馬爾科夫鏈在教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)中的應(yīng)用

郝長(zhǎng)江

【摘要】馬爾科夫鏈?zhǔn)且活愄厥獾臅r(shí)間離散的隨機(jī)過(guò)程，其最大的特點(diǎn)就是無(wú)后效性，本文建立

了以齊次馬爾科夫鏈為模型的教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)方法，闡明了這種方法的理論依據(jù)及其計(jì)算程序，為

客觀的評(píng)價(jià)教師的教學(xué)效果提供了可行的操作方法.

【關(guān)鍵詞】教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià) 馬爾科夫鏈 ；轉(zhuǎn)移概率矩陣

1.引言

在普通中學(xué)教育中，教學(xué)效率的比較是教育評(píng)估研究的一個(gè)重要課題，僅僅根據(jù)學(xué)生的考試成績(jī)來(lái)評(píng)價(jià)教師教學(xué)效果的優(yōu)劣是片面的，不準(zhǔn)確的.因?yàn)椴煌慕處熕鎸?duì)的是不同班級(jí)的學(xué)生，這些學(xué)生之間必然存在著知識(shí)基礎(chǔ)等各方面的差異，這些差異肯定影響著學(xué)生最后考試成績(jī).所以要客觀評(píng)價(jià)教師的教學(xué)效果，必須剔除學(xué)生差異這一因素.本文建立了以齊次馬爾科夫鏈為模型的評(píng)價(jià)方法.

2.基本知識(shí)

馬爾科夫鏈分析法是一種以概率論和隨機(jī)過(guò)程理論為基礎(chǔ) ，應(yīng)用基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型來(lái)分析對(duì)象發(fā)展變化過(guò)程中數(shù)量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法.

設(shè) XT = {Xt，t ∈ T = （0，1，2，3，···）}為一隨機(jī)過(guò)程，其狀態(tài)空間 I = {0，1，2，3， ···}，若對(duì)任意的正整數(shù)k，任意 ti ∈ Ti， ti < ti+1 ， i = 0，1，2，3，···，

k為任意非負(fù)整 ，i0 ，i1 ，···，ik+1 有

P{Xtk+1=ik+1|Xt0=i0，Xt1=i1，Xt2=i2，Xtk=ik}=P{Xtk+1=ik+1|Xtk =ik}

則稱Xt為離散時(shí)間的馬爾科夫鏈，稱條件概率

Pij（k）（n）=P{Xtk+1=ik+1|Xtk =ik}， i，j∈I

為{Xt，t∈I}n時(shí)刻的k步轉(zhuǎn)移概率，簡(jiǎn)記為Pij（n；k），如果有Pij（n；k）=Pij（k），則稱此馬爾科夫鏈為齊次的，特別地當(dāng)k=1時(shí)，有P ij（n；1）=P ij ，稱為一步轉(zhuǎn)移概率，由一步轉(zhuǎn)移概率Pij組成的矩陣

p11 p12 ... p1n

p21 p22 ... p2n

P ={Pij， i，j∈I}= ... ... ...

pm1 pm2...P mn

稱為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣.

3.模型的建立

將一個(gè)教學(xué)班學(xué)生的某次考試成績(jī)分為五個(gè)等級(jí) ，其中 120分以上為優(yōu)秀， 110 ?119分為良好，100?109分為中等，90?99分為及格，90分以下為不及格，把各等級(jí)學(xué)生人數(shù)與總?cè)藬?shù)之比作為狀態(tài)變量，記為

R（t）={X1（t），X2（t），X3（t），X4（t），X5（t）}∑5i=1

顯然有Xi（t）=1，其中t（t∈I）表示時(shí)間，然后根據(jù)馬爾科夫過(guò)程的無(wú)后效性，研究當(dāng)t變化時(shí)，狀態(tài)向量的變化規(guī)律，從而對(duì)教學(xué)效率作出評(píng)價(jià).設(shè)在第一次考試中某班級(jí)的 n名學(xué)生中，獲得優(yōu)，良，中，及格，不及格的學(xué)生人數(shù)分

∑5i=1別為n1，n2，n3，n4，n5，且ni=n，則狀態(tài)向量為

R（1）={ }

假設(shè)在第一次考試獲得優(yōu)等成績(jī)的 n1名學(xué)生中，在第二次考試中獲得優(yōu)，良，中，及格和不及格的人數(shù)分別是 n1j（j =1，2，3，4，5）.于是得到第一次考試成績(jī)?yōu)閮?yōu)等學(xué)生的考試成績(jī)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為

同理可得第一次其余各等級(jí)的考試成績(jī)的轉(zhuǎn)移概率為

于是得到第一次考試成績(jī)轉(zhuǎn)到第二次考試成績(jī)的轉(zhuǎn)移概率矩陣此系統(tǒng)是一個(gè)馬爾科夫鏈，由遍歷性可知

Lim Pij （n）=xj

n→∞

其中 xj與 i無(wú)關(guān)，且 xj ≥ 0， X（x1，x2，x3，x4，x5） = 0為狀態(tài) R（t）的平穩(wěn)分布，且滿足X=XP，即

X（E?P）=0

E為單位矩陣，于是，求轉(zhuǎn)移矩陣P的極限向量X轉(zhuǎn)化為求P的特征值為1的特征向

量，即由方程（E?P′）X′=0

解出 X =（x1，x2，x3，x4，x5），即為 P的極限向量.若確定優(yōu)為 120分，良為 110分，中為100分，及格為90分，不及格為80分，則可以通過(guò)比較

S=120x1+110x2+100x3+90x4+80x5

的大小來(lái)判斷兩個(gè)班級(jí)教學(xué)質(zhì)量的差別.

4.算法步驟與實(shí)例

4.1.算法步驟

（1）列出學(xué)生成績(jī)轉(zhuǎn)移情況表；

（2）確定轉(zhuǎn)移矩陣P；

（3）求出P的極限向量X，即求P的特征值為1的特征向量，其步驟為：

首先求P的轉(zhuǎn)置矩陣P′；

其次列出特征方程

（E?P′）X′=0

∑5i=1由于特征方程式是線性相關(guān)的，故可刪去一個(gè)方程并用約束條件

xi=1代表；

最后解出P的極限向量X=（x1，x2，x3，x4，x5）根據(jù)最大項(xiàng)原則，可用其中最大的等

級(jí)值表示教學(xué)工作量.