基于學(xué)生解題中的疑惑點談高考解題探究

蔣建平

[摘要]就學(xué)生而言，解題的疑惑點在哪里？是因不理解而“疑惑”，是因為對概念的深化考查而“疑惑”，還是學(xué)生因定型的技能無法突破其慣性思維而“疑惑”？作為教師，我們面對學(xué)生提出的疑惑，應(yīng)思考：如何面對疑惑；如何引導(dǎo)學(xué)生走出疑惑.

[關(guān)鍵詞]拋物線橢圓圓判別式

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2015）290044

《高考考試大綱說明》中明確指出：“對于圓錐曲線的內(nèi)容，不要求解有關(guān)兩個二次曲線交點坐標(biāo)的問題（兩圓的交點除外）.”但是我們在解決某些問題時，難免會遇到兩個二次曲線相切或相交的問題，所以作為教師，我們首先應(yīng)該讓學(xué)生理解：兩個二次曲線消元后，得到的方程的判別式與交點個數(shù)不等價.其次，有些問題涉及兩個二次曲線所討論和研究的往往并不局限于交點問題.所以，我們在探究新的問題時，一定要做好等價轉(zhuǎn)化工作和轉(zhuǎn)化后的補充工作.例如，在考查二次曲線的某些參量之間的關(guān)系時，涉及的參量較多，問題往往顯得復(fù)雜，這時我們應(yīng)該冷靜地分析問題的本質(zhì)，將問題逐步轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的問題.轉(zhuǎn)化的過程中一定要注意轉(zhuǎn)化的等價性.總之，面對因陌生、不熟悉或思維定式遇見的疑惑時，要理清思路，順藤摸瓜，分析好問題的本質(zhì)，做好等價轉(zhuǎn)化工作，從而解決疑惑.

我結(jié)合一次高考模擬試題講評的經(jīng)歷，談一談如何利用學(xué)生解題中的疑惑點，做好解題引導(dǎo)和解題探究.

但是由拋物線和橢圓的對稱性可知：x1=x2>0，顯然與x1x2=-4<0矛盾.

作為教師，我在解決問題的教學(xué)過程中，由于思維定式，直接應(yīng)用了焦半徑公式，沒有過多去想二次曲線交點的問題.但是在試卷中、課堂中，有一個聲音提出了這樣的疑惑，我很高興.因為學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中敢于提出自己的疑惑.

學(xué)生的疑惑：為什么此時的韋達(dá)定理不成立？

學(xué)生討論：同學(xué)們受思維定式的影響，沒有跳出已有的思維框架.

在學(xué)生遇到疑惑時，教師如何引導(dǎo)學(xué)生走出疑惑呢？我的做法具體如下.

第一，分析解法.首先，我肯定了學(xué)生的解題思想.因為學(xué)生是聯(lián)想了直線與圓錐曲線的關(guān)系來解決本題，從方法上、思維習(xí)慣上符合解決問題的思維.但是，為什么在轉(zhuǎn)化的過程中出現(xiàn)了問題呢？是韋達(dá)定理真的不成立嗎？

第二，分析問題.我引導(dǎo)學(xué)生分析問題出現(xiàn)的原因.我們在處理此問題時，是通過聯(lián)立方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，那么問題是否出現(xiàn)在轉(zhuǎn)化的等價性上？

接下來，我和學(xué)生一起分析我們的轉(zhuǎn)化是否是等價轉(zhuǎn)化.等價轉(zhuǎn)化是一個充分必要條件，我們需要檢查解題時是否忽略了一些條件.首先，我們一起研究了問題的一些隱含條件.我們在聯(lián)立方程的過程中，忽視了一個重要的隱含條件：x≥0.所以我們的轉(zhuǎn)化是不等價的，導(dǎo)致后面的韋達(dá)定理不成立.也就是說，雙二次曲線的問題中判別式的符號與交點個數(shù)并不完全等價，根的個數(shù)與交點個數(shù)不完全等價.而且我們通過拋物線和橢圓的對稱性可知：x1=x2>0，所以曲線的兩個交點實際上只是等價轉(zhuǎn)化為方程的一個正根.所以在聯(lián)立方程后，我們只需要保證其方程有一個正根，就可以保證其對應(yīng)兩個二次曲線的兩個交點，另外一個根是增根，是不滿足題意的.

通過以上分析，我們得知在將兩個二次曲線交點問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題時，其等價性不滿足.但是我們可以通過圖形結(jié)合補充轉(zhuǎn)化為等價性問題來解決.通過師生的共同分析，學(xué)生的疑惑成功得以解決，而且解題探究教學(xué)得以順利開展.

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，二次曲線相交的關(guān)系中有如下幾種：橢圓與拋物線、橢圓與雙曲線、拋物線與雙曲線、雙曲線與圓、圓與橢圓、圓與拋物線.為了使學(xué)生有一個更加直觀、形象的理解，我通過圓與拋物線的一個實例，引導(dǎo)學(xué)生一起探究雙二次曲線的問題中判別式的符號與交點個數(shù)的關(guān)系、方程的根與交點個數(shù)的關(guān)系.

【例2】如圖2，討論圓C1：（x-a）2+y2=22與拋物線C2：y2=2x的位置關(guān)系.

解：如圖2，圓C1：（x-a）2+y2=22是以（a，0）為圓心，2為半徑的圓，從圖2不難發(fā)現(xiàn)：

（1）當(dāng)a<-2時，圓與拋物線無公共點；

（2）當(dāng)a=-2時，圓與拋物線相切；

（3）當(dāng)-2

（4）當(dāng)a≥2時，圓與拋物線的關(guān)系則很難從圖形上加以判斷.

為此，我們需借助方程組

（x-a）2+y2=4y2=2x

的解的個數(shù)來加以說明.

把y2=2x代入（x-a）2+y2=22，整理得：x2+2（1-a）x+a2-4=0（※）.

此方程的判別式為Δ=20-8a.

當(dāng)a=52時，Δ=0；

當(dāng)a>52時，Δ<0；

當(dāng)a<52時，Δ>0.

則當(dāng)a=52時，圓與拋物線相切；

當(dāng)a>52時，圓與拋物線無公共點；

當(dāng)a<52時，雖然有方程（※）的Δ>0，但圓與拋物線并不總有公共點，即判別式與方程組解的個數(shù)不等價.

原因分析：方程組在轉(zhuǎn)化為方程（※）的過程中，忽略了條件x≥0.事實上，方程組解的個數(shù)等于方程（※）的非負(fù)解的個數(shù)，而非負(fù)解的個數(shù)和交點個數(shù)不是一對一的關(guān)系，而是一對一或一對二的關(guān)系.

綜上所述，圓C1：（x-a）2+y2=22與拋物線C2：y2=2x的位置關(guān)系如下：

①當(dāng)a<-2或a>52時，圓與拋物線無公共點；

②當(dāng)a=-2時，圓與拋物線相切（只有一個公共點）；

③當(dāng)-2

④當(dāng)a=2時，圓與拋物線相交（三個公共點）；

⑤當(dāng)2

⑥當(dāng)a=52時，圓與拋物線相切（兩個公共點）.

我們可以利用類似的方法研究橢圓與拋物線、拋物線與雙曲線、橢圓與雙曲線、雙曲線與圓、圓與橢圓的交點和方程解的關(guān)系.通過實例，我們得出結(jié)論：雙二次曲線交點的問題中，判別式的符號與交點個數(shù)并不完全等價.

著名的數(shù)學(xué)家莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)研究過的問題.”數(shù)學(xué)問題的求解過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的轉(zhuǎn)化過程.

通過本節(jié)課，我深刻地意識到，面對學(xué)生的問題時，我們應(yīng)該站在數(shù)學(xué)思想的高度去給學(xué)生做好思考的引導(dǎo)，同時，做好教學(xué)的解題研究.由此可見，教學(xué)永遠(yuǎn)是一個互動的藝術(shù)，是一個相互促進(jìn)的過程，教是為了更好地學(xué)，學(xué)也是為了更好地教.

[參考文獻(xiàn)]

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[3]王文英，楊平，王樹文.利用學(xué)生解題時的糾結(jié)點，做好解題教學(xué)——一節(jié)習(xí)題課的經(jīng)歷[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2013（1-2）.

[4]羅曾儒.一個最大值問題的教學(xué)分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2013（1-2）.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）