從課本習(xí)題到高考試題導(dǎo)析

薛菁

[摘要]課本是學(xué)生學(xué)習(xí)的根本，也是高考命題的源泉.高考試題一直注重在課本中選材，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用.分析從課本題到高考題可知，當(dāng)今教學(xué)應(yīng)回歸課本，認(rèn)真研讀教材，夯實(shí)基礎(chǔ)，以不變應(yīng)萬變.

[關(guān)鍵詞]課本高考教學(xué)

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2015）020062

下面是某年的一道高考題：已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動(dòng)物，呈陰性的即沒患病.下面是兩種化驗(yàn)方法.

方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止.

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陽性，則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性，則在另外2只中任取1只化驗(yàn).

（1）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；

（2）ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求ξ的期望.

在期末復(fù)習(xí)時(shí)，學(xué)生的解答情況不理想，這讓我有些困惑.我再次仔細(xì)讀了該題，并把它跟以前講解過的題型作比較，發(fā)現(xiàn)這個(gè)題目比常見的題型少了一問，即“求依方案甲和方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率分布表”，是不是這個(gè)原因造成了學(xué)生解題的障礙呢？于是，我在全班講評(píng)這道題時(shí)，加上了這個(gè)問題，有一部分學(xué)生順利完成了，還有一些學(xué)生的答案仍然是錯(cuò)的.我請(qǐng)學(xué)生A站起來說一下他的思路，他說：“先看方案甲，一共檢驗(yàn)5次，每次概率都是15，比如求P（X=3）=4×3×15×4×3=15.”他還沒有說完，學(xué)生B站起來提出了不同的意見：“老師，最多只要檢驗(yàn)4次，因?yàn)榈?次檢測(cè)到的不管是患病的還是不患病的，都可以作出結(jié)論，所以概率為P（X=4）=4×3×2×15×4×3×2+4×3×2×15×4×3×2=25.”顯然學(xué)生B的回答是正確的，所以依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)的概率分布表為：

我又接著問他：“那么對(duì)于方案乙呢？”學(xué)生B說：“我就是搞不清方案乙該怎么做.”我愣了一下，方案乙看上去是比方案甲稍復(fù)雜，但只要仔細(xì)分析一下也并不困難?。∥蚁肓讼?，問道：“你覺得方案乙和方案甲最大的區(qū)別是什么？”學(xué)生B說：“方案乙在操作的時(shí)候比方案甲多了一個(gè)步驟，即要先化驗(yàn)混合的3只動(dòng)物的血液，再根據(jù)結(jié)果，選擇不同的組合進(jìn)行測(cè)試.”那我又問：“這兩者之間的關(guān)系是什么呢？”學(xué)生B馬上領(lǐng)悟過來，說“原來是一個(gè)分步計(jì)數(shù)原理??！”問題迎刃而解.

P（ξ=2）=C34C35+C24C11C35×13=25+15=35，P（ξ=3）=C24C11C35×（2×13×2+2×13×2）=25.

所以依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率分布表為：

（1）記“依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)”為事件A.共有三種情況：甲4次且乙2次或3次；甲3次且乙2次或3次；甲2次且乙也為2次.

P（A）=0.4+0.2+0.2×0.6=0.72.

（2）E（ξ）=2×0.6+3×0.4=0.24.

為了讓學(xué)生對(duì)這個(gè)問題掌握得更為透徹，我又找到了課本中的一道題：“某養(yǎng)雞場(chǎng)流行一種傳染病，雞的感染率為1%.現(xiàn)對(duì)100只雞進(jìn)行抽血化驗(yàn)，以期查出所有病雞.有兩個(gè)方案：①逐只化驗(yàn)；②按4只雞一組分組，并把同組的4只雞抽到的血混合在一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)有問題，再分別對(duì)該組4只雞逐只化驗(yàn).問：哪種方案化驗(yàn)次數(shù)的期望值較??？”

結(jié)果又有一些學(xué)生出錯(cuò)了，他們認(rèn)為，由題意可得100只雞中有1只雞得了傳染病，與前一個(gè)問題是一樣的，事實(shí)上，這兩個(gè)問題是完全不同的.“雞的感染率為1%”指的是每只雞被感染的可能性為1%，這是一個(gè)伯努利試驗(yàn)，是二項(xiàng)分布問題.所以正確的解答如下.

方案①，要化驗(yàn)100次；方案②，100只雞，25組，每組4只，設(shè)X為4只雞中的病雞數(shù)，所以X～B（4，0.01），設(shè)Y為4只雞中化驗(yàn)的次數(shù)，故有下表.

∴E（Y）=0.994+5×（1-0.994）≈1.16.

從而100只雞的期望化驗(yàn)次數(shù)為25×1.16=29.

綜上所述，方案②的化驗(yàn)次數(shù)的期望值較小.

一道是高考題，一道是課本后的練習(xí)題，從課本題到高考題，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中應(yīng)注重什么呢？第一，課堂教學(xué)應(yīng)把主要精力用于將最基礎(chǔ)的知識(shí)講深、講透；第二，要充分研究課本例題，發(fā)揮例題功能.通過例題的示范作用，讓學(xué)生學(xué)會(huì)怎樣培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維；第三，要認(rèn)真研究課本習(xí)題，挖掘教材深度.教師通過對(duì)這些看似平淡，但卻很精彩的題目的研究和運(yùn)用，可以進(jìn)一步幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用，提高學(xué)生的解題能力.

總之，教師要在教學(xué)中抓住教材、以教材為本，使學(xué)生通過對(duì)教材上例題和習(xí)題的掌握，學(xué)會(huì)舉一反三，從而在高考中取得好成績，達(dá)到師生共贏.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）