教材例題與習(xí)題的拓展初探

近幾年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試題，總能在試題中找到課本例題或習(xí)題的影子：2011年陜西高考文理第18題敘述并證明余弦定理，2012年福建高考理科第17題源自人教A版必修四第三章習(xí)題3.1的B組第3題；如2013年福建高考理科第9題源自人教A版必修五第二章的復(fù)習(xí)參考A組第10題，第18題源自人教A版選修2-1第二章習(xí)題2.2的B組第4題；2014年高考湖北卷文理科數(shù)學(xué)均有約90分試題源自課本…….它們中有些高考試題直接來(lái)源于習(xí)題或例題，有些高考試題來(lái)源于例題、習(xí)題的改編，而有些高考試題的結(jié)論、方法來(lái)源于課本.

目前不少教師在平時(shí)的教學(xué)和高考復(fù)習(xí)中常出現(xiàn)一個(gè)誤區(qū)：偏愛(ài)各類參考資料，四方搜集各種課外習(xí)題，而將課本拋在一邊，結(jié)果導(dǎo)致學(xué)生對(duì)課本中的概念、基本思想方法模糊不清，基本公式的來(lái)龍去脈不甚知曉，對(duì)通性通法不熟練，而一味去搞“題型分析”，去尋找“解題妙法”，在答卷時(shí)就可能去鉆牛角尖，死套“題型”硬要去用“巧妙方法”，從而導(dǎo)致不必要的失分.因此在基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的原則下，用好用活教材中的例題與習(xí)題，能夠較好的讓學(xué)生掌握中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本方法，提高學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力、空間想象力及分析運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.以下談?wù)劚救嗽诮滩睦}與習(xí)題的拓展研究中的幾點(diǎn)做法和感受.

1.例習(xí)題的拓展是在基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的原則下，為的是讓學(xué)生更好更快地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，因此問(wèn)題的拓展不一定要多么的深入，綜合程度也無(wú)需過(guò)高.學(xué)生易錯(cuò)之處最易進(jìn)行例習(xí)題的拓展.

例1“已知過(guò)點(diǎn)M（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截的弦長(zhǎng)為45，求直線l的方程.”（源自人教版《必修2》P127頁(yè)例2）

拓展：“已知過(guò)點(diǎn)M（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截的弦長(zhǎng)為8，求直線l的方程.”

拓展的意義：教材例題中，先由勾股定理，求出圓心到直線l的距離為5，然后假設(shè)直線l方程的點(diǎn)斜式方程，利用圓心到直線距離公式，得到一個(gè)關(guān)于斜率k的方程，求出k有兩個(gè)值，進(jìn)而求出直線l的方程，有兩個(gè)答案.如果拓展后仍然沿用此法，則求出的k只有一個(gè)值，卻忽略了斜率不存在的直線x=-3也是答案之一.經(jīng)過(guò)拓展，讓學(xué)生掌握在求直線的斜率之前，必須考慮斜率是否存在，培養(yǎng)學(xué)生思維的慎密性.

2.改變例習(xí)題中的某些條件亦是例習(xí)題拓展常見(jiàn)方式.

例2“過(guò)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的畫圓，借助信息技術(shù)工具，觀察它與拋物線準(zhǔn)線l的關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？”（源自人教版《選修2-1》P81頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第7題）

拓展：其中條件“過(guò)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F”拓展為“不過(guò)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F”.

拓展的意義：利于拓展學(xué)生的發(fā)散思維.

3.研究逆命題是否成立讓例習(xí)題拓展成為一種常態(tài)教學(xué)行為.

例3“過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸.”（源自人教版《選修2-1》P70頁(yè)例5）

拓展1：“過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)B作直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：A，O，D三點(diǎn)共線.”

拓展2：“過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)B作直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸，交直線AO于點(diǎn)D，求證：點(diǎn)D在拋物線的準(zhǔn)線上.”

拓展3：已知A為拋物線y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)O的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C，則CF⊥DF.（文[1]中對(duì)此已做詳細(xì)說(shuō)明論證）

拓展的意義：通過(guò)拓展，讓學(xué)生們理解“A，O，D三點(diǎn)共線”、“點(diǎn)D在拋物線的準(zhǔn)線上”、“直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸”三個(gè)條件中，由其中任意兩個(gè)可以導(dǎo)出剩余一個(gè).另外還可引導(dǎo)學(xué)生類比研究橢圓、雙曲線也有類似的性質(zhì).從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神.

4.將例習(xí)題歸納總結(jié)，導(dǎo)出一般性規(guī)律.

例4（1）“點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和這到直線l：x=254的距離的比是常數(shù)45，求點(diǎn)M的軌跡.答案是橢圓x225+y29=1.”（源自人教版《選修2-1》P47頁(yè)例6）

（2）“點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（5，0）的距離和這到直線l：x=165的距離的比是常數(shù)54，求點(diǎn)M的軌跡.答案是雙曲線x216-y29=1.”（源自人教版《選修2-1》P59頁(yè)例5）

拓展：研究定點(diǎn)和常數(shù)比、焦點(diǎn)、離心率，聯(lián)系拋物線定義，探索它們與橢圓、雙曲線、拋物線的關(guān)系.

拓展的意義：引導(dǎo)學(xué)生歸納出圓錐曲線的統(tǒng)一定義.

對(duì)教材例習(xí)題的拓展探究，還可通過(guò)改變問(wèn)題背景、將不同章節(jié)問(wèn)題交匯綜合等.不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，同時(shí)對(duì)提高教師自身的專業(yè)素養(yǎng)起著積極的促進(jìn)作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳緒坤.一道課本例題的拓展與利用，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013（15）：98-99.