淺析高中數(shù)學(xué)文化選修課程的教學(xué)設(shè)計(jì)途徑

【摘要】新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)文化是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容之一，并要求將其滲透在每個(gè)模塊或者專題中.本文主要通過(guò)幾個(gè)例子探討了在高中開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)文化選修課程的教學(xué)設(shè)計(jì)途徑，希望通過(guò)選修課程的開(kāi)設(shè)引導(dǎo)學(xué)生去探索數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史軌跡，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)趣味，提高學(xué)生的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化 選修課程 設(shè)計(jì)途徑

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）19-0036-03

目前，新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)文化是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容之一，并要求將其滲透在每個(gè)模塊或者專題中。數(shù)學(xué)文化建設(shè)，已經(jīng)成為各國(guó)教師教育研究和培訓(xùn)工作者關(guān)心與討論的熱點(diǎn)。傳統(tǒng)的教學(xué)模式：定義-定理-例題-習(xí)題，難以讓學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)，并且禁錮了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。我們就需要在數(shù)學(xué)課程上給學(xué)生融入數(shù)學(xué)文化的相關(guān)知識(shí)。但是上課時(shí)間有限，我們不能系統(tǒng)的講述，所以我們建議適當(dāng)開(kāi)設(shè)少學(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)文化選修課程，使得學(xué)生在選修課堂上對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，數(shù)學(xué)家的故事及數(shù)學(xué)分支等有所了解。接下來(lái)，本文就應(yīng)用幾個(gè)實(shí)例來(lái)探討下高中數(shù)學(xué)文化選修課程的教學(xué)設(shè)計(jì)途徑。

一、以歷史為載體的教學(xué)設(shè)計(jì)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入歷史，帶進(jìn)人物，使得數(shù)學(xué)充滿人情味。以歷史為載體的教學(xué)可以在課堂上展示趣聞?shì)W事，也可以注入歷史材料，還可以將歷史的發(fā)展過(guò)程作為我們選修課程本身的一部分，例如，數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)。本案例是在概率選修課程的導(dǎo)入部分。

【案例1】大樣本一定能保證調(diào)查結(jié)論準(zhǔn)確嗎？ 1936年，美國(guó)《文學(xué)文摘》雜志根據(jù)1 000萬(wàn)用戶和從該雜志訂戶所收回的意見(jiàn)。斷言蘭登將以370：1 61的優(yōu)勢(shì)在總統(tǒng)選舉中擊敗羅斯福，但結(jié)果是：羅斯福當(dāng)選了，《文學(xué)文摘》大丟面子，原因何在呢？

以眾所周知的歷史為載體，引發(fā)學(xué)生思考和討論。討論后的結(jié)論是：樣本出了問(wèn)題：1936年美國(guó)的電話普及率并不高，其次，該雜志訂戶也很有限，因此，1000萬(wàn)戶的大樣本仍然屬于特殊群體，不具有代表性。

二、以探究為導(dǎo)向的教學(xué)設(shè)計(jì)

如果要學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)的數(shù)學(xué)方法，體味數(shù)學(xué)的形成與變化過(guò)程，有什么方法比通過(guò)積極的探究更好呢？而且積極地探究也更能勾起學(xué)生學(xué)習(xí)與創(chuàng)新的欲望。本案例是針對(duì)高中軌跡章節(jié)的拓展選修內(nèi)容。

【案例2】在軌跡的探究課堂上，老師提出這樣的探究問(wèn)題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡。

生：以F1，F(xiàn)2所在直線為X軸，以線段F1F2的垂直平分線為Y軸建立平面直角坐標(biāo)系；設(shè)|F1F2|=2c（c>0），再設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y）

∵|MF1|·|MF2|=m，

兩邊平方，化簡(jiǎn)得：

x4+y4+2x2y2-2c2y2+c4-m2=0

當(dāng)通過(guò)列式化簡(jiǎn)得到一個(gè)二元四次函數(shù)的時(shí)候，學(xué)生們遇到困惑不知道該如何進(jìn)展下去，太難了，打算放棄。這時(shí)候老師卻告訴大家：“別急，我們有辦法”。

師：幾何畫板演示當(dāng)c與m的大小發(fā)生改變時(shí)，我們一起欣賞會(huì)圖形的變化。

在幾何畫板的幫助下，老師演繹出了伯努力雙曲線，卡西尼卵形線的形成與變化。這個(gè)時(shí)候?qū)W生的眼里閃現(xiàn)的是驚喜和欣賞。原來(lái)數(shù)學(xué)這么神奇！

接下來(lái)就可以引導(dǎo)學(xué)生分析引起圖形變化的因子，進(jìn)而由圖像的對(duì)稱性進(jìn)行參數(shù)的分類討論，深層次探索“平面到兩定點(diǎn)之和，之差，之比的軌跡”。既能鞏固課堂所學(xué)知識(shí)，還能很好地培養(yǎng)學(xué)生的探索與創(chuàng)新意識(shí)。

三、以數(shù)學(xué)欣賞為切入點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)

其實(shí)，對(duì)美與數(shù)學(xué)的探討自古就有。開(kāi)普勒認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是這個(gè)世界之美的原型。”著名的法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家彭加勒說(shuō)：“感覺(jué)數(shù)學(xué)的美，感覺(jué)數(shù)和形的調(diào)和，感覺(jué)幾何學(xué)的優(yōu)雅，這是所有數(shù)學(xué)家都知道的美感。”當(dāng)然，數(shù)學(xué)文化的美學(xué)觀也會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)教育有著重要影響。本案例以欣賞圖形的美和愛(ài)情故事的美來(lái)引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)與形相結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

【案例3】不解風(fēng)情的真相：笛卡爾、公主與心形曲線的欣賞。

笛卡爾與克里斯汀公主美麗而哀傷的愛(ài)情故事深深地打動(dòng)著我們的學(xué)生，而當(dāng)年笛卡爾給公主的情書(shū)就是一個(gè)函數(shù)：r=a（1-sinθ）。這是一個(gè)極坐標(biāo)形式的函數(shù)，其中a為參數(shù)，不同的取值可以得到不同的圖像，當(dāng)a<0，就是一個(gè)倒轉(zhuǎn)的心形圖，下面就是當(dāng)a=1和a=-1時(shí)的圖像。

在直角坐標(biāo)里，y=1-sinx時(shí)一個(gè)太普通不過(guò)的函數(shù)，但是若將之看成極坐標(biāo)函數(shù)，則得到一個(gè)非常漂亮的曲線，看來(lái)一個(gè)人的外表不重要，關(guān)鍵是看你站在什么位置，不同的位置將會(huì)有不同的價(jià)值體現(xiàn)。而且不要以為數(shù)學(xué)就是一堆公式，數(shù)學(xué)也很感性。

引申欣賞：不錯(cuò)的幾個(gè)心形曲線：

（1）通過(guò)橢圓繪制的心形函數(shù)（圖5）

你可以通過(guò)繪制兩條橢圓并限制定義域的方法繪制。當(dāng)然因?yàn)楦咧袑W(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)傾斜的橢圓，所以我們可以引導(dǎo)學(xué)生在選修課程上自己動(dòng)手，通過(guò)對(duì)橢圓進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和取值限制得到。

（2）通過(guò)單值函數(shù)合成的圖像

這個(gè)方程下的圖像（圖6））非常完美，形狀非常接近心目中的愛(ài)心圖形，你可以將之看成兩個(gè)單值函數(shù)圖像的合成：

（3）隨著信息的發(fā)展和對(duì)數(shù)學(xué)的探索，有人早就畫出了3D版的心形圖像

其實(shí)這些美麗的圖片在網(wǎng)絡(luò)上我們可以大量的查詢到，將數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，畫圖其實(shí)是一種簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，體現(xiàn)了數(shù)量之間的關(guān)系，也能充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的美。

四、以游戲?yàn)榍榫车慕虒W(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)中的游戲能為學(xué)生動(dòng)手，動(dòng)腦，動(dòng)口，多種感官參與學(xué)習(xí)活動(dòng)創(chuàng)造更好的環(huán)境。在“趣”中學(xué)，在“賽”中練，調(diào)動(dòng)學(xué)生的好奇心與求知欲望是設(shè)計(jì)游戲的目標(biāo)。下面通過(guò)一個(gè)游戲設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入斐波那契數(shù)列的學(xué)習(xí)中。

【案例4】師：首先請(qǐng)同學(xué)們做一個(gè)小游戲：十秒鐘的加法

1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=？（PPT展示）

師：十秒到！請(qǐng)問(wèn)哪位同學(xué)能把你的答案和大家分享下？ 生A：231

師：很好！那我們?cè)賮?lái)一次。34+55+89+144+233+377+610+987+1597+2584=？

師：時(shí)間到！算出來(lái)的同學(xué)可以報(bào)下你的答案。生一片安靜。

師：呵呵，數(shù)字有點(diǎn)大，計(jì)算難度增加。不過(guò)沒(méi)關(guān)系，通過(guò)這節(jié)斐波那契數(shù)列選修課程的學(xué)習(xí)大家可以很容易找到他們的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算。

課程學(xué)習(xí)：兔子問(wèn)題：假設(shè)理想狀態(tài)下：一對(duì)大兔子每月生對(duì)小兔子，每對(duì)新生在出生一個(gè)月后又下崽，假若兔子不死亡。問(wèn)：一對(duì)兔子一年能繁殖多少對(duì)兔子？

這個(gè)問(wèn)題小學(xué)生也能慢慢算出來(lái)，但我們既然是高中生，就要有所突破。我們這里可以針對(duì)大兔子和小兔子對(duì)數(shù)列個(gè)表格：

可以得到共有兔子144對(duì)。

高中生不僅僅要填數(shù)，而且要找規(guī)律，這就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

規(guī)律：1 每個(gè)月的小兔子數(shù)=上個(gè)月的大兔子數(shù)

2 每個(gè)月的大兔子數(shù)=上個(gè)月大兔子數(shù)+上個(gè)月小兔子數(shù)

3 每個(gè)月的大兔子數(shù)=前兩個(gè)月的大兔子數(shù)的和

這個(gè)就是斐波那契數(shù)列的規(guī)律。由這個(gè)規(guī)律，我們可以得到一個(gè)二階遞推公式：

Fn表示n個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)。

當(dāng)然由這個(gè)公式可以推導(dǎo)出很多規(guī)律，計(jì)算能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)小學(xué)生水平，而且會(huì)有更多更豐富的內(nèi)容在里面。

然后引導(dǎo)學(xué)生研究斐波那契數(shù)列在各個(gè)領(lǐng)域的奇妙之處。

（1）自然界中的斐波那契數(shù)列。

（2）斐波那契數(shù)列與黃金比例。

（3）證券投資的艾略特“波浪理論”。

（4）斐波那契數(shù)列與股市時(shí)間。

五、以未知領(lǐng)域探索為依托的教學(xué)設(shè)計(jì)

在歐美大片中，我們經(jīng)?？吹竭@樣的鏡頭：通過(guò)眼睛或者指紋，可以打開(kāi)安全系統(tǒng)智能大門。智能識(shí)別系統(tǒng)在高中生眼里還是充滿了神秘感。利用學(xué)生的好奇心可以引發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)與用途的思考。智能識(shí)別系統(tǒng)有人臉識(shí)別，虹膜識(shí)別，掌紋識(shí)別，指紋識(shí)別，還有筆跡鑒定等。這里以筆者比較熟悉的水印識(shí)別為例，引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用中。

【例5】對(duì)著燈光，我們可以看到100元鈔票里有隱藏的毛主席頭像，這就是鈔票中的防偽標(biāo)識(shí)之一—水印。那么水印是怎么嵌進(jìn)去的呢？它在多媒體數(shù)字產(chǎn)品中又如何證明產(chǎn)權(quán)所有呢？我們用簡(jiǎn)單的圖例與流程引導(dǎo)大家分析。當(dāng)然在這里我們需要先了解任意的圖像甚至我們的人臉，手掌都是可以用一個(gè)數(shù)字的矩陣表示的，我們的操作都是在這樣的原理上進(jìn)行

的。

接下來(lái)將置亂后的水印嵌入到原始載體的2級(jí)分解圖的系數(shù)中，進(jìn)行還原，可以得到加水印的圖片（e），這張圖片不僅僅能再次提取出水印，而且具有很強(qiáng)的抗攻擊性，既在網(wǎng)絡(luò)上傳播時(shí)，被別人剪切，壓縮，銳化，加噪音后依然可以使用我們手中的密碼提取出水印，證明版權(quán)，或者防偽。如圖所

示：

其實(shí)這類應(yīng)用在醫(yī)學(xué)，天文，音樂(lè)處理等很廣泛。甚至我們每個(gè)人都用過(guò)的手機(jī)中的美圖秀秀都是類似原理。

六、結(jié)束語(yǔ)

伯金斯教授和加德納教授認(rèn)為：盡管獲得和保存知識(shí)是教育的重要目標(biāo)，但只有當(dāng)學(xué)習(xí)者在理解的基礎(chǔ)上內(nèi)化這些知識(shí)時(shí)，知識(shí)才能真正成為他自己的知識(shí)。數(shù)學(xué)文化選修課程突出數(shù)學(xué)文化滲透，注重知識(shí)理解，引導(dǎo)學(xué)生探究，欣賞數(shù)學(xué)之美，穿插歷史，開(kāi)闊視野，讓學(xué)生更親近數(shù)學(xué)。

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