養(yǎng)老金替代率和缺口數(shù)學(xué)模型研究

作者簡介：湯志浩（1980-），女，漢，湖北十堰人，河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，碩士研究生，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

摘要：養(yǎng)老金缺口[1]，是一個令所有正在繳納養(yǎng)老保險人們十分擔(dān)心的問題。此前，我國是基于當(dāng)時的收入、生活水平和預(yù)期壽命等確定的養(yǎng)老保險繳存、領(lǐng)取時長，但目前，我國人民的平均壽命已從70歲增長到了75歲，收入、生活水平的增速也都超過預(yù)期，再加上通貨膨脹的影響，養(yǎng)老金收支平衡未來面臨的巨大壓力不言而喻，本文通過對影響?zhàn)B老保險基金收支平衡的重要因素替代率和缺口的數(shù)學(xué)模型的計算研究，提出有效解決措施來應(yīng)對這一社會矛盾。

關(guān)鍵詞：養(yǎng)老金；繳費(fèi)指數(shù)；替代率；缺口

1.問題提出與分析

養(yǎng)老保險管理的一個重要的目標(biāo)是養(yǎng)老金的收支平衡，它關(guān)系到社會穩(wěn)定和老齡化社會的順利過渡。影響?zhàn)B老金收支平衡的一個重要因素是替代率。替代率是指職工剛退休時的養(yǎng)老金占退休前工資的比例。按照國家對基本養(yǎng)老保險制度的總體思路，未來基本養(yǎng)老保險的目標(biāo)替代率確定為58.5%. 替代率較低，退休職工的生活水準(zhǔn)低，養(yǎng)老金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準(zhǔn)就高，養(yǎng)老金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。所謂缺口，是指當(dāng)養(yǎng)老保險基金入不敷出時出現(xiàn)的收支之差。

表1是2009年山東省某企業(yè)各年齡段職工的工資分布情況，參照目前我國養(yǎng)老金的計算辦法[2]，建立數(shù)學(xué)模型，解決如下問題：

問題一：根據(jù)表1計算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。如果把這些比值看作職工繳費(fèi)指數(shù)的參考值，考慮該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲），計算各種情況下的養(yǎng)老金替代率。

問題二：假設(shè)該企業(yè)某職工自 2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲），并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。計算養(yǎng)老金的缺口情況，并計算該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡。

問題三：如果既要達(dá)到目標(biāo)替代率，又要維持養(yǎng)老金收支平衡，你認(rèn)為可以采取什么措施。請給出你的理由。

對問題一，可依據(jù)表1，得到職工繳費(fèi)指數(shù)的參考值，再依據(jù)目前我國養(yǎng)老金計算辦法，推導(dǎo)得到以繳費(fèi)指數(shù)、繳費(fèi)年限、社會平均工資及增長率、個人賬戶記賬利率等變量為參數(shù)的個人基本養(yǎng)老金與養(yǎng)老金替代率的計算公式，從而可以計算出職工在不同繳費(fèi)年齡與繳費(fèi)年限下的養(yǎng)老金替代率，以及各種情況下的缺口，利用問題一和問題二的結(jié)果提出相應(yīng)的措施實(shí)現(xiàn)養(yǎng)老金的收支平衡。

2.模型假設(shè)

（1）所有收集到的數(shù)據(jù)可靠。

（2）假設(shè)今后若干年內(nèi)山東省職工人均工資持續(xù)平穩(wěn)增長；

（3）假設(shè)附件中所給出的涉及山東省職工的數(shù)據(jù)具有足夠的代表性；

（4）假設(shè)個人賬戶養(yǎng)老金存款利率恒定為3%不變.

3.模型的建立與求解

3.1 對問題一的求解

3.1.1 根據(jù)表1計算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。

表1 2009年山東省某企業(yè)各年齡段工資分布表[3]

表2最后一列即是根據(jù)表1在excel表中計算出的2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比即繳費(fèi)指數(shù)，其中最后一列中出現(xiàn)的2579.5是2009年該企業(yè)的平均工資，將總工資除以總?cè)藬?shù)即可得。

表22009年山東省某企業(yè)各年齡段工資繳費(fèi)指數(shù)表

3.1.2 計算替代率，下面分6種情況計算：

（1）該企業(yè)職工A自2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)到退休55歲，計算此情況下的養(yǎng)老金替代率。

此時繳費(fèi)年限N1=25，替代率t1=q11÷q12 （q11表示A剛退休時的養(yǎng)老金，q12表示A退休前的工資） A剛退休時的養(yǎng)老金：

q11=q111+q112=2309.8 （元） [3]

（q111表示A基礎(chǔ)養(yǎng)老金，q112表示A個人賬戶養(yǎng)老金）

基礎(chǔ)養(yǎng)老金[2]q111=（w1+w1×p1）÷2×25×1%

w1表示全省上年度在崗職工月平均工資， p1表示A本人平均繳費(fèi)指數(shù)，w1×p1表示本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資；而該職工在退休前一年（即2024年）的年平均工資[3]：g2024=76900 （元）

故全省上年度在崗職工月平均工資w1=g2024/12=6408（元）

通過前面的計算可知本人平均繳費(fèi)指數(shù)p1=1.2087729

A基礎(chǔ)養(yǎng)老金q111=（6408+6408×1.2087729）÷2×25×1%=1762（元）

A個人賬戶養(yǎng)老金q112=m1/n1

m1表示A個人賬戶儲存額，n1表示A的計發(fā)月數(shù)[4]，由于55歲時的計發(fā)月數(shù)為170，即n1=170

個人賬戶儲存額即從職工每年的工資中提取8%得到，故

m1=∑2024i=2000gi×0.08=93084（元），gi表示第i年的平均工資[3]。

A個人賬戶養(yǎng)老金q112=m1/n1=547.5577481（元）

該職工退休前的實(shí)際工資q12 =g2024 ×p1 /12=7746.25（元）

替代率：t1=q11÷q12=29.82%

（2）該企業(yè)職工B自2000年起分別從40歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)到55歲退休，計算此情況下的養(yǎng)老金替代率t2。

此時繳費(fèi)年限N2=15，替代率t2=q21÷q22（q21表示B剛退休時的養(yǎng)老金，q22表示B退休前的工資）

B剛退休時的養(yǎng)老金q21=q211+q212

（q211表示B基礎(chǔ)養(yǎng)老金，q212表示B個人賬戶養(yǎng)老金）

B基礎(chǔ)養(yǎng)老金q211=（w2+w2×p2）÷2×25×1%

w2表示全省上年度在崗職工月平均工資， p2表示B本人平均繳費(fèi)指數(shù)，w2×p2表示B本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資；而該職工在退休前一年（即2014年）的年平均工資[3]：g2014= 44329.695 （元）

故全省上年度在崗職工月平均工資w2=g2014/12=3694（元）

通過前面的計算可知本人平均繳費(fèi)指數(shù)p2=1.2087729

基礎(chǔ)養(yǎng)老金q211=（3694+3694×1.2087729）÷2×25×1%=1015.85（元）

個人賬戶養(yǎng)老金q212=m2/n2

m2表示B個人賬戶儲存額，n2表示B的計發(fā)月數(shù)，由于55歲時的計發(fā)月數(shù)為170[4]，即n2=170

個人賬戶儲存額即從職工每年的工資中提取8%得到，故

m2=∑2014i=2000gi×0.08=32437（元），gi表示第i年的平均工資[3]

個人賬戶養(yǎng)老金q212=m2/n2=191（元）

該職工退休前的實(shí)際工資q22 =g2014 ×p2 /12=4433（元）

替代率t12=q21÷q22=27.23%

（3）該企業(yè)職工C自2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)到退休60歲，計算此情況下的養(yǎng)老金替代率t3。

此時繳費(fèi)年限N3=30，替代率t3=q31÷q32（q31表示C剛退休時的養(yǎng)老金，q32表示C退休前的工資）

C剛退休時的養(yǎng)老金q31=q311+q312=3143（元）

（q311表示C的基礎(chǔ)養(yǎng)老金，q312表示C的個人賬戶養(yǎng)老金）

C的基礎(chǔ)養(yǎng)老金q311=（w3+w3×p3）÷2×25×1%

w3表示全省上年度在崗職工月平均工資，p3表示C本人平均繳費(fèi)指數(shù)，w3×p3 表示C本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資；該職工在退休前一年（即2029年）的年平均工資[3]：g2029=96834（元）

故全省上年度在崗職工月平均工資w3=g2029/12=8069（元）

通過前面的計算可知本人平均繳費(fèi)指數(shù)p3=1.16

基礎(chǔ)養(yǎng)老金q311=（8069+8069×1.16）÷2×25×1%=2178.63（元）

個人賬戶養(yǎng)老金q312=m3/n3

m3表示C的個人賬戶儲存額，n3表示C的計發(fā)月數(shù)，由于60歲時的計發(fā)月數(shù)為139，即n3=139

個人賬戶儲存額即從職工每年的工資中提取8%得到，故

m3=∑2029i=2000gi×0.08=134054（元），gi表示第i年的平均工資

個人賬戶養(yǎng)老金q312=m3/n3=964.4（元）

該職工退休前的實(shí)際工資q32=g2029×p3/12=9361（元）

替代率t3=q31÷q32=33.58%

（4）該企業(yè)職工D自2000年起分別從40歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)到60歲退休，計算此情況下的養(yǎng)老金替代率t4。

此時繳費(fèi)年限N4=20，替代率t4=q41÷q42（q41表示D剛退休時的養(yǎng)老金，q42表示D退休前工資）

D剛退休時的養(yǎng)老金q41=q411+q412

（q411表示D基礎(chǔ)養(yǎng)老金，q412表示D個人賬戶養(yǎng)老金）

D基礎(chǔ)養(yǎng)老金q411=（w4+w4×p4）÷2×25×1%

w4表示全省上年度在崗職工月平均工資，p4表示D本人平均繳費(fèi)指數(shù)，w4×p4表示D本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資；而該職工在退休前一年（即2019年）的年平均工資[3]：g2019= 59399 （元）

故全省上年度在崗職工月平均工資w4=g2029/12=4950（元）

通過前面的計算可知本人平均繳費(fèi)指數(shù)p4=1.27

基礎(chǔ)養(yǎng)老金q411=（4950+4950×1.27）÷2×25×1%

個人賬戶養(yǎng)老金q412=m4/n4

m4表示D個人賬戶儲存額，n4表示D的計發(fā)月數(shù)，由于60歲時的計發(fā)月數(shù)為139，即n4=139

個人賬戶儲存額即從職工每年的工資中提取8%得到，故

m4=∑2019i=2000gi×0.08，gi表示第i年的平均工資。

該職工退休前的實(shí)際工資q42=g2029×p4/12=9361（元）

替代率t4=q41÷q42=38.90%

（5）該企業(yè)職工E自2000年起分別從30歲，一直繳費(fèi)到退休65歲，計算這種情況下的養(yǎng)老金替代率t5。

此時繳費(fèi)年限N5=35，替代率t5=q51÷q52（q51表示E剛退休時的養(yǎng)老金，q52表示E退休前的工資）

E剛退休時的養(yǎng)老金q51=q511+q512

（q511表示E基礎(chǔ)養(yǎng)老金，q512表示E個人賬戶養(yǎng)老金）

E基礎(chǔ)養(yǎng)老金q511=（w5+w5×p5）÷2×25×1%

w5表示全省上年度在崗職工月平均工資，p5表示E本人平均繳費(fèi)指數(shù)，w5×p5 表示E本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資；而該職工在退休前一年（即2034年）的年平均工資[3]：

g2034= 119199.5 （元）

故全省上年度在崗職工月平均工資w5=g2034/12=9933（元）

通過前面的計算可知本人平均繳費(fèi)指數(shù)p5=1.27

基礎(chǔ)養(yǎng)老金q511=（4950+4950×1.27）÷2×25×1%

個人賬戶養(yǎng)老金q512=m5/n5

m5表示E個人賬戶儲存額，n5表示E計發(fā)月數(shù)，由于65歲時的計發(fā)月數(shù)為101，即n5=101

個人賬戶儲存額即從職工每年的工資中提取8%得到，故

m5=∑2034i=2000gi×0.08，gi表示第i年的平均工資。

個人賬戶養(yǎng)老金q512=m5/n5=184907/101=1831

該職工退休前的實(shí)際工資q52=g2034×p5/12

替代率t5=q51÷q52=52.10%

（6）該企業(yè)職工F自2000年起分別從40歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)到退休65歲），計算此情況下的養(yǎng)老金替代率t6。

此時繳費(fèi)年限N6=25，替代率t6=q61÷q62（q61表示F剛退休時的養(yǎng)老金，q62表示F退休前的工資）

F剛退休時的養(yǎng)老金q61=q611+q612

（q611表示F的基礎(chǔ)養(yǎng)老金，q612表示F的個人賬戶養(yǎng)老金）

F的基礎(chǔ)養(yǎng)老金q611=（w6+w6×p6）÷2×25×1%

w6表示全省上年度在崗職工月平均工資，p6表示F本人平均繳費(fèi)指數(shù)，w6×p6表示F本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資；而該職工在退休前一年（即2024年）的年平均工資[3]：g2024= 76900 （元）

故全省上年度在崗職工月平均工資w6=g2024/12=6408（元）

通過前面計算可知本人平均繳費(fèi)指數(shù)p6=1.21

基礎(chǔ)養(yǎng)老金q611=（6408+6408×1.21）÷2×25×1%

個人賬戶養(yǎng)老金q612= m6/n6

m6表示F個人賬戶儲存額，n6表示F計發(fā)月數(shù)，由于65歲時的計發(fā)月數(shù)為101，即n6=101

個人賬戶儲存額即從職工每年的工資中提取8%得到，故

m6=∑2024i=2000gi×0.08，gi表示第i年的平均工資。

個人賬戶養(yǎng)老金q612= m6/n6

該職工退休前的實(shí)際工資q62=g2024×p6/12

替代率t6=q61÷q62=55.23%

3.2 問題二的求解

職工年實(shí)際工資=職工年平均工資×繳費(fèi)指數(shù)，職工年繳納養(yǎng)老金=職工年實(shí)際工資×8%[2].以下分三種情況計算缺口和職工領(lǐng)取養(yǎng)老金使其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡的歲數(shù)：

3.2.1假設(shè)該企業(yè)職工自 2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)到55歲退休并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。

（1）計算此情況下養(yǎng)老保險基金的缺口情況；

此情況與問題一中職工A的情況相同，設(shè)職工A養(yǎng)老保險基金的缺口為z1，則z1=h11-h12[5]，h11為從55歲退休到75歲死亡時共20年實(shí)際領(lǐng)取的養(yǎng)老金，

h12為從30歲到54歲共25年所交的養(yǎng)老金。

由問題一中對職工A的替代率的計算可知，A實(shí)際領(lǐng)取的養(yǎng)老金

h11=q11×20×12=554325

h12=q112=∑2024i = 2000（g＼prime i ×0.08） = 93085

其中q11表示A剛退休時領(lǐng)取的養(yǎng)老金，q112表示A個人賬戶養(yǎng)老金，g＼prime i 為第i年A職工的實(shí)際工資（i=2000….2024）[3]。

則A職工的缺口z1=h1-h2=461240（元）

（2）若使其繳存的養(yǎng)老金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡，計算該職工75歲后繼續(xù)領(lǐng)取養(yǎng)老金的年數(shù)s1。

s1=z1/q11×12=16.6（年）

3.2.2假設(shè)該企業(yè)職工自 2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)到60歲退休并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。

（1）計算此情況下養(yǎng)老保險基金的缺口情況：

此情況與問題一中職工C的情況相同，設(shè)職工C的養(yǎng)老保險基金缺口為z2，則z2=h21-h22，h21為從60歲退休到75歲死亡時共15年實(shí)際領(lǐng)取的養(yǎng)老金，h22為從30歲到60歲共30年所交的養(yǎng)老金。

由問題一中對職工C的替代率的計算可知，C實(shí)際領(lǐng)取的養(yǎng)老金

h21=q31×20×12=565745

h22=q312=∑2029i = 2000（g＼prime i ×0.08） = 134054

其中q31表示C剛退休時領(lǐng)取的養(yǎng)老金，q312表示C個人賬戶養(yǎng)老金，g＼prime i 為第i年C職工的實(shí)際工資（i=2000….2029）。

則C職工的缺口z2=h21-h22=431691

（2）若使其繳存的養(yǎng)老金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡，計算該職工75歲后繼續(xù)領(lǐng)取養(yǎng)老金的年數(shù)s2。

s2=z2/q31×12=11.4（年）

3.2.3假設(shè)該企業(yè)職工自 2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費(fèi)到65歲退休并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。

（1）計算此情況下養(yǎng)老保險基金的缺口情況：

此情況與問題一中職工E的情況相同，設(shè)職工E養(yǎng)老保險基金的缺口為z3，則z3=h31-h32，h31為從65歲退休到75歲死亡時共10年實(shí)際領(lǐng)取的養(yǎng)老金，h32為從30歲到65歲共35年所交的養(yǎng)老金。

由問題一中對職工E的替代率的計算可知，E實(shí)際領(lǐng)取的養(yǎng)老金

h31=q51×20×12=388320

h32=q512=∑2034i = 2000（g＼prime i ×0.08） = 184907

其中q51表示E剛退休時領(lǐng)取的養(yǎng)老金，q512表示E個人賬戶養(yǎng)老金，g＼prime i 為第i年E職工的實(shí)際工資（i=2000….2034）。

則E職工的缺口z2=z3=h31-h32=2034130

（2）若使其繳存的養(yǎng)老金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡，計算該職工75歲后繼續(xù)領(lǐng)取養(yǎng)老金的年數(shù)s3。

s3=z3/q51×12=4.8（年）

3.3 問題三的求解

根據(jù)對問題一和問題二替代率和養(yǎng)老金缺口的計算可知，替代率t與繳費(fèi)年限N和職工個人繳費(fèi)比例8%成正比的關(guān)系，即延長繳費(fèi)年限或者提高繳費(fèi)比例，都可以提高替代率。因此如果既要達(dá)到目標(biāo)替代率，又要維持養(yǎng)老保險基金收支平衡，我們可以采取以下措施：

1.延長繳費(fèi)年限N。加大養(yǎng)老金相關(guān)制度及政策的宣傳力度，鼓勵職工早繳費(fèi)、不間斷繳費(fèi)，同時可以考慮適度的延遲法定退休年齡，這樣都可以延長繳費(fèi)年限。比如職工退休年齡，國際上普遍實(shí)行隨著人口壽命增長不斷提高退休年齡的政策，以男性為例，如美國67歲，英國、德國、西班牙、新西蘭65歲，匈牙利62歲。退休越晚，社會統(tǒng)籌賬戶的養(yǎng)老金給付的絕對水平越高，這對于保障養(yǎng)老保險基金收支平衡，增加職工退休金收入以及減輕社會養(yǎng)老保險的給付壓力都有重要意義。

2.適當(dāng)提高職工個人繳費(fèi)比例?？煽紤]將現(xiàn)有的個人繳費(fèi)比例由8%提高幾個百分點(diǎn)，這樣既可以緩解國家財政的養(yǎng)老壓力，還能保障職工退休后的收入水平與退休前相比不會有過大的落差，從而保證退休職工的生活水平。

3.實(shí)行養(yǎng)老保險基金投資經(jīng)營管理，實(shí)現(xiàn)保值增值。實(shí)行基金積累制，就必須對個人賬戶資金投資經(jīng)營，否則就難以抵御通貨膨脹風(fēng)險和利率風(fēng)險的沖擊，無法實(shí)現(xiàn)保值增值的目標(biāo)。若能保證養(yǎng)老保險基金投資有一個較高的收益率，不但提高了退休職工的養(yǎng)老金收入，而且可以減輕國家的支出負(fù)擔(dān)。智利改革模式之所以獲得成功，就是因?yàn)槠渌接谢碌膫€人賬戶基金在投資中獲得了豐厚的利潤回報。通過實(shí)證分析我們知道，在假定養(yǎng)老基金5%的投資收益率條件下，養(yǎng)老金替代率還達(dá)不到50% ，如果沒有投資收益，測算結(jié)果顯示替代率僅為40%左右。

4.結(jié)束語

本文以山東省某企業(yè)2009年各年齡段職工工資為例，首先在EXCEL表格中計算了職工繳費(fèi)指數(shù)（表2）。推導(dǎo)了個人養(yǎng)老金的替代率模型，計算出了問題一中所要求的6種情況下的替代率，推出了養(yǎng)老保險基金缺口計算的數(shù)學(xué)模型，并計算出了三種情況下的缺口和職工領(lǐng)取養(yǎng)老金達(dá)到收支平衡的歲數(shù)。最后，通過對養(yǎng)老保險基金和替代率以及缺口的數(shù)學(xué)計算模型分析得出我們可以采取延長繳費(fèi)年限、提高繳費(fèi)比例、實(shí)行養(yǎng)老保險基金投資經(jīng)營管理等措施。（作者單位：河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院）

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