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    從錯題探究線性代數(shù)的教學(xué)

    2015-05-30 23:25:55熊波
    關(guān)鍵詞:線性代數(shù)錯題教學(xué)

    熊波

    【摘要】本文結(jié)合兩道典型的線性代數(shù)例題,對錯解進(jìn)行詳細(xì)的探究,總結(jié)出一套教學(xué)策略,以此培養(yǎng)學(xué)生舉一反三,類比分析,以及探索根因的能力.針對線性代數(shù)的特點(diǎn),結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn),提出一些看法.

    【關(guān)鍵詞】線性代數(shù);教學(xué);錯題

    線性代數(shù)是高校經(jīng)濟(jì),管理類專業(yè)本科生一門重要的基礎(chǔ)課,是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的重要組成部分.與微積分相比,線性代數(shù)這門學(xué)科的特點(diǎn)是內(nèi)容抽象,概念多,性質(zhì)多,內(nèi)容縱橫交錯,前后聯(lián)系緊密,環(huán)環(huán)相扣,相互滲透.正是由于這種學(xué)科特點(diǎn),導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)起來有很大難度,普遍感到“做題困難”、“做題沒有思路”.針對這一現(xiàn)象,本文結(jié)合在教學(xué)實(shí)踐中遇到的典型錯例,探討線性代數(shù)的教學(xué)策略,更好地培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行抽象思維和運(yùn)用所學(xué)的知識解決實(shí)際問題的能力.

    一、典型錯例

    例1已知矩陣A為n階方陣,A2=A,A≠E,證明|A|=0.

    雖然這是一道在線性代數(shù)練習(xí)中常見的簡單證明題,但是學(xué)生在處理時(shí)總會出現(xiàn)一些錯誤,現(xiàn)將錯誤的解法歸納如下:

    錯解1在等式兩邊同時(shí)取行列式得|A|2=|A|,因此|A||A|-1=0,因?yàn)锳≠E,所以|A|≠1,由此得|A|=0,證畢.

    此種證明方式錯誤之處在于因?yàn)锳≠E,所以|A|≠1,很容易舉出反例.

    設(shè)A=20012≠E,但是|A|=1.

    造成學(xué)生使用此錯誤方法證明的原因是學(xué)生在理解矩陣的行列式這個概念時(shí),很容易將矩陣與行列式兩個概念相混淆,經(jīng)常使用一些啼笑皆非的結(jié)果,例如因?yàn)锳≠O,所以|A|≠0.

    錯解2由A2=A得AA-E=O,因?yàn)锳≠E,所以A-E≠O,由此得A=O,所以|A|=0.證畢

    此種證明方式的錯誤之處在于忽視了矩陣乘法不滿足消去率,設(shè)A,B,C均為矩陣,若AC=BC推不出A=B.

    例如A=1203,B=1004,C=1100,AC=1100=BC,但是A≠B.

    正是因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足消去率,矩陣乘法就不滿足以下我們在數(shù)字乘法中常用的一條性質(zhì)AB=0A=0或B=0,這條性質(zhì)在矩陣乘法中也是不成立的.例如

    A=11-1-1,B=1-1-11,AB=0000,

    但是A≠O,B≠O.在上述證明中正是錯誤地使用了這條性質(zhì),導(dǎo)致證明錯誤.

    正解:反證假設(shè)|A|≠0,則A可逆,等式A2=A兩邊同時(shí)左乘A-1,得A=E,與已知矛盾,說明假設(shè)不成立,因此|A|=0.

    例2判斷說明題:若矩陣A與B等價(jià),則A的行向量與B的行向量等價(jià).

    這道題涉及矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)兩個概念.矩陣與向量組的關(guān)系一直都是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),在講授這部分內(nèi)容時(shí)老師總是會強(qiáng)調(diào)m×n矩陣A,既可以看成是m個n維行向量組成的向量組又可以看成是n個m維列向量組成的向量組,即矩陣可以看成向量組,向量組也可以看成矩陣.學(xué)生會認(rèn)為既然矩陣就是向量組,向量組就是矩陣,那么若矩陣A與B等價(jià),則顯然A的行向量與B的行向量等價(jià),而且A與B的列向量也是等價(jià)的,從而認(rèn)為這個論斷正確,在學(xué)生中99%的人會持有這種想法.

    其實(shí)這個論斷是錯誤的,一個簡單的例子就能說明問題.

    設(shè)A=100010,B=101010,觀察可以看出將A第一列加到第三列上就是矩陣B,所以矩陣A與B等價(jià),但是A的行向量組是1,0,0,0,1,0,B的行向量組是1,0,1,(0,1,0),他們不等價(jià).

    產(chǎn)生這種錯誤的原因是學(xué)生混淆了矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)兩個概念,仔細(xì)研究概念會發(fā)現(xiàn)矩陣等價(jià)是指若矩陣A能通過初等變換變成矩陣B,則稱矩陣A與B等價(jià),而向量組等價(jià)指的是若向量組I與向量組II能互相線性表示,則稱向量組I與向量組II等價(jià).這兩種等價(jià)的定義是完全不同的,以下幾個定理也能說明這個問題:

    (1)矩陣A與B等價(jià)的充要條件是rA=rB;

    (2)若向量組I與向量組II等價(jià),則rI=rII.

    矩陣等價(jià)中的充要條件在向量組等價(jià)中成為了充分條件,而從上面的反例中也可以看出(2)的逆命題是不成立的.r1,0,0,0,1,0=r1,0,1,(0,1,0)=2,但是向量組1,0,0,0,1,0與向量組1,0,1,(0,1,0)不能相互線性表示,所以他們不等價(jià).若希望(2)的逆命題成立必須加上條件

    (3)若rI=rII,并且向量組I能由向量組II線性表示,則向量組I與向量組II等價(jià).

    從上述分析可以看出,矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)是不同的兩個概念,兩個向量組等價(jià)則它們所對應(yīng)的矩陣等價(jià),反之則不真.數(shù)學(xué)概念是日常生活中的客觀事物在數(shù)量關(guān)系上的抽象反映,這也就決定了線性代數(shù)概念的抽象性,例如:行列式、線性相關(guān)、特征值等概念.因此教師在講授完這兩個概念后一定要將這兩個概念進(jìn)行比較,通過簡單的例子讓學(xué)生了解兩個概念的區(qū)別與聯(lián)系.教師通過對比概念之間的關(guān)系既能恰如其分地引進(jìn)新概念,也有助于加深學(xué)生對已學(xué)概念的理解,這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)才會達(dá)到事半功倍的效果.

    以上是筆者總結(jié)授課過程中經(jīng)常遇到的錯解,其主要原因在于學(xué)生對抽象概念的理解有誤.正因?yàn)榫€性代數(shù)的基本概念很多,許多概念之間形成了連環(huán)扣,一環(huán)扣一環(huán),如若某一環(huán)出現(xiàn)問題,就會致使環(huán)節(jié)亂套.所以筆者在日常教學(xué)中總結(jié)出了一套授課技巧,首先力求將某些概念轉(zhuǎn)化為直觀形象的說法加以說明,其次正確使用符號和運(yùn)算法則,使學(xué)生一目了然,將公式爛熟于心,最后通過實(shí)際中的應(yīng)用或引入相關(guān)的例子對概念多做說明.

    只有通過教師的一步步引導(dǎo),學(xué)生自主思考的學(xué)習(xí)能力,加上對概念進(jìn)行直觀形象的講授,才能促使學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的過程中步步為營,環(huán)環(huán)相扣.

    二、線性代數(shù)的教學(xué)策略探討

    1.講授概念需直觀形象

    數(shù)學(xué)概念一般較為抽象,若不注重引入方法直接介紹,若不對概念引入方法、分析比較、舉一反三,對學(xué)生而言,一般難以掌握概念間的區(qū)別,以致張冠李戴,解題出錯.在教學(xué)中,為了讓學(xué)生弄清某些定義敘述較為抽象的概念,教師應(yīng)用大量的實(shí)例將概念具體化.

    例如線性代數(shù)的一個重要概念——向量組的極大無關(guān)組,它是向量組這章的重難點(diǎn),只有講清楚了此概念的定義和性質(zhì),學(xué)生才能理解向量組的秩,這是課程中承上啟下的一個重要概念.此概念較為抽象,直接按定義講述學(xué)生很難理解,因此在處理這個概念時(shí),筆者首先會給學(xué)生講一個實(shí)例.某大學(xué)校長要向全校學(xué)生傳達(dá)一個文件,他會怎么做呢?如果把全校學(xué)生集合起來開大會是很不明智的做法,因?yàn)檫@需要很大的場地而且很難保證每個學(xué)生都到場.此時(shí)校長會請每班派班長來參加會議,再由班長將文件傳達(dá)給每一個學(xué)生.教師將這個生活中常常遇到的問題引入到極大無關(guān)組的概念講解中.如果把全校學(xué)生看成一個向量組,這個由每班班長組成的代表組就是向量組的極大無關(guān)組.接下來教師馬上反問學(xué)生,這個代表組有什么特點(diǎn)?

    (1)這個代表組是唯一的嗎?

    (2)這個代表組的人數(shù)恒定嗎?

    (3)這些代表之間是什么關(guān)系?

    (4)代表組與全校學(xué)生是什么關(guān)系?

    此時(shí)學(xué)生會馬上回答,這個代表組可以由每班的班長組成,也可以由每班的支部書記組成,它不是唯一的;但是代表組成員的人數(shù)是恒定的,因?yàn)槊堪嘀恍枧梢幻韰⒓訒h;同時(shí)這些代表必須來自不同的班級;代表組能夠代表全校學(xué)生;四個簡單的問題就讓學(xué)生理解了極大無關(guān)組不唯一,極大無關(guān)組中向量個數(shù)是不變的,極大無關(guān)組是由線性無關(guān)的向量構(gòu)成的,極大無關(guān)組與向量組等價(jià)這些性質(zhì).

    通過這個實(shí)例來學(xué)習(xí)極大無關(guān)組的概念,課堂氣氛活躍,如此講解一方面使學(xué)生覺得親切易懂,另一方面引起了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,學(xué)生學(xué)習(xí)輕松自如,概念理解透徹,性質(zhì)定理記憶深刻,可以達(dá)到事半功倍的效果.

    2.符號和運(yùn)算法則需正確使用

    線性代數(shù)的符號多,運(yùn)算法則多,學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)會與以前的符號和運(yùn)算法則混淆.比如說矩陣A的逆矩陣符號A-1,學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)習(xí)慣上將它與數(shù)的倒數(shù)聯(lián)系在一起,就會引入錯誤記號1A,已知矩陣A可逆,則AB=CB=CA,這是在學(xué)生作業(yè)中經(jīng)常會出現(xiàn)的錯誤.學(xué)生混淆了矩陣的逆矩陣與數(shù)的倒數(shù)符號,產(chǎn)生了上述錯誤,在習(xí)題課上教師必須指出這種符號錯誤,通過錯誤事例讓學(xué)生加強(qiáng)記憶.

    線性代數(shù)課程中的運(yùn)算法則有很多與以前的運(yùn)算法則完全不同,例如矩陣乘法不滿足交換律,消去率,上文的錯解2就是學(xué)生錯誤使用消去率造成的.學(xué)生往往會忽視這些法則,錯誤的使用以前的數(shù)學(xué)公式,例如:

    A+B2=A2+2AB+B2A+BA-B=A2-B2

    這是學(xué)生經(jīng)常使用的公式,但是在矩陣乘法中這些公式卻不一定成立.因此要求教師必須在講授過程中加強(qiáng)學(xué)生對法則的認(rèn)識,用生動的語言和適宜的比喻,加強(qiáng)學(xué)生的記憶.再例如,講授ABT=BTAT這個法則時(shí),筆者會稱之為“穿衣服,脫衣服”法則,穿和脫的順序正好是相反的,因此等式左右兩邊的順序相反.利用這個形象生動的比喻,幫助學(xué)生記住了這個法則.當(dāng)再次遇到與之類似的性質(zhì)AB=BA時(shí),學(xué)生馬上會想到“穿衣服,脫衣服”法則.

    3.概念混淆需比較講授

    所謂比較法,即把某些有一定相關(guān)性的知識點(diǎn)或練習(xí)題放在一起對照講授或練習(xí),找出它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)的教學(xué)方法.它包括:相反概念的比較;易混概念的比較;新舊知識的比較;同類事物的比較.對于線性代數(shù)中有許多相似的概念,非常容易發(fā)生混淆,教室在授課的過程中將其進(jìn)行比較分析,以加強(qiáng)對概念的理解.比如上文中的例2,對比講授矩陣等價(jià)與向量組等價(jià),可以使學(xué)生加深對知識的理解,準(zhǔn)確把握題意,提高分析理解的能力.通過比較可以辨別真?zhèn)巍⒄`,提高認(rèn)識水平;可以舉一反三,拓寬視野,更好地把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特征.

    4.知識點(diǎn)需環(huán)環(huán)相扣

    線性代數(shù)課程的知識點(diǎn)縱橫交錯,前后聯(lián)系緊密,環(huán)環(huán)相扣,相互滲透.行列式、矩陣、向量、線性方程組,方陣的特征值各章之間由一個概念——秩,貫穿始終,教師在講授時(shí)應(yīng)抓住這個重點(diǎn),時(shí)刻提醒學(xué)生注意前后知識點(diǎn)的聯(lián)系.例如n階方陣A,

    rA=n|A|≠0A可逆A的行(列)向量組線性無關(guān)Ax=0僅有零解Ax=b有唯一解A的特征值全部非零rA=n.

    通過秩的概念,可以將整個線性代數(shù)的知識貫穿成一個圓環(huán),圓環(huán)上任意兩個節(jié)點(diǎn)之間都是等價(jià)關(guān)系.只有抓住了這些等價(jià)關(guān)系,才真正掌握了線性代數(shù)的靈魂,學(xué)生才能自如地運(yùn)用這些知識點(diǎn)進(jìn)行解題.因此,在授課過程中,應(yīng)緊抓核心知識點(diǎn),由局部到整體,由分散到總結(jié),指導(dǎo)學(xué)生掌握重點(diǎn)學(xué)習(xí)方法(3).

    5.錯題講解需舉一反三

    一定量的典型習(xí)題訓(xùn)練有利于學(xué)生加深對所學(xué)知識的理解.精心組織好習(xí)題,是提高教學(xué)質(zhì)量的一個重要環(huán)節(jié).教育部委托復(fù)旦大學(xué)草擬《線性代數(shù)教學(xué)大綱》中指出:“習(xí)題課的作用是使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握課程內(nèi)容,以及培養(yǎng)嚴(yán)格的推理能力”,此處明確了習(xí)題課的重要性.因此,在習(xí)題課上,教師需要適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性,善于歸納總結(jié),通過做題吸收知識內(nèi)容.

    此外,筆者認(rèn)為不僅僅要求一定的習(xí)題量,還要培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)錯誤做法(2)舉一反三,觸類旁通,以免學(xué)生對抽象概念一知半解,這樣可以激發(fā)學(xué)生的求知欲,繼而達(dá)到好的學(xué)習(xí)效果.

    以上是筆者在《線性代數(shù)》課程教學(xué)的一些觀點(diǎn),通過總結(jié)幾年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),筆者認(rèn)為概括來說就是要更為注重學(xué)生的接收能力,才能合理地進(jìn)行教學(xué).教師作為整個課堂的操縱者,應(yīng)學(xué)會用生動的語言、合適的比喻來帶動課堂氣氛,抓住學(xué)生的眼球,同時(shí)也要求教師在實(shí)踐中不斷改進(jìn)教學(xué)方法,形成自己的教學(xué)特色,精心安排每一堂課的環(huán)節(jié),對教學(xué)效果多做總結(jié)和反省,對學(xué)生言傳身教.方能讓深奧枯燥的數(shù)學(xué)知識妙趣橫生,淺顯易懂.正如陶行知先生所言“要想學(xué)生好學(xué),必須先生好學(xué).唯有學(xué)而不厭的先生才能教出學(xué)而不厭的學(xué)生.”

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]孫艷,呂堂紅.《線性代數(shù)》課程教學(xué)改革的實(shí)踐與思考[J].長春理工大學(xué)學(xué)報(bào)(社會科學(xué)版),2007(1).

    [2]鄭寶東,武靜波,張春蕊.在典型例題的習(xí)題課教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2008(2).

    [3]馬麗杰.關(guān)于線性代數(shù)教學(xué)中的幾點(diǎn)思考[G].改革與開放,2009(24).

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