淺談構(gòu)造法解數(shù)學(xué)問題

欒江輝

[摘要]高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，一切解題策略的基本出發(fā)點(diǎn)在于“變換”，即把面臨的問題轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題，以通過解決新題，發(fā)現(xiàn)原題的解題思路，最終達(dá)到解決原題的目的.基于這樣的認(rèn)識，從構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造空間幾何體、構(gòu)造函數(shù)三個(gè)方面講述用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)問題的優(yōu)勢.

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué)解題方法構(gòu)造法

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2015）290041

構(gòu)造法是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思想方法.近觀這幾年的高考題，?？梢姌?gòu)造法的蹤影.用構(gòu)造法解決問題實(shí)際上是一種“思維構(gòu)造”的過程，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的一種有效方法.下面介紹一些常用的構(gòu)造方法.

一、構(gòu)造輔助函數(shù)

由于函數(shù)的定義嚴(yán)謹(jǐn)、圖像直觀、性質(zhì)內(nèi)容豐富、實(shí)用性強(qiáng)，所以在研究一些問題時(shí)，可通過觀察問題的特征，變更問題里相關(guān)的代數(shù)式，由此引入新的函數(shù)，從而解決問題.

【例1】已知函數(shù)f（x）=lnx.（1）求函數(shù)g（x）=f（x+1）-x的最大值；（2）當(dāng)02a（b-a）a2+b2.

分析：（1）過程略.f（x）=f（x+1）-x的最大值為0.

（2）這是函數(shù)和不等式的綜合問題，利用函數(shù)最值證明不等式是常用的方法.于是，學(xué)生簡單審題后會(huì)想到一種思路：把a(bǔ)，b其中一個(gè)看做是自變量x，構(gòu)造函數(shù)，于是有以下解法.

解：令F（x）=lnb-lnx-

2x（b-x）x2+b2，∴F′（x）=-1x-2b3-4b2x-2bx2（x2+b2）2

.（化簡過程略）

∵0F（b），原不等式得證.

很明顯，此種構(gòu)造函數(shù)的方法中間運(yùn)算較繁瑣，學(xué)生在解題中要么鉆進(jìn)“死胡同”，要么運(yùn)算錯(cuò)誤，要想準(zhǔn)確無誤地解出來比較困難.

思考1：能否變形轉(zhuǎn)化，使構(gòu)造的函數(shù)簡單些呢？

思考2：注意到2a（b-a）a2+b2

<2ab-2a22ab=1-ab

，利用不等式的傳遞性，再構(gòu)造函數(shù).

評注：構(gòu)造函數(shù)法因題而異，具有一定的創(chuàng)造性，需要一定的技巧.好的構(gòu)造可以“四兩撥千斤”.有的可以通過作差、作商法直接構(gòu)造函數(shù)；有的根據(jù)特征類比構(gòu)造函數(shù)；有的需要適當(dāng)變形合理構(gòu)造函數(shù)；有的需要等價(jià)轉(zhuǎn)化間接構(gòu)造函數(shù).在教學(xué)時(shí)，要提醒學(xué)生注重審題，尋找適當(dāng)?shù)姆椒ǎ訌?qiáng)學(xué)生思維的鍛煉.

二、構(gòu)造空間幾何體

立體幾何的研究對象是空間圖形，其教學(xué)的首要目標(biāo)在于培養(yǎng)和提高學(xué)生的空間想象力.因此，可以說立體幾何的教學(xué)是始于構(gòu)圖，行于識圖，止于用圖.有些問題用直接法求解比較困難，甚至是無從下手，這時(shí)如果能依據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)造出符合要求的幾何體，將已知嵌入其中，則可“柳暗花明”.

【例2】某幾何體的一條棱長為7，在該幾何體的主視圖中，這條棱的投影是長為6的線段；在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為.

分析：根據(jù)題意及三視圖知識，我們的腦海里可立即顯現(xiàn)出一個(gè)長方體模型，其對角線l長為7，l在兩個(gè)側(cè)面和底面上的投影（即三個(gè)矩形的對角線）分別為6，a和b，則在設(shè)出長方體模型的棱長為x，y，z后，由x2+y2+z2=7，x2+y2=6，y2+z2=a2，x2+z2=b2，得到a2+b2=8，從而a+b≤2（a2+b2）=4.

評注：長方體是特殊的六面體，是立體幾何中的基本幾何體，其結(jié)構(gòu)對稱，各元素之間具有相等、平行、垂直等關(guān)系，內(nèi)容豐富，是研究線線、線面、面面關(guān)系的一個(gè)特殊的幾何體.若能夠根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出長方體，則可達(dá)到事半功倍的效果.

三、構(gòu)造數(shù)列

等差、等比數(shù)列作為特殊的數(shù)列，其結(jié)構(gòu)比較特殊，若能很好地加以利用，就能化繁為簡.比如，在解決一些三角求值試題時(shí)，雖然常規(guī)方法可解，但有時(shí)計(jì)算量比較大.若能根據(jù)試題的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出特殊的數(shù)列，則解題方法簡捷，別具一格.

【例3】若cosα+2sinα=-5，則tanα=.

分析：本題是2008年全國高考試題，常規(guī)解法可以結(jié)合sin2α+cos2α=1，利用方程思想求解，但計(jì)算量較大.所以可以把2sinα，

-52，cosα

看成等差數(shù)列.設(shè)公差為d，從而可令cosα=-52+t，2sinα=-52-t，得（-54-t2）2+（-52+t）2=1，化簡后，解得t=

3510

，故cosα=-55，sinα=-255

，因而tanα=2.

評注：本題根據(jù)給出條件的結(jié)構(gòu)特征，通過類比聯(lián)想，將條件式子重新整合為特殊的結(jié)構(gòu)形式，使之轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的等差數(shù)列，將三角函數(shù)的求值問題轉(zhuǎn)化為整式的求值運(yùn)算.解題方法新穎，可謂別有洞天.另外，對于一些涉及正整數(shù)的不等式的證明問題，也可考慮構(gòu)造數(shù)列.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）