數(shù)學(xué)本科教學(xué)中“數(shù)學(xué)基本思想”的認(rèn)識與運用

景淵遠(yuǎn)等

【摘要】本文通過數(shù)學(xué)本科基礎(chǔ)課的數(shù)學(xué)內(nèi)容，談三種“數(shù)學(xué)基本思想”：抽象、推理、化歸（模型）思想的認(rèn)識，并指出其具體應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)基本思想；抽象；推理；化歸；極限

【中圖分類號】G40-055

史寧中、柳海民指出：在基礎(chǔ)學(xué)科教學(xué)中實施素質(zhì)教育的基本路徑有：“在基本知識、基本技能的基礎(chǔ)上加上基本思想和基本活動經(jīng)驗，在分析問題和解決問題能力的基礎(chǔ)上，加上發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.”那么，什么是數(shù)學(xué)（基本）思想呢？本文在這方面做一點有益探討.

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)文化的核心.“一般說來，稱解某數(shù)學(xué)問題的原則為數(shù)學(xué)思想，而具體途徑為數(shù)學(xué)方法.”張奠宙認(rèn)為：“同一個數(shù)學(xué)思想，當(dāng)用它去解決別的問題時，就稱之為方法，當(dāng)評價它在數(shù)學(xué)體系中的自身價值和意義時，就稱之為思想.”本文通過本科數(shù)學(xué)內(nèi)容，揭示所隱含的基本數(shù)學(xué)思想及其應(yīng)用.

一、抽象思想

什么是數(shù)學(xué)抽象？史寧中指出：“數(shù)學(xué)抽象包括：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，圖形與圖形關(guān)系的抽象.通過抽象得到數(shù)學(xué)的基本概念，研究對象的定義，刻畫對象之間關(guān)系的術(shù)語和運算方法.這是從感性具體上升到理性具體的思維過程，這是第一次抽象.在此基礎(chǔ)上可以憑借想象和類比進行第二次抽象，其特點是符號化，得到那些并非直接來源于現(xiàn)實的數(shù)學(xué)概念和運算方法.”其在數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)中大量運用.數(shù)學(xué)抽象思想，有第一次抽象，也有第二次抽象.

眾所周知，運用“推理思想”可知2，3，π和e等不是有理數(shù).這樣一來，如

果說直線上布滿全體有理數(shù)，當(dāng)用燈光一照時，就會發(fā)現(xiàn)間隙，每個尚未布上有理數(shù)的點代表一個無理數(shù)，如何定義它使其與以前的定義相容？其“思想”為：將這一點左邊的有理數(shù)全體記為集合M，而將該點右方有理數(shù)全體記為集合N，以分割（M，N）定義該點的數(shù)，易知，當(dāng)該點為有理數(shù)時，這種定義與以前的有理數(shù)定義相容.這種思想的實現(xiàn)就有了實數(shù)（有理數(shù)和無理數(shù)的總稱）的戴德金分割定義.

數(shù)學(xué)分析中極限定義所遵循的“極限思想”是“抽象思

*本項目通訊作者由下述項目資助：黑龍江省新世紀(jì)教改工程（重點）項目，2011

本項目作者馬海鳳由下述項目資助：2014/2015年度黑龍江省高校教師雙語教學(xué)項目

*通訊作者

想”和“逼近思想”的

子思想，但這是第二次抽象.設(shè)變量為an（n=1，2，…），固定量a，如果當(dāng)n “無限”增大時，an到a的距離“想怎么小，就怎么小”時，稱當(dāng)n趨于無窮時，an以a為極限.將這種“極限思想”用“數(shù)學(xué)符號”表示出來，就是“ε-N語言”的定義.初學(xué)微積分，理解這種定義很困難，其要點是“極限思想”的領(lǐng)悟.

二、化歸思想

化歸即轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思，通常指把某些未知或較復(fù)雜的問題，轉(zhuǎn)化為已知的或較簡單的問題，這就是化歸思想.如果將未知的現(xiàn)實問題，化為已知的數(shù)學(xué)問題，然后，對該數(shù)學(xué)問題進行分析，得到解析解或數(shù)值解，最后以數(shù)學(xué)解去解釋原現(xiàn)實問題的解，這就是“模型思想”.由此可見“化歸思想”應(yīng)是比“模型思想”更基本的數(shù)學(xué)思想.

三、推理思想

“推理”是基本數(shù)學(xué)思想，含“演繹推理”和“歸納推理”.基本的數(shù)學(xué)思想下往往包含著子數(shù)學(xué)思想.因為這種思想應(yīng)用面相對較廣，如果稱之為方法會讓人感覺片面，況且在整體的數(shù)學(xué)思想中還存在著其他與之并列或等價的數(shù)學(xué)思想.例如同構(gòu)思想和模型思想就可稱之為化歸思想的子思想.而“演繹推理”又是“推理思想”的子思想.

下面我們來說一下推理思想.當(dāng)然，進行“邏輯推理”時，一般需幾種“數(shù)學(xué)思想”并用.下面舉一個日常例子.

結(jié)束語

數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)里所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法在人類的數(shù)學(xué)史上起著重要作用.許多思想和方法被當(dāng)作工具應(yīng)用于物理、化學(xué)等其他學(xué)科，對人類科技的進步起著奠基的作用.古人云：“授人以魚，不如授之以漁.”這句話道出了思想和方法的重要性.數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)認(rèn)識.數(shù)學(xué)思想源于數(shù)學(xué)方法但高于數(shù)學(xué)方法，思想凌駕在方法之上，如果沒有思想就不會有相應(yīng)的方法去解決問題.如果把方法比作軀體，那思想就是靈魂和意識.

【參考文獻(xiàn)】

[1]史寧中，柳海民.素質(zhì)教育的根本目的與實施路徑[J].教育研究，2007，（8）：10-13.

[2]王玉文，馬海鳳，趙宇華.現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想選講[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2012.

[3]史寧中.漫談數(shù)學(xué)的基本思想[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（4）：8.

[4]張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)（第四版）[M].北京高等教育出版社，2002.