基于自憶性原理的多變量MGM(1,m)耦合系統(tǒng)模型構建及應用

郭曉君，劉思峰，楊英杰

(1. 南通大學理學院，江蘇 南通 226019；2. 南京航空航天大學經(jīng)濟與管理學院，江蘇 南京 211106；

基于自憶性原理的多變量MGM(1,m)耦合系統(tǒng)模型構建及應用

郭曉君1,2，劉思峰2,3，楊英杰3

(1. 南通大學理學院，江蘇 南通 226019；2. 南京航空航天大學經(jīng)濟與管理學院，江蘇 南京 211106；

3. 英國De Montfort大學計算智能研究中心，萊斯特 LE1 9BH)

針對小樣本條件下具有相互制約關系的多變量系統(tǒng)，本文提出了一種新穎的多變量MGM(1,m)自憶性耦合系統(tǒng)模型，用來統(tǒng)一描述系統(tǒng)各變量間關系并且提高其建模精度。該模型通過有機耦合動力系統(tǒng)自憶性原理與傳統(tǒng)MGM(1,m)模型，綜合了兩者各自的優(yōu)勢。系統(tǒng)的自憶性方程包含多個時次初始場而不僅是單個時次初始場，從而克服了傳統(tǒng)灰色預測模型對初值比較敏感的弱點。對基坑變形預測的實例研究結果表明，所構建模型能夠充分利用系統(tǒng)的多個歷史時次資料，可以緊密捕捉系統(tǒng)演化趨勢，模擬預測精度顯著高于傳統(tǒng)多變量MGM(1,m)模型。研究結果表明，新模型豐富和完善了灰色預測理論，值得推廣應用于其他類似的多變量系統(tǒng)。

多變量系統(tǒng)；MGM(1,m)模型；自憶性原理；耦合系統(tǒng)；基坑變形

1 引言

自鄧聚龍教授創(chuàng)立灰色系統(tǒng)理論[1]以來，在社會經(jīng)濟、環(huán)境能源、工程科研等眾多研究領域得到了國內(nèi)外學者的廣泛關注?；疑A測模型是該理論的核心體系，同時也是預測理論方法中的一個重要組成部分，其通過原始序列的累加生成，挖掘數(shù)據(jù)序列的內(nèi)在規(guī)律，構建具有部分差分、部分微分特征的方程，用以揭示系統(tǒng)的未來發(fā)展趨勢。其中，GM(1,1)模型[2-3]是灰色系統(tǒng)預測理論的基礎和核心，它通過單變量的一階微分方程模型揭示其內(nèi)在發(fā)展規(guī)律，用于單一時間序列的建模和預測。眾多學者在GM(1,1)模型的特性研究、背景值改進、時間響應式優(yōu)化、擴展研究等方面開展了系統(tǒng)深入的工作[4-8]，極大地推動了GM(1,1)模型的發(fā)展。

隨著灰色預測模型應用范圍的不斷擴大，尤其在社會經(jīng)濟、工程科學等實際問題中，各變量之間往往是相互影響、相互制約的，而多變量MGM(1,m)模型[9]從系統(tǒng)的角度對各變量進行統(tǒng)一描述，能夠較好地反映系統(tǒng)中各變量之間相互影響、相互制約的關系。自多變量MGM(1,m)模型提出以來，許多學者對該模型進行了深入研究，李小霞等[10]、崔立志等[11]和熊萍萍等[12]對模型進行了背景值等方面的改進并應用于實際的社會、經(jīng)濟系統(tǒng)中進行預測，熊萍萍等[13]將模型擴展到非等間距原始數(shù)據(jù)序列的模擬預測問題，熊萍萍等[14]則對多變量MGM(1,m)模型進行了特性研究。

在反演建模的基礎上，Cao Hongxing[15]首次提出了動力系統(tǒng)自憶性原理，其作為解決非線性系統(tǒng)的一種統(tǒng)計-動力方法，是決定論和不確定論兩種方法融合在數(shù)學上的實現(xiàn)。該原理通過實際觀測資料反演較為理想的非線性動力模型，既可以克服微分方程初值解法只用一個初值進行預測帶來的“對初值極其敏感”的弱點，又克服了以往用歷史資料進行統(tǒng)計而與機理性方程無關的局限性。該方法是對傳統(tǒng)初值問題數(shù)值解和統(tǒng)計方法的一個突破，已被逐漸應用到氣象水文、工程科學等多個領域的時間序列預測中[16-17]。近年來，部分學者考慮在一些簡單的灰色預測模型中引入自憶性原理，已進行了一些有意義的初步嘗試，取得了較滿意的建模結果[18-20]。

本文在已有工作的基礎上展開進一步研究，針對社會經(jīng)濟、工程科學中經(jīng)常出現(xiàn)的相互影響的多變量原始數(shù)據(jù)序列，以傳統(tǒng)多變量MGM(1,m)模型為基礎，結合動力系統(tǒng)自憶性原理，構建基于自憶性原理的多變量MGM(1,m)耦合系統(tǒng)模型，并通過應用實例對基坑變形值進行模擬和預測，分析MGM(1,m)自憶性耦合系統(tǒng)模型相比傳統(tǒng)MGM(1,m)模型的優(yōu)越性，以期豐富和完善灰色預測理論、拓展其應用范圍。

2 傳統(tǒng)多變量MGM(1,m)模型

2.1 多變量MGM(1,m)模型的基本方程

…,n時刻的觀測值序列，即：

(1)

j=1,2,…,m

(2)

j=1,2,…,m，i=1,2,…,n

j=1,2,…,m，k=2,3,…,n

(3)

j=1,2,…,m，i=1,2,…,n

為多變量MGM(1,m)模型的基本形式，稱：

(4)

為MGM(1,m)模型的白化方程組，記:

則式(3)可簡記為：

X(0)(k)+AZ(1)(k)=B

(5)

式(4)可簡記為

(6)

F(X,t)=-AX(1)(t)+B

(7)

2.2 多變量MGM(1,m)模型的基本特性

1)MGM(1,m)模型X(0)(k)+AZ(1)(k)=B的最小二乘估計參數(shù)序列滿足:

(8)

其中：

X(1)(t)=e-At(X(1)(1)-A-1B)+A-1B

(9)

3)MGM(1,m)模型X(0)(k)+AZ(1)(k)=B的時間響應式可由式(9)離散化得到，即:

(10)

k=2,3,…,n

4)還原式為:

(11)

k=2,3,…,n

3 多變量MGM(1,m)自憶性耦合系統(tǒng)模型構建機理研究

動力系統(tǒng)自憶性原理，基于客觀世界中自然和社會現(xiàn)象演變的不可逆特性，強調(diào)系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的前后承續(xù)關系，重點研究系統(tǒng)的自身演化規(guī)律。該原理通過定義Hilbert空間中的內(nèi)積，引入憶及歷史多時次資料的記憶函數(shù)，導出了具差分-積分形式的自憶性方程。由于系統(tǒng)自憶性方程以包含多時點初始場來代替單時點初始場，因此克服了原始系統(tǒng)動力微分方程對初值比較敏感的弱點。這種自記憶模式的優(yōu)勢在于，既可以把動力學計算與用歷史數(shù)據(jù)估計參數(shù)結合起來，又可以把統(tǒng)計學中從過去觀測資料中提取預報信息的長處吸收進來，因此對歷史多個時次的觀測統(tǒng)計數(shù)據(jù)具有良好的記憶功能。

3.1 自憶性預測方程的離散形式

(12)

式中x為變量，λ為參數(shù)，t為時間，F(xiàn)(x,λ,t)為動力核。令記憶函數(shù)為β(t)，同時Hilbert空間的內(nèi)積運算定義為:

(13)

設某時間集合T={t-p,t-p+1,…,t-1,t0,t}，其中t-p,t-p+1,…,t-1,t0表示若干歷史觀測時點，t0表示預測初始時點，t表示未來預測時點，p表示回溯階，也即t0前的時點個數(shù)，同時假設時間樣本間隔為Δt。通過內(nèi)積運算(13)對系統(tǒng)動力方程(12)進行變換，假設變量x與記憶函數(shù)β(t)連續(xù)、可微且可積，則可得:

即:

(14)

對式(14)的等式左邊所有積分項分別運用分部積分法和微積分中值定理，同時合并消除同類項，從而推導得一個差分-積分形式的自憶性預測方程：

(15)

=S1+S2

(16)

稱其為系統(tǒng)回溯p階的自憶性方程。方程右端第1項S1稱為自憶項，表示p+1個時次的歷史量測往值對預測變量xt的貢獻值；第2項S2稱為他效項，表示動力核源函數(shù)F(x,λ,t)在回溯時段[t-p,t0]內(nèi)對xt的貢獻值。

(17)

取等距時次間隔，令Δti=ti+1-ti=1，且將βt和βi合寫，則得到離散形式的自憶性預測方程：

(18)

式中αi=(βi+1-βi)/βt,θi=βi/βt，αi和θi稱為記憶系數(shù)，動力核源函數(shù)F(x,λ,t)由多變量MGM(1,m)模型的系統(tǒng)動力方程式(8)確定。

若取等間隔采樣Δt，即ti=t0+iΔt，其中i=-p,-p+1,…,-1,0,1，則自憶性方程的離散形式可類似得到，此處不再贅述。

3.2 自憶性預測方程的求解

設有L個時次的歷史數(shù)據(jù)資料，且滿足L>p，可用最小二乘法求解記憶系數(shù)αi和θi。

定理2[15]記:

則離散形式的自憶性預測方程(18)可表示成矩陣形式:

Xt=YA+ΓΘ

(19)

Xt=ZW

從而得記憶系數(shù)矩陣W的最小二乘估計:

W=(ZTZ)-1ZTXt

(20)

(21)

將k時點的相對誤差記為RPE(k)，其公式為:

(22)

則所有時點的平均相對誤差記為ARPE，其公式為:

(23)

可由k時點相對誤差RPE(k)及系統(tǒng)平均相對誤差ARPE來進行模擬預測的誤差分析和精度檢驗。

4 應用實例

工程建設中常見的基坑變形現(xiàn)象是引起深基坑工程事故的主要因素，根據(jù)實測信息預測下一階段施工中可能出現(xiàn)的新動態(tài)，可以為優(yōu)化設計和合理施工提供可靠信息。而基坑變形是一個復雜的系統(tǒng)變化過程，不能只對單點進行局部分析研究，應該充分利用多個監(jiān)測點之間的相關信息進行系統(tǒng)分析。同時由于工程建設中有效監(jiān)測信息容易缺失等不確定因素，容易導致變形監(jiān)測數(shù)據(jù)具有典型的小樣本、貧信息的灰色系統(tǒng)特征。

表1 3組基坑變形的原始數(shù)據(jù)序列值(mm)

新構建的多變量MGM(1,m) 自憶性耦合系統(tǒng)模型，綜合了自憶性原理和MGM(1,m)模型各自的優(yōu)勢。一方面，新模型從系統(tǒng)的角度對各變量進行統(tǒng)一描述，能夠較好地反映系統(tǒng)中各變量之間相互影響、相互制約的關系；另一方面，新模型以多時點初始場來代替單時點初始場，可以克服傳統(tǒng)MGM(1,m)模型對初值較敏感的弱點，充分挖掘歷史資料提供的信息。因此，本文建立多變量MGM(1,3)自憶性耦合系統(tǒng)模型對基坑變形進行建模預測，并與傳統(tǒng)多變量MGM(1,3)模型進行對比，比較兩類模型的模擬預測精度，從而驗證新模型的可行性與有效性，以及針對相互影響、相互制約的多變量系統(tǒng)建模預測問題的優(yōu)越性。

在建立多變量MGM(1,3)自憶性耦合系統(tǒng)模型時，取表1中3組基坑變形原始數(shù)據(jù)序列的前7個周期的監(jiān)測數(shù)據(jù)作為建模樣本，后2個周期的監(jiān)測數(shù)據(jù)作為預測樣本，并進行模擬預測精度檢驗。根據(jù)相應監(jiān)測數(shù)據(jù)建立的傳統(tǒng)多變量MGM(1,3)模型的白化微分方程組為

(24)

通過作離散化處理，并用最小二乘法求記憶系數(shù)，得到回溯階p=1的自憶性方程組：

(25)

其中記憶系數(shù)矩陣為:

用上述建立的多變量MGM(1,3)自憶性耦合系統(tǒng)模型，對表1中的3組基坑變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進行模擬和預測計算及誤差檢驗，具體模擬和預測結果及誤差分析見表2，其中由于回溯階的原因，多變量MGM(1,3)自憶性耦合系統(tǒng)模型中的前2個時點沒有模擬值。同時根據(jù)熊萍萍等[12]，傳統(tǒng)多變量MGM(1,3)模型對3組基坑變形監(jiān)測數(shù)據(jù)前7個時點模擬的平均相對誤差結果，以及后2個時點的預測值及相對誤差結果[12]見表3。

表2 多變量MGM(1,3)自憶性耦合系統(tǒng)模型對的模擬和預測值及相對誤差

表3 傳統(tǒng)多變量MGM(1,3)模型對的預測值及相對誤差

由表2～3關于3組基坑變形值的模擬和預測計算結果及誤差對比可知，傳統(tǒng)多變量MGM(1,3)模型進行模擬計算的平均相對誤差(ARPE)分別為8.68%、8.65%和8.62%；單步滾動預測相對誤差分別為1.77%、2.07%和2.00%，兩步滾動預測相對誤差分別為2.83%、0.76%和0.94%。而多變量MGM(1,3) 自憶性耦合系統(tǒng)模型中進行模擬計算的平均相對誤差(ARPE)相應地大幅降低至1.57%、1.74%和2.03%；同時單步滾動預測相對誤差相應地顯著降低為1.34%、0.81%和0.75%，兩步滾動預測相對誤差也相應地降低為0.76%、1.12%和0.82%。

綜合比較分析可知，本文提出的多變量MGM(1,m)自憶性耦合系統(tǒng)模型的模擬與預測精度得到了顯著提升，相比傳統(tǒng)多變量MGM(1,m)模型更好地捕捉了原始數(shù)據(jù)序列的整體發(fā)展和個體變化趨勢。同時，新模型可以充分考慮各變量間的相關性，能夠反映基坑變形系統(tǒng)的整體發(fā)展規(guī)律，自憶性技術則有助于進一步降低傳統(tǒng)MGM(1,m)模型的建模誤差。其原因是新模型通過引進過去時次資料的記憶函數(shù)，導出包含多個時次初始場而不僅是一個初始場的自憶性方程，再作進一步模擬預測，克服了傳統(tǒng)MGM(1,m)模型只用一個初值進行預測帶來的對初值比較敏感的局限性。因此，我們應充分利用系統(tǒng)多個時刻的歷史量測往值，同時根據(jù)原始數(shù)據(jù)序列的自身特性構建相應的預測模型。

5 結語

本文針對社會經(jīng)濟、工程科學中經(jīng)常出現(xiàn)的相互影響、相互制約的多變量原始數(shù)據(jù)序列，研究了在有限數(shù)據(jù)情形下的多變量系統(tǒng)預測問題。多變量MGM(1,m)模型可以克服在小樣本量情形下單變量模型中局部分析的不足，并綜合考慮多變量之間的相關信息，實現(xiàn)對多變量系統(tǒng)的整體預測。為了進一步提高預測精度，將動力系統(tǒng)自憶性原理引入多變量MGM(1,m)模型，構建了多變量MGM(1,m)自憶性耦合系統(tǒng)模型。對基坑變形的實例研究表明，所提出的耦合系統(tǒng)模型能夠充分利用系統(tǒng)的多個歷史時次資料，可以緊密捕捉系統(tǒng)演化趨勢，顯示出融合自憶性原理提高模擬預測精度的能力和優(yōu)越性。

因此，多變量MGM(1,m)自憶性耦合系統(tǒng)模型，適用于小樣本條件下相互影響、相互制約的多變量系統(tǒng)建模預測問題，值得推廣應用于社會經(jīng)濟、工程科學等領域其他類似的多變量系統(tǒng)，具有廣闊的研究背景和應用空間。如何將其他的優(yōu)化技術與自憶性原理相結合，來進一步提高多變量系統(tǒng)中的預測精度和穩(wěn)定性，是下一步討論的方向。同時，是否可以借助某種智能優(yōu)化算法，來找到一種理想的最優(yōu)回溯階算法，需要作進一步探索。此外，隨著時間推移，不斷有新的數(shù)據(jù)逐漸補充進多變量系統(tǒng)，可利用灰色新信息模型或者新陳代謝模型進行修正，以減少預測誤差、提高預測精度。

[1] Deng Julong. Control problem of grey system[J]. Systems and Control Letters, 1982, 1(5): 288-294.

[2] Liu Sifeng, Lin Yi. Grey systems theory and applications[M]. Berlin: Springer-Verlag, 2010.

[3] 肖新平, 毛樹華. 灰預測與決策方法[M]. 北京: 科學出版社, 2013.

[4] Wu Lifeng, Liu Sifeng, Yao Ligen, et al. The effect of sample size on the grey system model[J]. Applied Mathematical Modelling, 2013, 37(9): 6577-6583.

[5] 張岐山. 提高灰色GM(1,1)模型精度的微粒群算法[J]. 中國管理科學, 2007, 15(5): 126-129.

[6] 張斌, 西桂權. 基于背景值和邊值修正的GM(1,1)模型優(yōu)化[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 2013, 33(3): 682-688.

[7] 劉斌, 劉思峰, 翟振杰, 等. GM(1,1)模型時間響應函數(shù)的最優(yōu)化[J]. 中國管理科學, 2003, 11(4): 54-57.

[8] Wu Lifeng, Liu Sifeng, Yao Ligen, et al. Grey system model with the fractional order accumulation[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2013, 18(7): 1775-1785.

[9] 翟軍, 盛建明, 馮英浚. MGM(1,n)灰色模型及其應用[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 1997, 5(5): 109-113.

[10] 李小霞, 同小軍, 陳錦云. 多因子灰色MGMp(1,n)優(yōu)化模型[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 2003, 4(4): 47-51.

[11] 崔立志, 劉思峰, 吳正朋. 基于向量連分式理論的MGM(1,n)模型[J]. 系統(tǒng)工程, 2008, 26(10): 47-51.

[12] 熊萍萍, 黨耀國, 王正新. MGM(1,m)模型背景值的優(yōu)化[J]. 控制與決策, 2011, 26(6): 806-810, 815.

[13] 熊萍萍, 黨耀國, 朱暉. 基于非等間距的多變量MGM(1,m)模型[J]. 控制與決策, 2011, 26(1): 49-53.

[14] 熊萍萍, 黨耀國, 束慧. MGM(1,m)模型的特性研究[J]. 控制與決策, 2012, 27(3): 389-393, 398.

[15] Cao Hongxing. Self-memory equation for atmosphere motion[J]. Science in China (Series B): Chemistry, 1993, 36(7): 845-855.

[16] Gu Xiangqian, You Xingtian, Zhu He, et al. Numerical tests of efficiency of the retrospective time integration scheme in the self-memory model[J]. Progress in Natural Science, 2004, 14(9): 833-836.

[17] Wang Wei, Su Jingyu, Hou Benwei, et al. Dynamic prediction of building subsidence deformation with data-based mechanistic self-memory model[J]. Chinese Science Bulletin, 2012, 57(26): 3430-3435.

[18] 范習輝, 張焰. 灰色自記憶模型及應用[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 2003, 23(8): 114-117, 129.

[19] Chen Xiangdong, Xia Jun, Xu Qian. Differential Hydrological Grey Model (DHGM) with self-memory function and its application to flood forecasting[J]. Science in China Series E: Technological Sciences, 2009, 52(4): 1039-1049.

[20] 郭曉君, 劉思峰, 方志耕. 基于合成灰數(shù)灰度的區(qū)間灰數(shù)自憶性預測模型[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術, 2014, 36(6): 1124-1129.

Construction and Application of Multi-variable MGM(1,m) Coupled System Model Based on Self-memory Principle

GUO Xiao-jun1,2，LIU Si-feng2,3，YANG Ying-jie3

(1. School of Science, Nantong University, Nantong 226019, China;2. College of Economics and Management, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106, China;3.Centre for Computational Intelligence, De Montfort University, Leicester LE1 9BH, UK)

A novel multi-variable MGM(1,m) self-memory coupled system model is presented for use in multi-variable systems with interactional relationship under the condition of small sample size. The proposed model can uniformly describe the relationships among system variables and improve the modeling accuracy. The model combines the advantages of the self-memory principle of dynamic system and traditional MGM(1,m) model through coupling of the above two prediction methods. The weakness of the traditional grey prediction model, i.e., being sensitive to initial value, can be overcome by using multi-time-point initial field instead of only single-time-point initial field in the system’s self-memorization equation. As shown in the case study of foundation pit deformation prediction, the novel model can take full advantage of the system’s multi-time historical data and accurately predict the system′s evolutionary trend. And it prominently possesses higher accuracy of simulation and prediction than the traditional multi-variable MGM(1,m) model. The results show that the proposed model enriches and perfects grey prediction theory, and can be applied to other similar multi-variable engineering systems.

multi-variable system; MGM(1,m) model; self-memory principle; coupled system; foundation pit deformation

2013-08-09；

2014-07-23

歐盟第7研究框架瑪麗 居里國際人才引進計劃Fellow項目(FP7-PIIF-GA-2013-629051)；國家自然科學基金資助項目(71271226，71363046,71401051,71503103)；國家社會科學基金重點資助項目(12AZD102)；江蘇省社會科學基金資助項目(14GLC008)；南通市科技計劃資助項目(HS2013026)

郭曉君(1978-)，男(漢族)，江蘇南通人，南通大學理學院副教授，博士研究生，研究方向：灰色系統(tǒng)理論、系統(tǒng)工程.

1003-207(2015)11-0112-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.11.014

N941.5

A