出什么問(wèn)題嗎?

(學(xué)生畫圖，教師將一位學(xué)生的作品即圖2呈現(xiàn)在黑板上.)

生1:這一過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)中心是什么?旋轉(zhuǎn)了多少度?旋轉(zhuǎn)角有哪些?

生2:旋轉(zhuǎn)后可以得到哪些等量關(guān)系?

師:你能回答嗎?

生3:旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)了90°，旋轉(zhuǎn)角有∠EAF，∠DAB.

生4:有△ADE≌△ABF，AE=AF，△AEF是等腰直角三角形，∠AFE=∠AEF=45°等.

算一算 如果正方形邊長(zhǎng)為8，DE=6，你能提出幾個(gè)問(wèn)題讓大家求解嗎?獨(dú)立思考后，與同桌交流.

2分鐘后，學(xué)生匯報(bào)得到以下問(wèn)題:

問(wèn)題1 AE的長(zhǎng)是多少?

問(wèn)題2 EF的長(zhǎng)是多少?

問(wèn)題3 點(diǎn)E在旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是多少?

問(wèn)題4 線段AD掃過(guò)的面積是多少?

……

生5:在Rt△ADE中，AE=10;在等腰Rt△AEF中，點(diǎn)E在旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是

師:除了在等腰Rt△AEF中可以求得EF，還有其他方法嗎?

生7:在Rt△EFC中，

師:類似問(wèn)題3，你還可以提出什么問(wèn)題?

生8:點(diǎn)D在旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是多少?

師:類似問(wèn)題4，你還可以提出什么問(wèn)題?

生9:線段AE掃過(guò)的面積是多少?線段 DE掃過(guò)的面積是多少?

師:線段DE掃過(guò)的圖形與前2者是否一樣?你能畫出圖形嗎?

生10:線段DE掃過(guò)的圖形是圖4中陰影部分.

圖4

圖5

師:從剛才同學(xué)們提出問(wèn)題的角度看，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后可以求其經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)，線段旋轉(zhuǎn)后可以求其掃過(guò)的面積.你還可以提出什么問(wèn)題?

生11:△ADE掃過(guò)的面積為多少?

師:△ADE掃過(guò)的圖形由哪幾部分組成呢?

生12:△ADE掃過(guò)的面積由△ADE與扇形EAF組成，面積是50π+24.

理一理 上述的問(wèn)題解決過(guò)程中，你有哪些經(jīng)驗(yàn)?

生13:旋轉(zhuǎn)前后的圖形是全等圖形，存在的等量關(guān)系計(jì)算時(shí)可以利用.

生14:旋轉(zhuǎn)畫圖的關(guān)鍵是找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.

……

議一議 以正方形的2條邊建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系，正方形ABOD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E是y軸上一點(diǎn)，將△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，AE與x軸交于點(diǎn)F.

師:你能提出什么問(wèn)題讓大家思考?如果你感覺(jué)困難，可以在點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，10)條件下提出問(wèn)題，先獨(dú)立思考，再小組交流.

3分鐘后，小組匯報(bào)結(jié)果如下:

1)當(dāng)點(diǎn)E(0，10)時(shí):

問(wèn)題5 求直線AF的解析式.

問(wèn)題6 求AD與EF的交點(diǎn)G的坐標(biāo).

問(wèn)題7 求△OEF的面積.

2)當(dāng)點(diǎn)E在y軸上時(shí):

問(wèn)題8 若EF與線段AD交點(diǎn)為G，△AGF能否為等腰三角形?

……

生15:對(duì)于問(wèn)題5，利用點(diǎn)A(－8，8)和F(－6，0)聯(lián)立方程組，就可以求出直線AF的解析式為y=－4x－24.生16:對(duì)于問(wèn)題6，由于，即解得，所以點(diǎn)G的坐標(biāo)是

師:我們先研究問(wèn)題8，根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)，△AGF為等腰三角形有幾種情況?

生17:根據(jù)頂點(diǎn)的不同分類，有AG=AF(圖6)，GA=GF(圖7)，F(xiàn)A=FG(圖8)這3種情況.

圖6

圖7

圖8

師:你是如何畫出這些圖形的?

生18:用三角板旋轉(zhuǎn)就會(huì)發(fā)現(xiàn)△AGF為等腰三角形時(shí)的各種情況.

師:下面我們重點(diǎn)研究圖8，你用什么方法求點(diǎn)E的坐標(biāo)?

生19(方法1):如圖8，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，設(shè)BF=DE=t，由△EGD∽△GHF得，即，解得，故 E(0，

師:還有其他方法嗎?

生21(方法3):由△DEG∽△ADE，利用DE2= DG·DA得到t2=(8－2t)×8.

師:問(wèn)題7如何求?

生23:△OEF的面積是

師:對(duì)于△OEF的面積問(wèn)題，我們發(fā)現(xiàn):當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)D時(shí)(如圖6)，△OEF的面積為正方形面積的一半，即為32，你能進(jìn)一步提出問(wèn)題嗎?

生24:點(diǎn)E是否還存在其他位置，使得△OEF的面積也為32?

師:說(shuō)說(shuō)你的求解思路，由于點(diǎn)E在y軸上，求解時(shí)還需要注意什么?

生25:旋轉(zhuǎn)三角板發(fā)現(xiàn)，△OEF的位置除了如圖8所示的情況，還有圖9和圖10這2種情況，只要設(shè)點(diǎn)E(0，t)，根據(jù)面積為32得到關(guān)于t的方程.

圖9

圖10

師:剛才我們研究Rt△OEF的數(shù)量關(guān)系，對(duì)于Rt△OEF，你還可以從哪些角度提出問(wèn)題?

生26:點(diǎn)E在y軸上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，以E，O，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△ADE是否相似?

師:好，這是從相似角度提出問(wèn)題，請(qǐng)畫出2個(gè)三角形相似的狀態(tài)，具體求解可以課后完成.

生27:我發(fā)現(xiàn)有4種可能(如圖11～14所示):

圖11

圖12

圖13

圖14

師:你是如何畫的?怎樣才能做到全部找出來(lái)?

生28:用直角三角板，將直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)一周，觀察點(diǎn)E的位置，來(lái)判斷2個(gè)三角形相似的可能性.

說(shuō)一說(shuō) 通過(guò)這節(jié)課的復(fù)習(xí)，說(shuō)說(shuō)你對(duì)旋轉(zhuǎn)的理解，可以從哪幾個(gè)角度去總結(jié)?

教師引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容、性質(zhì)結(jié)論和思想方法等角度概括總結(jié).

3 教學(xué)片段分析

3.1 就題論題，難于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考

教師A組織學(xué)生回憶旋轉(zhuǎn)概念、性質(zhì)，使知識(shí)條理系統(tǒng)化，有層次地呈現(xiàn)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析，在問(wèn)題的逐步解決過(guò)程中，完成對(duì)旋轉(zhuǎn)的復(fù)習(xí).但在這一過(guò)程中，關(guān)注更多的是旋轉(zhuǎn)知識(shí)，忽視了學(xué)情，沒(méi)有按學(xué)生多發(fā)錯(cuò)誤進(jìn)行編擬，學(xué)生也就是按部就班地解答教師提出的問(wèn)題.雖然也組織了學(xué)生合作交流，但辯論的焦點(diǎn)是三角形掃過(guò)圖形的認(rèn)定，與旋轉(zhuǎn)本質(zhì)關(guān)聯(lián)不大.一問(wèn)一答，更多的是進(jìn)行即時(shí)思考，難于消除學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)知識(shí)的模糊認(rèn)識(shí)或錯(cuò)誤理解，來(lái)進(jìn)一步認(rèn)清知識(shí)的本質(zhì)和發(fā)展數(shù)學(xué)思考.

3.2 經(jīng)歷探究，讓學(xué)生真正體會(huì)知識(shí)的發(fā)展與聯(lián)系

教師B的教學(xué)，其顯著特點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題.在“想一想”動(dòng)手操作中，教師引導(dǎo)學(xué)生從旋轉(zhuǎn)的概念、性質(zhì)角度提出問(wèn)題;“算一算”引導(dǎo)學(xué)生從旋轉(zhuǎn)知識(shí)的直接應(yīng)用提出問(wèn)題，在求解過(guò)程中建立知識(shí)之間的聯(lián)系;“理一理”引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想、研究方法，為進(jìn)一步解決問(wèn)題拓寬思路;“議一議”變定點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，讓學(xué)生從運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)提出問(wèn)題進(jìn)行思考，將旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)(包括方法和技能)自然、順暢、扎實(shí)地聯(lián)系起來(lái)，并有序地延展，使知識(shí)得到深化發(fā)展;“說(shuō)一說(shuō)”引導(dǎo)反思，從概念、結(jié)論、方法和思想4個(gè)層面來(lái)總結(jié)概括，優(yōu)化對(duì)旋轉(zhuǎn)的認(rèn)識(shí)，在深入思考的過(guò)程中，深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，規(guī)范思維的邏輯，做到“思之有法”，為以后的問(wèn)題解決提供了思路和方法.通過(guò)6個(gè)問(wèn)題的引導(dǎo)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷了“動(dòng)手操作—自主探究—合作交流—概括歸納—拓展應(yīng)用”的過(guò)程，真正體會(huì)旋轉(zhuǎn)相關(guān)知識(shí)的發(fā)展、聯(lián)系和應(yīng)用.

因此，教師A的知識(shí)呈現(xiàn)形式平鋪直敘，難于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考;而教師B引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題讓學(xué)生思考，曲徑通幽、引人入勝，很好地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考.

4 復(fù)習(xí)課中數(shù)學(xué)思考的實(shí)踐

4.1 實(shí)施數(shù)學(xué)思考的主要途徑

旋轉(zhuǎn)的定義、旋轉(zhuǎn)的條件以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)成了一個(gè)完整的單元知識(shí)結(jié)構(gòu).而復(fù)習(xí)教學(xué)，就是要把平時(shí)相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)，以再現(xiàn)、整理、歸納的方式串起來(lái)，通過(guò)引領(lǐng)學(xué)生自己提出問(wèn)題喚醒知識(shí)，進(jìn)而加深對(duì)知識(shí)的理解.

1)動(dòng)手操作，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考.圖形旋轉(zhuǎn)中回憶旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、復(fù)雜圖形中尋找相似三角形，都先讓學(xué)生動(dòng)手操作，有了自己動(dòng)手的親身經(jīng)歷，其思考過(guò)程是直觀、真實(shí)、可靠的，經(jīng)歷自己建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程.

2)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)思考.教師 A一問(wèn)一答，缺少的是獨(dú)立思考的時(shí)空，學(xué)生的回答是即時(shí)、淺薄的;教師B每一個(gè)問(wèn)題的提出，都先讓學(xué)生獨(dú)立思考，如“算一算”中從計(jì)算角度提出問(wèn)題，“議一議”從運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)提出問(wèn)題，學(xué)生都有自己獨(dú)立思考的空間，在此基礎(chǔ)的交流，是思維的碰撞，容易產(chǎn)生共鳴，這樣為知識(shí)聯(lián)系、數(shù)學(xué)創(chuàng)新打下基礎(chǔ).

3)合作交流，完成數(shù)學(xué)思考.教師B在面對(duì)思考空間較大的問(wèn)題時(shí)，如“議一議”中△AGF是等腰三角形存在性問(wèn)題探究，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考、交流后得出5種解決方法，體現(xiàn)思維的多元性;從數(shù)量上研究△OEF的面積問(wèn)題，交流中引導(dǎo)學(xué)生操作，發(fā)現(xiàn)解的多樣性，進(jìn)一步從形狀上研究△OEF的相似問(wèn)題，從“操作中的發(fā)現(xiàn)”、“問(wèn)題解決的不同思路”、“猜測(cè)得出的結(jié)論如何進(jìn)行證明”、“在解題中你使用的方法”等角度進(jìn)行交流，形成共識(shí)，從而獲得知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，共同完成數(shù)學(xué)思考.

4)及時(shí)反思，發(fā)展數(shù)學(xué)思考.教師B在“理一理”中引導(dǎo)學(xué)生反思自己的解題過(guò)程，“說(shuō)一說(shuō)”從內(nèi)容、結(jié)論、方法和思想4個(gè)層面來(lái)引導(dǎo)學(xué)生反思.對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，這些及時(shí)的反思，能夠幫助他們舉一反三、觸類旁通、領(lǐng)悟方法，比做題、解題本身更能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

在每一環(huán)節(jié)中，教師B在引領(lǐng)學(xué)生自己提出問(wèn)題上下足功夫，從其教學(xué)效果看，讓學(xué)生提出問(wèn)題，是一種有效的學(xué)習(xí)方法，是一種認(rèn)知過(guò)程，也是一種認(rèn)知策略，培養(yǎng)了學(xué)生積極思考的習(xí)慣，促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考.

4.2 設(shè)計(jì)問(wèn)題系列，引導(dǎo)學(xué)生有序提問(wèn)

“數(shù)學(xué)方式的理性思維”的培養(yǎng)，需要學(xué)生積極地參與到每一個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中，需要教師設(shè)置符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問(wèn)題系列，在一個(gè)不斷進(jìn)行問(wèn)題提出、逐步探索、問(wèn)題解決的過(guò)程中讓學(xué)生體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)和歸納旋轉(zhuǎn)的特征以及解決問(wèn)題的思維方法，學(xué)會(huì)提出問(wèn)題.如“想一想”中的問(wèn)題是操作后直接的知識(shí)聯(lián)系，“算一算”中的問(wèn)題是旋轉(zhuǎn)知識(shí)的直接應(yīng)用，并在“理一理”中對(duì)求解思路進(jìn)行反思，有了這些問(wèn)題的鋪墊，在“議一議”中讓學(xué)生自己提出問(wèn)題，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)等腰三角形、三角形面積最值以及相似三角形進(jìn)行研究，特別是教師“你是如何尋找(相似三角形)?怎樣才能做到全部找出來(lái)?”等問(wèn)題的引導(dǎo)，不僅是反思解題的思路，更重要的是反思解決問(wèn)題的過(guò)程.

在一組有層次、有梯度的問(wèn)題引導(dǎo)下，學(xué)生思維循序漸進(jìn);在學(xué)生不斷提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，讓學(xué)生充分感受到有序的數(shù)學(xué)思考，進(jìn)而激活數(shù)學(xué)思維.