估算思想在中考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

孫軍

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在九年制義務(wù)教育階段的三個(gè)學(xué)段目標(biāo)中，都有這樣的要求：“掌握必要的運(yùn)算 （包括估算） 技能”，可見估算能力的培養(yǎng)應(yīng)該給予足夠的重視。使估算能幫助我們解決一些實(shí)際問題，發(fā)揮它應(yīng)有的作用。

估算是對(duì)事物的整體把握，是對(duì)事物的數(shù)量及數(shù)量之間關(guān)系的直覺判斷。學(xué)習(xí)估算的意義在于：第一，有實(shí)際價(jià)值。因?yàn)樯钪械囊恍?shù)據(jù)不需要精確計(jì)算，如上街買菜帶的錢數(shù)、上學(xué)時(shí)何時(shí)從家里出發(fā)等并不需要精確計(jì)算；第二，培養(yǎng)良好的數(shù)感。估算和數(shù)的認(rèn)識(shí)、量的計(jì)算、空間觀念相配合，有助于學(xué)生加深對(duì)概念的理解，增強(qiáng)靈活處理日常數(shù)量關(guān)系的能力；第三，用于對(duì)計(jì)算結(jié)果的檢驗(yàn)；第四，估算可以幫助我們解決一些數(shù)學(xué)問題。

近年來，各地中考試題對(duì)估算都給予了高度的重視。下面通過具體的幾個(gè)例子，體驗(yàn)估算在數(shù)學(xué)解題中的作用。

例1.如圖，大正方形中有2個(gè)小正方形，如果它們的面積分別是

S1、S2 ，那么S1、S2的大小關(guān)系是（ ）

（A） S1 > S2 （B） S1 = S2 （C） S1

分析：本題中，對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，它們的面積相等且都等于正方形的面積的一半，若正方形面積為S，則△ABC與△ADC面積都是 。這里的S1面積是△ABC面積的 ，即等于 ；在對(duì)角線的另一側(cè)S2等于△AEF和△CHG兩個(gè)三角形的和，另外還有△DEH，則有S2< ，這就說明S1>S2。因而我們選擇A。

例2。根據(jù)圖中信息，經(jīng)過估算，下列數(shù)值與 的值最接近的是 （ ）

A、0。3640 B、0。8970 C、0。4590 D、2。1785

分析：由于直角三角形中 等于對(duì)邊與鄰邊的比值，通過觀察圖形， ∠ 的邊并不經(jīng)過某一格點(diǎn)，我們可以估計(jì)∠ 的正切值應(yīng)滿足：

因此，本題應(yīng)選擇C。解答本題并不需要精確計(jì)算。

例3.根據(jù)下列表格中二次函數(shù) 的自變量 與函數(shù)值 的對(duì)應(yīng)值，判斷方程 （ 為常數(shù)）的一個(gè)解 的范圍是（ ）

A. B. C. D.

分析：因?yàn)?介于正數(shù)與負(fù)數(shù)之間， 二次函數(shù) 的值為0，也應(yīng)介于函數(shù)值是正數(shù)與負(fù)數(shù)之間，函數(shù)值為0所對(duì)應(yīng)的自變量的值（即一元二次方程 的一個(gè)解），應(yīng)介于函數(shù)值分別是正數(shù)和負(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的自變量值之間。因?yàn)楫?dāng)x=6。18時(shí)，y=-0。01，當(dāng)x=6。19時(shí)，y=0。02，所以一元二次方程的一個(gè)近似解x應(yīng)符合6。18

例4.今年，蘇州市政府的一項(xiàng)實(shí)事工程就是由政府投人1 000萬元資金.對(duì)城區(qū)4萬戶家庭的老式水龍頭和13升抽水馬桶進(jìn)行免費(fèi)改造.某社區(qū)為配合政府完成該項(xiàng)工作，對(duì)社區(qū)內(nèi)1200戶家庭中的120戶進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，并匯總成下表：

（1）試估計(jì)該社區(qū)需要對(duì)水龍頭、馬桶進(jìn)行改造的家庭共有_____戶；

（2）改造后.一只水龍頭一年大約可節(jié)省5噸水，一只馬桶一年大約可節(jié)省15噸水.試估計(jì)該社區(qū)一年共可節(jié)約多少噸自來水？

（3）在抽樣的120戶家庭中.既要改造水龍頭又要改造馬桶的家庭共有多少戶。

分析：樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的重要思想方法，本題就是要用樣本數(shù)據(jù)的特征估計(jì)總體數(shù)據(jù)的特征。由樣本數(shù)據(jù)估計(jì)：需要改造的戶數(shù)約占總戶數(shù)的 ，所以該社區(qū)1200戶家庭中約有1000戶家庭需要改造。

先計(jì)算被調(diào)查的120戶家庭可以節(jié)水：

（31×1+28×2+21×3+12×4）×5+（69×1+2×2）×15=2085，

再計(jì)算該社區(qū)中1200戶家庭共能節(jié)水 ×2085=20850（噸）

在抽樣的120戶家庭中.既要改造水龍頭又要改造馬桶的家庭共有：

（31+28+21+12+69+2）-（120-20）=63（戶）。

估算不僅是一種技能，也是一種重要的思想方法，更主要的是一種良好的意識(shí)和習(xí)慣。估算包含有猜測(cè)的成分，但猜測(cè)不是估算的全部。估算者在頭腦中要不斷地將被估算的事物與已有的數(shù)學(xué)模型或經(jīng)驗(yàn)相類比，不斷地嘗試和修正，直到兩者出現(xiàn)平衡相容。類比活動(dòng)的順利與否，和估算者頭腦中積累的數(shù)學(xué)模型清晰與否、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的豐富與否有關(guān)。因此我們要勇于實(shí)踐，通過剪、拼、量、折、畫、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，建立清晰的數(shù)學(xué)模型，使估算有清晰的可類比標(biāo)準(zhǔn)。

正因?yàn)楣浪闶墙橛谕评砗筒孪胫g的心理活動(dòng)，所以，估算過程和方法是不確定的，估算者可以有自己的想法。如果能與同學(xué)交流各自的估算策略，比較各自的估算結(jié)果，展示各自創(chuàng)造性的想法，相互借鑒，則能更好地提高估算能力，增強(qiáng)估算意識(shí)。

培養(yǎng)數(shù)學(xué)估算意識(shí)，應(yīng)該主動(dòng)地從數(shù)學(xué)的角度、數(shù)字的眼光去觀察世界、體驗(yàn)生活，在實(shí)際運(yùn)用中感受估算的樂趣，并切身體驗(yàn)用估算解決問題的實(shí)用性和便捷性，凸現(xiàn)估算應(yīng)用的價(jià)值。從而使數(shù)學(xué)估算意識(shí)扎根在我們的日常生活之中。那樣的數(shù)學(xué)將會(huì)更加豐富多彩，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)也將是無處不在。