關于極限算法的探討

何天榮 吳湘云

【摘要】數(shù)學分析是數(shù)學專業(yè)最重要的專業(yè)基礎課，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計、常微分方程、微分幾何、計算方法、實變函數(shù)、復變函數(shù)等后繼課程的必備基礎.課程的特點是內容極為豐富、具有嚴密的邏輯性和理論的高度抽象性.極限論是數(shù)學分析課程的理論基礎極限的計算是極限論中極其重要的環(huán)節(jié)，本文是據(jù)筆者多年教學數(shù)學分析課程的經(jīng)驗對極限算法的探討.

【關鍵詞】數(shù)學分析；極限論；算法

一、極限論在數(shù)學分析課程中的作用

極限論是數(shù)學分析的理論基礎，極限思想貫穿本門課程的始終，連續(xù)、導數(shù)、定積分、反常積分、曲線積分、重積分、曲面積分等定義都是以極限作為理論基礎引入的，相應的性質也完全可以用極限思想進行解釋.極限的計算是非常重要和關鍵的一環(huán)，比如說討論函數(shù)的連續(xù)性，依定義，函數(shù)在某點處的極限值等于該點處的函數(shù)值，那首先得會計算它在該點處的極限值，又如反常積分收斂性的討論、級數(shù)收斂性的討論都歸結為極限的計算，因此能熟練計算一些常見的函數(shù)極限是學好數(shù)學分析課程的一個必要條件.

二、數(shù)學分析課程中所接觸到的極限算法

2.“00”型極限的算法

所謂“00”型就是函數(shù)分子分母同時趨近于0的情況，在初等數(shù)學中我們就熟知，此時直接代入是沒有的意義的，而我們需要做的事情是想方設法將無意義變有意義，方法如下：

（1）消去零因子

所謂消去零因子，就是通過一定的恒等變形，將分子分母中為零的因式約掉從而可以直接代入求出極限值，具體可以通過分子有理化、分母有理化或因式分解等來實現(xiàn).例如：

limx→41+2x-3x2-3x+4=limx→42（x-4）（x-4）（x+1）（1+2x+3）=limx→42（x+1）（1+2x+3）=115.

此題采用了分子有理化同時分母因式分解的策略消去了零因子，有的題可能只需要對分子或分母進行有理化或因式分解即可，而有的題可能需要分子分母同時有理化或分解，總之，消零因子是本質要求.

（2）利用重要極限“l(fā)imx→0sinxx=1”，該公式也是屬于“00”型，關于這種類型，教材[1]第58頁有詳細討論，不再贅述.

（3）羅比達法則的第一種情況也是“00”型，見教材[1]第130頁有詳細討論.

（4）無窮小量等價代換

這種方法非常方便實用，只是方便之前提是牢記相互代換的無窮小量，例如

limx→01-cosxx2=limx→0x22x2=12，因為在x趨近于0時1-cosx與x22等價，可以用后者代換，起到極大的簡化作用，消去了零因子.

2.“∞∞”型極限的算法

（1）公式法limx→∞anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0=∞n>manbmn=m0n

推導見教材[1]第33頁例4.

（2）羅比達法則，見教材[1]第132頁.

3.無窮小量×有界變量=無窮小量

limx→+∞（sinx+1-sinx）=limx→+∞2cosx+1+x2sinx+1-x2=0因為2cosx+1+x2≤1；limx→+∞sinx+1-x2=limx→+∞12（x+1+x）=0

4.利用定積分求極限

limn→∞1n+1+1n+2+…+12n=limn→∞∑ni=111+in·1n=∫1011+xdx=ln2

5.利用迫斂性求極限，見教材[1]第31、32頁及第35頁習題4（4）、（5）、（6）.

6.利用重要極限“l(fā)imx→0（1+x）1x=e”.詳見教材[1]第58頁.

7.利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限.

此法的原理是利用初等函數(shù)在其定義域內皆為連續(xù)函數(shù)，則極限值與函數(shù)值相等，故直接代入即可.

三、結語

極限的計算是數(shù)學分析課程的重要知識點，熟練掌握極限的計算對本課程的學習有至關重要的作用，而要掌握好極限的計算，首先必須多練，在練習中不斷反思，總結規(guī)律；其次，一定要善于總結不同類型極限的不同算法，因為數(shù)學分析課程中對極限的算法討論是貫穿于教材上冊始終的，所以學完之后進行總結歸納對學好極限是極有幫助的.

【參考文獻】

[1]華東師大數(shù)學系編.《數(shù)學分析》（第四版）[M].北京：高等教育出版社2010.