高中數(shù)學(xué)作業(yè)錯(cuò)誤的分析和教學(xué)對(duì)策

王志靈

上海市普通中小學(xué)課程的基本理念是以學(xué)生發(fā)展為本，堅(jiān)持全體學(xué)生的全面發(fā)展，關(guān)注學(xué)生個(gè)性的健康發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展.高中階段的數(shù)學(xué)課程應(yīng)突出體現(xiàn)基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，數(shù)學(xué)作業(yè)是重要的載體.

數(shù)學(xué)作業(yè)是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可缺少的活動(dòng)，是教師了解學(xué)生和檢查教學(xué)效果的主導(dǎo)性活動(dòng)實(shí)踐.學(xué)生在完成作業(yè)時(shí)難免會(huì)出錯(cuò)的，甚至于我們教師在每屆學(xué)生都會(huì)發(fā)現(xiàn)類似的問題.我們要進(jìn)行認(rèn)真的反思，錯(cuò)誤為什么會(huì)出現(xiàn)呢？如何通過對(duì)錯(cuò)誤的分析，日常教學(xué)中采取針對(duì)性的教學(xué)策略，如何充分利用學(xué)生的錯(cuò)誤，挖掘錯(cuò)誤的原因，舉一反三，避免類似錯(cuò)誤再次發(fā)生，筆者就高中數(shù)學(xué)作業(yè)錯(cuò)誤進(jìn)行了分析，并提出了教學(xué)對(duì)策.

一、高中數(shù)學(xué)作業(yè)錯(cuò)誤的類型和原因

根據(jù)《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》（2004年10月第二版）和《2014全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試上海卷考試手冊(cè)》的要求，數(shù)學(xué)科考試目標(biāo)為：“考查考生的數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能、邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力，分析問題與解決問題的能力以及數(shù)學(xué)探究與創(chuàng)新能力.”

結(jié)合近年來各種數(shù)學(xué)作業(yè)和考試的情況，以及考試的三個(gè)層次及難度分類，將認(rèn)知水平分為三個(gè)層次：記憶性水平、解釋性理解水平和探究性理解水平.高中數(shù)學(xué)作業(yè)主要可以概括為下表情況：

認(rèn)知水平及主要考點(diǎn)

序號(hào)

認(rèn)知水平

基本特征

主要考點(diǎn)

1

記憶性水平

能識(shí)別或記住，在標(biāo)準(zhǔn)的情景中做簡(jiǎn)單的套用或模仿.

概念性問題，如基本概念、性質(zhì)、公式等的記憶及套用.

2

解釋性理解水平

明了知識(shí)本質(zhì)，把簡(jiǎn)單變式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，理解問題的本質(zhì)，并分析和解決問題.

主要考察將各種形式的變式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再解決問題，得出結(jié)論.

3

探究性理解水平

能從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)模型或歸納假設(shè)進(jìn)行探究.

主要考察理論聯(lián)系實(shí)際和開放性、探究性題目.這類題目有較高的難度，需要理解問題的實(shí)質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，再用數(shù)學(xué)語(yǔ)言解答.

這些認(rèn)知水平可以用下面的金字塔進(jìn)行描述.記憶性知識(shí)是基礎(chǔ)，是整個(gè)金字塔的基礎(chǔ).如果連基本的概念等都搞不清楚，就無從談?wù)摻忉尯吞骄苛?從這張圖上，我們同時(shí)看到記憶和解釋性理解所占有的比重，是整個(gè)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

認(rèn)知水平金字塔

每堂課后，按教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)布置適量的數(shù)學(xué)作業(yè)，每天按時(shí)完成，第二天教師批改，教師通過批改作業(yè)，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤.根據(jù)上面認(rèn)知水平金字塔，筆者將高中數(shù)學(xué)作業(yè)錯(cuò)誤的類型分為三類：

（一）記憶性水平的錯(cuò)誤

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，涉及大量的概念和公式，由于其本身的抽象性和復(fù)雜性，學(xué)生會(huì)有認(rèn)知方面的錯(cuò)誤發(fā)生.正如心理學(xué)家蓋耶所言：“誰(shuí)不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻.”把學(xué)生課堂上出現(xiàn)的錯(cuò)誤當(dāng)作是一種生成性的教學(xué)資源，使學(xué)生在分析錯(cuò)誤、改正錯(cuò)誤的過程中，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的情感體驗(yàn)，加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解.

案例1已知a1=λ，an+1=23an+n-4，bn=（-1）nan-3n+21，其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù).試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

筆者原以為，學(xué)生將an+1代入到bn+1后，通過計(jì)算化簡(jiǎn)得出bn+1與bn的遞推關(guān)系式即：bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21]=（-1）n+123an-2n+14=-23（-1）n（an-3n+21）=-23bn，然后計(jì)算b1=-（λ+18）.有一部分學(xué)生都認(rèn)為數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為b1=-（λ+18），公比為q=-23的等比數(shù)列.平時(shí)愛問問題的學(xué)生來到辦公室，說：“老師，這一定是等比數(shù)列嗎？”，我立即當(dāng)場(chǎng)表?yè)P(yáng)這名同學(xué)，有想法，敢質(zhì)疑，很好！敢于提出自己的見解.然后，我又問他，你認(rèn)為怎樣？他馬上說出自己的想法，如果λ=-18，那么b1=0，通過bn+1與bn的遞推關(guān)系式bn+1=-23bn，這樣會(huì)得出數(shù)列{bn}每項(xiàng)都為0.0，0，0，…，0這個(gè)常數(shù)列，不是等比數(shù)列.如果λ≠-18，b1≠0由上式可知bn≠0，∴bn+1bn=-23（n為正整數(shù)）.課堂上讓他在班級(jí)同學(xué)面前講出這些，這種做法既表?yè)P(yáng)這名同學(xué)，更激勵(lì)班級(jí)其他同學(xué).合理地呈現(xiàn)學(xué)生典型的錯(cuò)誤，暴露問題，引起共鳴.筆者平時(shí)的做法就是在課前把一些典型的錯(cuò)誤記錄下來，并且通過習(xí)題課的形式，在講題時(shí)呈現(xiàn)，讓學(xué)生尋找錯(cuò)誤所在，起到更好的示范效果.

（二）解釋性理解水平的錯(cuò)誤

很多時(shí)候，學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)困難，并不是因?yàn)轭}目太難，而是不能看出題目的要義，找不到解決問題的切入口，這是學(xué)生審題能力不強(qiáng)的表現(xiàn).

案例2已知an=11+2+3+…+n，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

我所任教的兩個(gè)高三文科班級(jí)有近三分之一的學(xué)生沒能完成本題，其中有些學(xué)生在寫出S1=1，S2=S1+11+2=43，S3=S2+11+2+3=32…想通過前幾項(xiàng)特殊值，去猜測(cè)Sn.由于規(guī)律不容易找，之后就沒有下文了.為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況？筆者意識(shí)到，學(xué)生的讀題習(xí)慣不好，理解題目的能力不強(qiáng)，尤其是在審題環(huán)節(jié)中，學(xué)生思維的邏輯性和條理性不夠.筆者在講評(píng)該題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思：（1）能看懂題目的條件和要求的結(jié)論？（2）數(shù)列求和的常用方法有哪些？哪種方法可能適用于本題？（3）你做不下去的主要障礙是什么？能否對(duì)它進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃?？變形后你有沒有驚奇的發(fā)現(xiàn)？（4）現(xiàn)在你有什么樣的感受或體會(huì)？

不僅要讀懂題意明確要求，還要對(duì)題目所包含的信息加以分析，找到解決問題的突破口或切入點(diǎn).教師在平時(shí)的教學(xué)中要充分重視理解題目這個(gè)關(guān)鍵性的環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣.像案例2這樣，當(dāng)學(xué)生的思維受阻時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生反思理解題目過程中的不足，理解題目所涉及的數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，重新找到解決問題的辦法，讓學(xué)生感受失而復(fù)得的成功喜悅.若能長(zhǎng)期如此，一定能培養(yǎng)學(xué)生良好的習(xí)慣，讓學(xué)生領(lǐng)悟?qū)忣}的一般程序和方法，提高學(xué)生的理解題目的能力.

（三）探究性理解水平的錯(cuò)誤

葉瀾教授曾提倡：“用動(dòng)態(tài)生成的觀念，重新全面地認(rèn)識(shí)課堂教學(xué)，構(gòu)建新的課堂教學(xué)觀，使課堂煥發(fā)生命活力.”數(shù)學(xué)教學(xué)，注重問題設(shè)計(jì)的整體性、層次性和探究性，通過問題串的設(shè)計(jì)來體現(xiàn)低起點(diǎn)、小坡度、密臺(tái)階，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，提高分析問題和解決問題的能力.

案例3某地街道呈現(xiàn)東—西、南—北向的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為1.兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn).若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5），（6，6）為報(bào)刊零售點(diǎn).試確定一個(gè)格點(diǎn)（除零售點(diǎn)外）為發(fā)行站，使6個(gè)零售點(diǎn)沿街道到發(fā)行站之間路程的和最短.

設(shè)發(fā)行站的坐標(biāo)為（x，y）（x，y為整數(shù)），則發(fā)行站到各零售點(diǎn)的距離為d.則d=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|.這是一種絕對(duì)值型函數(shù)，雖然式子中有兩個(gè)變量，但是這兩個(gè)變量之間彼此獨(dú)立，相互不受影響.可以分別對(duì)關(guān)于x和y的函數(shù)f（x）=2|x+2|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|和g（y）=|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|求最小值.對(duì)于絕對(duì)值函數(shù)f（x）和g（y），解決的一般方法是將函數(shù)絕對(duì)值的絕對(duì)號(hào)去掉，使之變成在區(qū)間上的分段函數(shù).本題關(guān)鍵在建模后對(duì)函數(shù)模型的認(rèn)識(shí)，如果被題目中含有兩個(gè)自變量的函數(shù)形式嚇住，這個(gè)問題就沒有辦法解決；如果能清楚地了解到這兩個(gè)變量之間的獨(dú)立性，問題也就迎刃而解.

多數(shù)同學(xué)建立數(shù)學(xué)模型后，不知道怎樣處理這兩個(gè)變量，被題目中含有兩個(gè)變量的函數(shù)形式嚇住，以至于建立模型后，也不知道接下來該怎樣處理.還有就是有些同學(xué)不知道怎樣建立模型，沒能從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)模型.

二、針對(duì)高中數(shù)學(xué)作業(yè)錯(cuò)解的對(duì)策

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生在平時(shí)的作業(yè)和訓(xùn)練中隨時(shí)會(huì)出錯(cuò)，出錯(cuò)并不可怕，關(guān)鍵是如何對(duì)待這些錯(cuò)誤，如何通過錯(cuò)誤有效地教育或引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生積極思考，達(dá)到鍛煉學(xué)生分析問題和解決問題的能力.“失敗是成功之母”，錯(cuò)誤即增長(zhǎng)點(diǎn).錯(cuò)解不可回避，要認(rèn)真對(duì)待它，使之發(fā)揮正面作用.一般來說，我們應(yīng)該在下面幾個(gè)方面進(jìn)行重點(diǎn)地關(guān)注.

1.平常教學(xué)過程中，在保證學(xué)科要求的前提下，重點(diǎn)加強(qiáng)記憶性水平和解釋性理解水平的知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)，同時(shí)再進(jìn)行探究性理解水平的知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)練習(xí)基本是以這個(gè)目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)的，只是改頭換面罷了，其實(shí)質(zhì)是不會(huì)變的，萬(wàn)變不離其宗.如果學(xué)生領(lǐng)悟和理解了，就會(huì)在很多情況下游刃有余.

案例4求橢圓x24+y2=1中斜率為1的平行弦的中點(diǎn)的軌跡？

課堂給學(xué)生介紹了用參數(shù)法解決此類題.在接下來的作業(yè)中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)弦長(zhǎng)端點(diǎn)都滿足橢圓方程，代入再作差后得到斜率的關(guān)系，進(jìn)而得出平行弦中點(diǎn)軌跡.當(dāng)學(xué)生們對(duì)自己方法感到竊喜時(shí)，我提出了：這方法有沒有哪里欠缺考慮了？有學(xué)生提出：該方法不能確保橢圓與弦所在的直線一定有兩個(gè)交點(diǎn).接下來學(xué)生補(bǔ)充到：那可以把求出的軌跡方程和橢圓聯(lián)立求二次方程的判別式.通過這兩種方法的對(duì)比，很多學(xué)生發(fā)現(xiàn)還是參數(shù)法好，不容易出錯(cuò).

2.正確心態(tài)對(duì)待錯(cuò)誤的發(fā)生.平時(shí)，面對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，不要過于批評(píng)，要鼓勵(lì)其改正錯(cuò)誤.對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行懲罰等行為則是更不應(yīng)該發(fā)生的.否則長(zhǎng)期以往，學(xué)生會(huì)有一種學(xué)習(xí)的消極或恐懼心理，反而不利于學(xué)生的成長(zhǎng).當(dāng)然，草率地對(duì)待錯(cuò)誤，甚至不理會(huì)或放任學(xué)生的錯(cuò)誤也會(huì)走向另外一個(gè)極端，也是不可取的.

3.將典型性錯(cuò)誤作為例題進(jìn)行講解，作為知識(shí)點(diǎn)講解的一部分.對(duì)這些頻率發(fā)生較高的或具有普遍性的錯(cuò)誤進(jìn)行講解，有利于大家在有限的時(shí)間里面都能夠最高效益地學(xué)習(xí).

三、高中數(shù)學(xué)作業(yè)錯(cuò)解的反思

高中數(shù)學(xué)是復(fù)雜而抽象的，學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤是正常的.老師要深入地研究教材，有的放矢地加強(qiáng)重點(diǎn)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，加強(qiáng)對(duì)錯(cuò)誤的理解.利用錯(cuò)誤進(jìn)行教育或引導(dǎo)學(xué)生，起到對(duì)知識(shí)加深.讓學(xué)生從正反兩個(gè)方面對(duì)知識(shí)點(diǎn)加深理解，搞懂其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)哲理.

教師也要善于利用典型性錯(cuò)誤來對(duì)同學(xué)進(jìn)行教育.作為老師，我們應(yīng)該以其獨(dú)特的視角去反思我們的教學(xué)過程，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的根源及錯(cuò)誤的價(jià)值，把學(xué)生犯錯(cuò)的過程看作是一種嘗試，將學(xué)生的錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為教學(xué)的巨大財(cái)富.

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾也曾經(jīng)指出：反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力，可見反思的重要性.培養(yǎng)學(xué)生解后反思的習(xí)慣，要指導(dǎo)他們?nèi)绾芜M(jìn)行解后反思，教給他們解后反思的內(nèi)容或著重點(diǎn).題目做錯(cuò)了要反思，題目做正確了也要反思；課堂上要反思，課后也要反思；可以進(jìn)行個(gè)人反思，也可以進(jìn)行集體反思；可以進(jìn)行口頭反思，也可以進(jìn)行筆頭反思.只有這樣，才能使學(xué)生在解后反思中，更加真切地領(lǐng)會(huì)題目中所涉及的基本知識(shí)、基本方法和基本思想，逐步掌握獨(dú)立思考、自主探究、合作交流等重要的學(xué)習(xí)方法，也才能讓學(xué)生深刻體會(huì)探究的樂趣，充分享受解題帶來的成就感.

高質(zhì)量、高效率的數(shù)學(xué)課，需要教師精心準(zhǔn)備課堂上所講的內(nèi)容和課后配套的鞏固性作業(yè).課堂上糾正作業(yè)時(shí)，有效講評(píng)，做到評(píng)講通法，觸類旁通，切實(shí)提升學(xué)生解題能力，讓數(shù)學(xué)課堂真正更有效、有益.