基于有限參與模型的封閉式基金折價(jià)研究

于伯韜

[摘要]封閉式基金折價(jià)之謎是行為金融學(xué)的重要課題，以前學(xué)者已從多個(gè)角度進(jìn)行解釋。本文在簡(jiǎn)單總結(jié)前人研究結(jié)論的基礎(chǔ)上，基于有限參與模型，從基金管理費(fèi)、委托代理問題和風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)三個(gè)角度對(duì)封閉式基金折價(jià)進(jìn)行新的解釋，并結(jié)合中國(guó)市場(chǎng)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。

[關(guān)鍵詞]封閉式基金折價(jià);行為金融學(xué);有限參與模型;委托代理問題

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2015.12.027

1封閉式基金折價(jià)的已有解釋

封閉式基金折價(jià)之謎由來已久，此前國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者已從多個(gè)角度做出理論解釋和實(shí)證檢驗(yàn)。傳統(tǒng)理論試圖在不破壞有效市場(chǎng)假設(shè)的前提下對(duì)封閉式基金折價(jià)做出解釋，它們認(rèn)為導(dǎo)致基金折價(jià)的主要原因有：代理成本、流動(dòng)性限制、資本利得稅以及未來績(jī)效預(yù)期等。這些觀點(diǎn)各有一定的說服力，但都沒有解釋問題的所有方面。20世紀(jì)90年代以來，行為金融學(xué)打破了理性金融學(xué)關(guān)于投資者理性的假設(shè)，發(fā)展了新的觀點(diǎn)，對(duì)封閉式基金折價(jià)提出了新的解釋，其中包括：噪聲理論（DSSW理論）、非對(duì)稱信息解釋、投資者情緒理論、隨機(jī)換手理論、均勻流動(dòng)性解釋、羊群行為等等。

2基于有限參與假說的模型

2.1模型假設(shè)

盡管過去許多學(xué)者從傳統(tǒng)金融學(xué)和行為金融學(xué)的角度對(duì)封閉式基金折價(jià)提出了各種觀點(diǎn)，但這些觀點(diǎn)仍不能很好地解釋這個(gè)謎題。本文參考Youngsoo（2007）的有限參與模型，從一個(gè)新的角度解釋封閉式基金折價(jià)之謎，并檢驗(yàn)該模型是否能解釋中國(guó)封閉式基金市場(chǎng)的折價(jià)現(xiàn)象。這個(gè)模型的一大特點(diǎn)是考慮了封閉式基金的委托代理問題，并把這個(gè)因素量化到數(shù)學(xué)模型中。

基于有限參與假說考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的兩階段模型，這種假設(shè)的合理性在于投資者必須為了解調(diào)查更多的公司付出相當(dāng)大的固定成本。假定當(dāng)投資者了解一組資產(chǎn)的均值和協(xié)方差矩陣時(shí)，他們就算了解這組資產(chǎn)，所有的投資者對(duì)其了解的同一組資產(chǎn)具有同質(zhì)預(yù)期，所以具有同質(zhì)預(yù)期的投資者只有初始稟賦不同其他方面均相同。假定投資者僅了解可供投資的所有資產(chǎn)中的一部分，并且投資者只投資他們了解的資產(chǎn)，這種假設(shè)的動(dòng)機(jī)在于從實(shí)證檢驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)投資者在其投資組合中通常只持有成千上萬可投資資產(chǎn)的一小部分。

在筆者的模型中，僅有一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、三種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種封閉式基金。基金經(jīng)理用無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)乙和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)丙這三種他了解的資產(chǎn)構(gòu)建封閉式基金的投資組合?；鸾?jīng)理在基金結(jié)束期收取基金收益的一部分作為基金管理的回報(bào)。在所有的投資者中，只有一部分投資者（我們稱之為投資者N）了解封閉式基金，這些投資者同時(shí)了解風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。因此投資者N投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，封閉式基金份額和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲。

根據(jù)這種假設(shè)，嘗試求解投資者N和基金經(jīng)理M的最優(yōu)選擇和封閉式基金份額的均衡價(jià)格?；谟邢迏⑴c假說，考慮三種影響封閉式基金折價(jià)或溢價(jià)的經(jīng)濟(jì)因素：基金管理費(fèi)、委托代理問題和風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)。

第一個(gè)經(jīng)濟(jì)因素是基金管理費(fèi)。這是封閉式基金折價(jià)之謎的最早解釋因素之一。在完全參與假設(shè)下，基金份額價(jià)格等于凈資產(chǎn)價(jià)值（NAV）減去基金管理費(fèi)。

第二個(gè)因素是委托代理問題。所謂委托代理問題是指代理人和委托人利益并不完全一致，在委托人處于信息劣勢(shì)，不能對(duì)代理人進(jìn)行完全監(jiān)督的情況下，代理人有動(dòng)機(jī)為了自身利益，做出有損于委托人利益的行為，由此造成的委托人利益受損的現(xiàn)象。在我們的模型中，基金經(jīng)理在構(gòu)建投資組合時(shí)考慮的是如何使其基金管理費(fèi)收入最大化而不是如何使投資者N的收益最大化，這種目的的不一致造成了基金份額價(jià)格偏離其NAV，由此產(chǎn)生委托代理問題。

第三個(gè)因素是風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)。盡管基金管理費(fèi)和委托代理成本能夠解釋封閉式基金份額折價(jià)，但它們都不能解釋基金的溢價(jià)情況，盡管這種情況很少見。風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)基于封閉式基金收益和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲收益的相關(guān)系數(shù)，能夠解釋基金的溢價(jià)現(xiàn)象。兩者的相關(guān)系數(shù)越低，風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)越大，基金份額價(jià)格因此上升。當(dāng)僅考慮風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)，忽略基金管理費(fèi)和委托代理問題，封閉式基金收益與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲收益呈負(fù)相關(guān)時(shí)，基金份額溢價(jià)交易。

2.2模型推導(dǎo)

在假設(shè)中共有三個(gè)不同的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，用Fk表示三種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在期末支付的隨機(jī)收益，k=1，2，3。Fk服從均值為μk的正態(tài)分布。用Fc表示表示封閉式基金份額在期末支付的隨機(jī)收益，其均值為μc，方差為σc，與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲的協(xié)方差為σ1c。R表示無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在期末支付的收益，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期末支付R對(duì)包括基金經(jīng)理在內(nèi)的所有投資者是公開信息。用xjK表示投資者j持有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)k的數(shù)量，用Pc表示封閉式基金一單位份額的價(jià)格，用gk表示資產(chǎn)k預(yù)期的額外收益。

gk=E（Fk-PkR）=μk-PkR（1）

考慮一個(gè)了解風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)乙丙的基金經(jīng)理M（或一組相同的基金經(jīng)理），在期初建立封閉式基金并以確定的價(jià)格（通常溢價(jià)）向投資者出售基金份額。當(dāng)基金開始運(yùn)行時(shí)，基金經(jīng)理用出售基金份額所得收入構(gòu)建投資組合，作為回報(bào)基金經(jīng)理在期末收取基金投資組合收益的一部分，記為。假設(shè)基金經(jīng)理在其私人賬戶不進(jìn)行任何風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)或基金份額的交易，因?yàn)檫@樣會(huì)消除基金的折價(jià)或溢價(jià)。

投資者在期初的初始稟賦為Wj，效用函數(shù)為負(fù)指數(shù)形式如下：

U（Wj）=-1ajexp（-ajWj）（2）

這樣規(guī)定的意義在于負(fù)指數(shù)形式的效用函數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為aj。

U′（W）=-e-aWU″（W）=-ae-aWRA（W）

=-U″（W）U′（W）=a（3）

投資者N希望其投資組合收益的期望效用最大化，而基金經(jīng)理希望基金管理費(fèi)收入的期望效用最大化。假設(shè)發(fā)行在外的基金份額數(shù)量為1。

2.2.1對(duì)基金經(jīng)理而言的投資組合問題

基金經(jīng)理的目的在于通過持有適當(dāng)數(shù)量的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)乙，xm2，和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)丙，xm3，使其基金管理費(fèi)收入Fc的期望效用最大化?；鹜顿Y組合的收益為：

Fc=WmR+xm2（F2-P2R）+xm3（F3-P3R）（4）

基金經(jīng)理持有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)數(shù)量為：

xm2=σ23g2-σ2 3g3am[σ22σ23-（σ2 3）2]

和xm2=σ22g3-σ2 3g2am[σ22σ23-（σ2 3）2]（5）

2.2.2對(duì)投資者N而言的投資組合問題

投資者N可投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲、封閉式基金份額和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，他了解風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲和基金份額期末隨機(jī)支付的均值和方差，同時(shí)也知道風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲和基金份額收益的協(xié)方差，他不知道的是基金經(jīng)理投資組合的構(gòu)成。

σ2c=var（Fc）=（xm2σ2）2+（xm3σ3）2+2xm2xm3σ23（6）

σ1c=cov（F1， Fc）=xm2σ12+xm3σ13（7）

μc=E（Fc）=WmR+xm2g2+xm3g3（8）

投資者N的目的在于選擇持有適當(dāng)數(shù)量的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲，xN1，和基金份額，xNc，使得其期末財(cái)富的預(yù)期效用最大化。

N=NR+xN1（F1-P1R）+xNc[（1-）Fc-PcR]（9）

投資者N持有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲和基金份額的最優(yōu)數(shù)量為：

xN1=（1-）σ2cg1-σ1c[（1-）μc-PcR]aN（1-）[σ21σ2c-（σ1c）2]（10）

xNc=-（1-）σ1cg1-σ21[（1-）μc-PcR]aN（1-）2[σ21σ2c-（σ1c）2]（11）

2.2.3市場(chǎng)出清的均衡價(jià)格

當(dāng)投資者N持有全部發(fā)行在外的封閉式基金份額時(shí)，市場(chǎng)處于出清狀態(tài)，此時(shí)：xNc=1

由式（5）和式（8）得：

μc=E（Fc）=mR+amσ2c（12）

由式（10）、式（11）和“xNc=1”得：

xN1=1aNσ21[g1-aN（1-）σ1c]（13）

用NAV代替m，由式（12）、式（11）和“xNc=1”可得市場(chǎng)出清狀態(tài)下分隔壁是基金的價(jià)格為：

Pc=（1-）NAV-σ2cR[aN（1-）-am]-aNRσ1cxN1（14）

2.3模型解釋

我們從基金管理費(fèi)、委托代理問題和風(fēng)險(xiǎn)分散因素三個(gè)角度解釋上述模型。

2.3.1基金管理費(fèi)

假設(shè)投資者N完全了解風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲、乙、丙，并可投資這些風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（完全參與假說），那么無套利條件下封閉式基金份額的價(jià)格為：

Pc=（1-）NAV（15）

在投資者N完全參與的假設(shè)下，封閉式基金折價(jià)僅取決于基金管理費(fèi)，基金管理費(fèi)反映了基金經(jīng)理的參與成本或交易成本。

2.3.2委托代理問題

假設(shè)投資者N并不了解任何的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，即有限參與假設(shè)下，投資者只能投資無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和封閉式基金份額，容易得出這種狀態(tài)下的封閉式基金份額價(jià)格為：

Pc=（1-）NAV-σ2cR[aN（1-）-am]（16）

上述公式主要表達(dá)第二個(gè)因素，即委托代理問題對(duì)封閉式基金份額價(jià)格的影響，-σ2cR[aN（1-）-am]這一項(xiàng)即是由委托代理問題引起的。通常情況下，委托代理問題導(dǎo)致封閉式基金份額價(jià)格偏離其NAV，但是當(dāng)aN（1-）=am時(shí)除外，在這種情況下恰好沒有委托代理問題，基金的折價(jià)水平僅取決于基金管理費(fèi)。為了說明這一點(diǎn)，我們回憶基金經(jīng)理和投資者N所面臨的最大化問題：

基金經(jīng)理：Max E[exp（1amFc）]

投資者N：Max E{exp[-aN（1-）Fc]}

當(dāng)aN（1-）=am時(shí)，這兩個(gè)最大化問題是相同的，也就是說，基金經(jīng)理和投資者N此時(shí)的目的是一致的，也就不存在委托代理問題。此時(shí)封閉式基金的交易價(jià)格等于基金的NAV減去基金管理費(fèi)。

當(dāng)aN（1-）≠am時(shí)，封閉式基金的折價(jià)或溢價(jià)取決于投資者N和基金經(jīng)理的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。當(dāng)投資者N更加風(fēng)險(xiǎn)厭惡時(shí)，即aN>am1-時(shí)，投資者N對(duì)持有基金份額需要更多的補(bǔ)償，因此基金份額的交易價(jià)格發(fā)生折價(jià)。相反地，當(dāng)投資者N沒有那么風(fēng)險(xiǎn)厭惡時(shí)，基金份額的交易價(jià)格發(fā)生溢價(jià)。因?yàn)橥ǔＰ∮?%，所以我們?nèi)菀椎贸鯽N>am1-和σ2cR[aN（1-）-am]>0。所以委托代理問題通常會(huì)引起封閉式基金折價(jià)。

2.3.3風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)

假設(shè)當(dāng)aN（1-）=am時(shí)，容易得出此時(shí)基金份額的價(jià)格為：

Pc=（1-）NAV-aNRσ1cxN1（17）

此刻暫時(shí)不考慮委托代理問題，我們把-aNRσ1cxN1稱為風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)。為了看清這一點(diǎn)，我們應(yīng)認(rèn)識(shí)到基金投資組合為投資者N提供了風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)，因?yàn)樗鼮橥顿Y者提供了更多的投資機(jī)會(huì)。風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)主要取決于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲和封閉式基金投資組合的相關(guān)系數(shù)σ1c，兩者間的相關(guān)系數(shù)越低，風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)帶來的好處就越大，這和馬科維茨的經(jīng)典投資組合理論相一致。

在以下兩種情況下，風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)為0 。一是當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，即σ1c=0;二是當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲為基金投資組合的一部分。第一種情況顯而易見，我們考慮第二種情況，在沒有委托代理問題的大前提下，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲為基金投資組合的一部分時(shí)，投資者N不必再持有任何額外的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲，因?yàn)榛鹜顿Y組合已為投資者N提供了最佳的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲的數(shù)量，此時(shí)xN1=0。

綜上，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲和封閉式基金投資組合的相關(guān)系數(shù)為負(fù)時(shí)，-aNRσ1cxN1>0， 此時(shí)封閉式基金份額價(jià)格會(huì)上升。當(dāng)兩者間的相關(guān)系數(shù)足夠小，風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)所造成的價(jià)格上升影響超過基金管理費(fèi)和委托代理問題造成的價(jià)格下降影響時(shí)，基金份額就會(huì)溢價(jià)交易。這樣我們的模型就解釋了雖然罕見但有時(shí)確實(shí)存在的封閉式基金溢價(jià)交易情況。

3實(shí)證檢驗(yàn)與結(jié)論

本文的另一個(gè)主要目的是檢驗(yàn)有限參與模型是否能解釋中國(guó)封閉式基金的折價(jià)現(xiàn)象。我們選取23只在上交所上市的封閉式基金從2001年到2007年的周數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于國(guó)泰安數(shù)據(jù)庫(kù)。我們用上證指數(shù)代表中國(guó)市場(chǎng)投資組合的表現(xiàn)情況，用一年期定期存款利率代表無風(fēng)險(xiǎn)利率。因?yàn)槟Ｐ椭械囊恍﹨?shù)是以回報(bào)的形式展示而不是回報(bào)率，所以我們需要對(duì)式（14）進(jìn)行調(diào)整得：

PcNAV=（1-）1-NAV×σ2（rc）R[aN（1-）-am]-

cov（r1， rc）Rσ2（r1）[E（r1）-rf]-

aN（1-）×NAV×cov（r1， rc）]（18）

其中rf為無風(fēng)險(xiǎn)利率;為基金管理費(fèi)，=0.015。把風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甲定義為中國(guó)市場(chǎng)投資組合，所以r1為上證指數(shù)收益率，E（r1）=0.13994，σ2（r1）=0.00023。σ2（rc）為封閉式基金NAV回報(bào)率的方差，cov（r1， rc）為上證指數(shù)收益率和封閉式基金收益率的協(xié)方差。我們把NAV標(biāo)準(zhǔn)化為1。aN和am是投資者N和基金經(jīng)理的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，am=0.01055， aN=0.03165。在決定絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的值時(shí)，參考Grundy（2002）的另一篇文獻(xiàn)，相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為4對(duì)應(yīng)的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為0.0211，容易假設(shè)投資者N比基金經(jīng)理更加的風(fēng)險(xiǎn)厭惡，所以令投資者N的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)比0.0211大50%，令基金經(jīng)理的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)比0.0211小50%，這樣絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的平均值仍為0.0211。

根據(jù)上表可得上圖，圖中橫坐標(biāo)為基金NAV增長(zhǎng)率與上證指數(shù)收益率的相關(guān)系數(shù)，因?yàn)檎垡鐑r(jià)率均為負(fù)，所以縱坐標(biāo)取折價(jià)率絕對(duì)值。由圖可以看出，近半數(shù)基金由模型計(jì)算出的折價(jià)率比較明顯地大于實(shí)際折價(jià)率，極少數(shù)基金由模型計(jì)算出的折價(jià)率比較明顯地小于實(shí)際折價(jià)率，其余基金的實(shí)際折價(jià)率與由模型計(jì)算出的折價(jià)率基本相同。由模型計(jì)算出的折價(jià)率數(shù)據(jù)和實(shí)際折價(jià)率數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為0.658711?？傮w來說，模型在一定程度上能解釋中國(guó)封閉式基金市場(chǎng)的折價(jià)原因，委托代理問題確實(shí)也是影響中國(guó)封閉式基金折價(jià)的因素之一。

但是仍應(yīng)該看到，模型對(duì)真實(shí)市場(chǎng)的折價(jià)情況解釋能力有限，僅在兩階段有限參與假設(shè)的框架下，模型不能解釋基金折溢價(jià)與基金發(fā)行時(shí)間長(zhǎng)短的關(guān)系，也不能解釋為什么在基金發(fā)行的最初一兩個(gè)星期投資者會(huì)以一定的溢價(jià)購(gòu)買封閉式基金份額等問題。模型假設(shè)只有一種封閉式基金，投資者具有同質(zhì)預(yù)期等等，種種苛刻假設(shè)簡(jiǎn)化了許多問題，也為今后的研究提供了思路。

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