淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的兩個(gè)生成問(wèn)題

高慧

在教學(xué)中會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生思維的潛力是無(wú)限的，在課堂上經(jīng)常會(huì)提出一些預(yù)設(shè)外的問(wèn)題，此時(shí)，如果順著學(xué)生的思維去探索，就可能有意外的收獲——能力的生成.本文著重從在數(shù)學(xué)活動(dòng)中生成知識(shí)和在數(shù)學(xué)探究中生成能力兩方面探討了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的生成問(wèn)題.

一、在數(shù)學(xué)活動(dòng)中生成知識(shí)

在中學(xué)數(shù)學(xué)課教學(xué)中，教學(xué)的重點(diǎn)是提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，因此在教學(xué)中要采用多種教學(xué)手段以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，創(chuàng)設(shè)活躍的問(wèn)題情境和指導(dǎo)靈活的學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí).

案例1函數(shù)的奇偶性教學(xué)片段

師：實(shí)際生活中，對(duì)稱性在許多地方起著極其重要的作用，例如：為保持飛行方向和飛行平穩(wěn)，火箭的尾翼成中心對(duì)稱設(shè)計(jì)；為易于駕駛汽車設(shè)計(jì)成軸對(duì)稱等.

（多媒體動(dòng)畫演示）

師：對(duì)稱也是函數(shù)圖像的一個(gè)重要特征，通過(guò)圖像的對(duì)稱我們可以得到函數(shù)（函數(shù)值變化）的又一個(gè)重要性質(zhì).

（板書課題：函數(shù)的奇偶性）

師：f（x）=x2是同學(xué)們非常熟悉的一個(gè)函數(shù)，下面請(qǐng)大家按照列表、描點(diǎn)、畫圖的過(guò)程畫出函數(shù)f（x）=x2的圖像，并觀察分析隨自變量的改變函數(shù)值的變化特征，說(shuō)說(shuō)你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

生1：如果我將畫出的函數(shù)圖像沿y軸進(jìn)行翻折，可以發(fā)現(xiàn)其圖像重合，也就是說(shuō)f（x）=x2的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

師：很好，生1同學(xué)從函數(shù)圖像角度觀察出其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，那么，同學(xué)們還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：當(dāng)自變量x的取值互為相反數(shù)時(shí)，函數(shù)y=f（x）的函數(shù)值相等，例如：f（-1）=f（1），f（-2）=f（2）……一般地，當(dāng)x∈R時(shí)，有f（-x）=f（x）.

師：很好！從圖像上看，函數(shù)f（x）=x2關(guān)于y軸對(duì)稱；從數(shù)量關(guān)系上看，函數(shù)f（x）=x2對(duì)定義域中的每一個(gè)x，都有f（-x）=f（x），我們把具有這種性質(zhì)的函數(shù)叫作偶函數(shù).

（板書偶函數(shù)定義）

師：用類似的方法，請(qǐng)同學(xué)們對(duì)函數(shù)f（x）=1x進(jìn)行研究，能有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

（由此得出奇函數(shù)的概念并板書，然后對(duì)奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義加以分析）

在上述案例中，筆者通過(guò)創(chuàng)設(shè)聯(lián)系實(shí)際生活的問(wèn)題情境，用生活中的對(duì)稱問(wèn)題創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生動(dòng)手操作、動(dòng)腦聯(lián)想，使學(xué)生了解了函數(shù)的奇偶性與日常生活實(shí)際的緊密聯(lián)系，明確了研究函數(shù)奇偶性的意義和價(jià)值.

二、在數(shù)學(xué)探究中生成能力

在課堂教學(xué)過(guò)程中，由于師生互動(dòng)、生生互動(dòng)而產(chǎn)生更多的信息和創(chuàng)新的火花，盡管是奇談怪論、異想天開(kāi)的，但其中很多信息是有價(jià)值的，對(duì)師生的思維發(fā)展具有很大作用.

案例2在高三一輪復(fù)習(xí)的一堂解析幾何課上，筆者提出了這樣一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生思考：

問(wèn)題：過(guò)點(diǎn)P（2，1）作直線l，分別交x軸和y軸正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOB面積最小，求直線l的方程.

學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、探討后得出以下解法：

解設(shè)直線l的方程為y-1=k（x-2）.

由題設(shè)知k<0，令x=0得y=1-2k；令y=0得x=2k-1k，則S△ABC=122k-1k·（1-2k）=-（2k-1）22k=12（4-4k-1k）=2+（-2k）+-12k≥2+2（-2k）·-12k=4，其中當(dāng)且僅當(dāng)-2k=-12k，即k=-12或k=12（舍去）時(shí)，（S△ABC）min=4，此時(shí)直線l的方程為y-1=-12（x-2），即l：x+2y-4=0.

接著筆者分別對(duì)上述解法做了總結(jié)點(diǎn)評(píng)，正當(dāng)此題即將講解結(jié)束時(shí)，一名學(xué)生舉起了手，他意外地又提出了一個(gè)問(wèn)題：老師，既然△AOB面積有最小值，我在想線段AB是否有最小值？若有，又是多少？

筆者先前備課可沒(méi)想到這個(gè)問(wèn)題啊，但是學(xué)生突然有這樣的問(wèn)題，便順?biāo)浦壅f(shuō)：“這名同學(xué)的問(wèn)題很好，讓我們一起再來(lái)探討，解決這個(gè)問(wèn)題.”接下來(lái)的情況讓筆者出乎意料，大部分同學(xué)把AB用斜率k的函數(shù)f（k）=2k-1k2+（1-2k）2來(lái)表示，但這個(gè)函數(shù)式比較復(fù)雜，接下來(lái)學(xué)生無(wú)能為力了；少數(shù)幾名學(xué)生受到解法2的啟發(fā)，引入角度令∠BAO=θ，θ∈0，π2作為自變量，則AB=1sinθ+2cosθ，θ∈0，π2，當(dāng)筆者把上述兩種思路展示后，同學(xué)們一致同意后面的一種解法，全班同學(xué)又就后面式子的解法探討起來(lái)，最后大家一致同意用導(dǎo)數(shù)知識(shí)去解決這一問(wèn)題.當(dāng)筆者把上述過(guò)程講解完后，同學(xué)們運(yùn)用同樣的方法求得了函數(shù)f（θ）=asinθ+bcosθ，θ∈0，π2，（a>0，b>0）的最小值，過(guò)程略，那么這個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題有了一個(gè)解析幾何的背景，即過(guò)第一象限內(nèi)一點(diǎn)P（a，b）的直線在兩坐標(biāo)軸上截得的線段的最小值問(wèn)題的解法.至此，由一名學(xué)生的意外問(wèn)題獲得了一個(gè)精彩的結(jié)論.

總之，生成性教學(xué)是一種融教學(xué)價(jià)值觀、認(rèn)識(shí)論、知識(shí)觀與方法論于一體的教學(xué)理念，它是對(duì)“預(yù)成論”教學(xué)的一種批判與超越.作為教師，應(yīng)該創(chuàng)造條件促進(jìn)教學(xué)生成，及時(shí)捕捉教學(xué)生成的每一個(gè)瞬間，不斷增強(qiáng)數(shù)學(xué)教育的時(shí)代感、針對(duì)性、實(shí)效性.