旋轉變換思維在幾何題中的運用

胡宏權

[摘要]將一個圖形繞著某一個點旋轉一個角度的圖形變換叫做旋轉，由旋轉的性質可知，旋轉前后的圖形全等，對應點到旋轉中心的連線所組成的夾角叫做旋轉角.在教學中，教師可以利用旋轉變換的性質對一些幾何題進行講解，幫助學生提高解題能力.

[關鍵詞]圖形旋轉解題

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2015）020053

將平面圖形F1繞平面內的一個定點O按一定的方向旋轉一個定角θ，得到平面圖形F2，這樣的變換稱為旋轉變換.O叫做旋轉中心，θ叫做旋轉角.旋轉角為180°的旋轉變換是中心對稱變換.

旋轉變換前后的圖形具有如下性質.

（1）旋轉前后的圖形全等（對應線段相等，對應角相等）；

（2）對應點位置的排列次序相同，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

（3）任意兩條對應線段所在直線的夾角都等于旋轉角θ.

圖1如圖1，把△ABC繞點O逆時針旋轉θ，得到△A′B′C′，P與P′為對應點，則△ABC≌△A′B′C′，OP=OP′，∠POP′=θ，BC與B′C′的夾角是θ.

旋轉變換在平面幾何的證明中有著廣泛的應用，特別是在求解、證明有關等腰三角形、正三角形、正方形等問題中.下面筆者舉幾個例子，希望大家從中得到啟發(fā).

圖2【例1】如圖2，△ABC是等邊三角形，D是△ABC外的一點，且DB=DC，∠BDC=120°，點M、N分別是AB、CA的延長線上的一點，且∠MDN=60°，試探究MB、MN、CN之間的數(shù)量關系并證明.

證明：在CN上取CE等于MB，連接DE.（把△DBM繞點D順時針旋轉120°，得到△DCE）

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵DB=DC，∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠BCD=30°，

∴∠ABD=∠ACD=90°，

∴∠MBD=∠ECD=90°.

又∵BD=CD，MB=EC，

∴△MBD≌△ECD，

∴MD=ED，∠MDB=∠EDC.

∵∠BDC=120°，∴∠MDE=120°.

又∵∠MDN=60°，∴∠EDN=60°.

∴△MDN≌△EDN，

∴MN=EN，

∴CN=CE+NE=MB+MN.

圖3【例2】如圖3，在△ABC中，AB=AC，D是AB邊上的任意一點，以DC為邊作△DCE，且DE=CE，∠DEC=∠BAC，連接AE，求證：AE∥BC.

證明：延長DA到F，使DF=AC，連接EF.（∵∠DEC=∠BAC，∴∠ACE=∠ADE，此過程也就是把△ACE繞點E旋轉，得到△FDE）

∵∠DEC=∠BAC，∴∠ADE=∠ACE.

又∵DF=AC，DE=CE，∴△FDE≌△ACE，

∴∠DFE=∠CAE，F(xiàn)E=AE，∠AFE=∠FAE，

∴∠FAE=∠EAC，∴∠FAC=2∠FAE.

∵∠FAC=∠B+∠ACB，∠B=∠ACB，

∴∠FAC=2∠B，∴∠FAE=∠B，∴AE∥BC.

圖4【例3】如圖4，P為正方形ABCD內一點，若PA=a，PB=2a，PC=3a，（a>0），求：（1）∠APB的度數(shù)；（2）正方形ABCD的面積.

解：（1）將△ABP繞點B順時針旋轉90°，得△CBQ.

連接PQ、QC、AC，由旋轉的性質得QB=PB=2a，∠PBQ=90°，CQ=AP=a.

利用勾股定理得PQ=22a.

在△PQC中，PQ=22a，CQ=a，PC=3a，

∴PQ2+CQ2=PC2，

∴由勾股定理的逆定理得∠PQC=90°.

又∵∠BPQ=∠BQP=45°，∴∠BQC=135°，

∴∠APB=∠BQC=135°.

（2）∵∠BPQ=45°，∠APB=135°，

∴∠APQ=180°，

∴AQ=AP+PQ=a+22a.

∵CQ=a，∠PQC=90°，

∴AC2=AQ2+QC2=（a+22a）2+a2=（10+42）a2，

∴正方形ABCD的面積=12AC2=12（10+42）a2二元函數(shù)最值問題解法探討

元后，再利用正、余弦函數(shù)的有界性求最值.

三、利用向量不等式求解

【例3】若x2+y2=1，求3x+2y的最大值.

解：設a=（x，y），b=（3，2）.因為a·b≤|a|·|b|，

所以a·b=3x+2y≤x2+y2·13=13.

所以3x+2y的最大值是13.

點評：向量法的難點是在向量的構造上，解題時要仔細審題，結合向量的內積和不等式構造出向量，答案即可求出.

四、利用基本不等式求解

【例4】若實數(shù)x，y滿足x2+y2+xy=1，則求x+y，xy的最大值.

解：①由x2+y2+xy=1，得（x+y）2-xy=1，

即xy=（x+y）2-1≤（x+y）24，

所以34（x+y）2≤1，

故-233≤x+y≤233，

當且僅當x=y時，不等式的“=”成立，所以x+y的最大值為233.

②由x2+y2+xy=1，得x2+y2=1-xy，

即x2+y2=1-xy≥2xy，所以1≥3xy，

故xy≤13，

當且僅當x=y時，不等式的“=”成立，所以xy的最大值為13.

點評：仔細分析題目的條件，觀察二元函數(shù)的結構，不難看出，此題使用基本不等式比較合適.基本不等式（x2+y22≥x+y2≥xy）主要反映x2+y2，x+y，xy三者在的不等關系.凡是遇到條件、結論和這三者在結構上類似的，并求其范圍、最值的題目，我們都應當嘗試使用基本不等式求解，但求解過程中，千萬不要忘記驗證基本不等式的三個條件.

五、利用線性規(guī)劃求解

【例5】已知x，y滿足條件7x-5y-23≤0

x+7y-11≤0

4x+y+10≥0，求4x-3y的最大值和最小值.

解：不等式組7x-5y-23≤0

x+7y-11≤0

4x+y+10≥0表示的區(qū)域如圖1所示.圖1可觀察出4x-3y在A點取到最大值，在B點取到最小值.

解方程組7x-5y-23=0

4x+y+10=0，得x=-1

y=-6，則A（-1，-6）.

解方程組x+7y-11=0

4x+y+10=0，得x=-3

y=2，則B（-3，2）.

因此，4x-3y的最大值和最小值分別為14，-18.

點評：線性規(guī)劃問題的特征是比較明顯的，比如約束條件（不等式組）和目標函數(shù)（線性函數(shù)、比值型函數(shù)和距離型函數(shù)）等都是此類題目的特征.所以，學生在解題中，遇到約束條件、目標函數(shù)這些特征信息時，可以直入正題，使用線性規(guī)劃的方法求解.當然，線性規(guī)劃也有幾種不同的類型，解題時一定要分清類型、對號入座.

六、利用數(shù)形結合求解

【例6】已知點（x，y）在曲線y=3-4x-x2上，求x-y的最值.

圖2解：由y=3-4x-x2化簡得（x-2）2+（y-3）2=4（y≤3），所以曲線為半圓.曲線圖像如圖2所示.

令x-y=0平移可知，x-y在A點處取得最小值，在B點處取得最大值.

設b=x-y，因為點A的坐標為（0，3），∴bmin=-3.

根據(jù)直線b=x-y與曲線（x-2）2+（y-3）2=4（y≤3）相切，得d=|2-3-b|12+（-1）2=2，

解得b=22-1或b=-22-1（舍），

∴bmax=22-1.

點評：在二元函數(shù)問題中，求解f（x，y）=x-y的最值很像線性規(guī)劃最值問題的類型，由此可能想到令函數(shù)x-y=0平移找最值，但與線性規(guī)劃不同的是，它沒有不等式組，沒有可行域.實際并非如此，此題是用曲線y=3-4x-x2代替了可行域，對曲線方程化簡可知，其函數(shù)圖像是半圓，半圓上的點即為可行域，按照線性規(guī)劃的方法便可求出最值.此題是線性規(guī)劃的延伸，也是線性規(guī)劃題型的能力提升，由于需要識別函數(shù)和畫出函數(shù)圖像，并利用函數(shù)圖像解題，筆者把該方法歸納為數(shù)形結合.

二元函數(shù)涉及的內容多，運用的解題方法多，既是高中數(shù)學重要數(shù)學思想的體現(xiàn)，又是高考重點考查的內容之一.上述六種方法已基本概括了二元函數(shù)的最值問題的解法，請學生務必掌握.遇到此類題型時，只要認真審題、分清類型、對題入座，解題時便可游刃有余、胸有成竹.

（責任編輯鐘偉芳）