五味俱全的一節(jié)公開課

周衡

【摘要】新課程教學(xué)中如何使數(shù)學(xué)課生動(dòng)、活潑的展現(xiàn)在學(xué)生面前.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)味；研究味；應(yīng)用味；文化味；生活味等味道

要開《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》這節(jié)公開課.一說起這節(jié)課，就使人想到公式、證明、推理，計(jì)算、解題，給人以嚴(yán)肅抽象、枯燥乏味的感覺.許多老師上過很多次課.很難上出新意.其實(shí)，數(shù)學(xué)完全可以以生動(dòng)、形象、鮮活的面孔展現(xiàn)在學(xué)生面前，只要教師在平時(shí)的教學(xué)中多加點(diǎn)“調(diào)味料”，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候，真正感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“酸甜苦辣咸”，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“食欲”.

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)：探究橢圓的定義及有關(guān)概念；弄懂橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，能區(qū)分橢圓的焦點(diǎn)在X軸與Y軸上的不同；能夠根據(jù)給定的條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生試驗(yàn)、觀察、分析、抽象概括的能力；滲透數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.

情感目標(biāo)：通過讓學(xué)生探究定義的形成，鼓勵(lì)學(xué)生積極、主動(dòng)的參與教學(xué)，激發(fā)其求知的欲望，同時(shí)在教學(xué)的過程中帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美和簡(jiǎn)潔美，并對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)和愛國(guó)主義教育.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的形式、特點(diǎn)； 焦點(diǎn)坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

難點(diǎn)：（1）標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，這過程涉及適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系的建立和無理方程的變形.

（2）橢圓定義中焦距與長(zhǎng)軸的大小關(guān)系以及橢圓焦點(diǎn)分別在X軸和Y軸上時(shí)的方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的區(qū)別與聯(lián)系，這也是教學(xué)中的重點(diǎn).

三、教學(xué)過程

1.新課導(dǎo)入——辣的生活味

案例在學(xué)習(xí)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》時(shí)，介紹如下事件：“嫦娥”一號(hào)飛船2007年10月24日18時(shí)5分，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征三號(hào)甲運(yùn)載火箭將嫦娥一號(hào)衛(wèi)星成功送入太空.“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星它的近月點(diǎn)工作軌道是200公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)高度8 6 0 0公里以月球的球心為一個(gè)焦點(diǎn) 的橢圓形軌道.已知月球半徑約3475公里.

“嫦娥二號(hào)”于2010年十月初奔月、在距離月球100公里的軌道工作、降落到距月球只有15公里處的軌道，對(duì)未來“嫦娥三號(hào)”月球著陸點(diǎn)探測(cè)地形地貌.

師：你能求出“ 嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星運(yùn)行的軌跡方程嗎？

在我們實(shí)際生活中，同學(xué)們見過橢圓嗎？能舉出一些實(shí)例嗎？

（任何學(xué)科的教學(xué)都應(yīng)體現(xiàn)生活味，可以說生活中處處有數(shù)學(xué).我國(guó)著名的教育家陶行知先生曾提到“生活即教育”“社會(huì)即學(xué)?！薄皼]有生活做中心的教育是死教育”.的確如此，實(shí)際生活是教育的中心，教育要通過生活才能產(chǎn)生力量而成為真正的教育.在數(shù)學(xué)教學(xué)中要有時(shí)代性并帶有生活中味道，而數(shù)學(xué)和社會(huì)息息相關(guān)，因此如何將具有現(xiàn)代特征的、新聞?lì)惖闹R(shí)充斥到數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中去顯得非常重要，尤其是在當(dāng)今這個(gè)信息“爆炸”的社會(huì)中.讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)無處不在.大大調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高參與程度，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.并激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱情，調(diào)動(dòng)起好奇心，激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)本課的興趣.效果頗佳.寓教于樂，其樂無窮?。?/p>

2.概念透析——苦的研究味

1.學(xué)生分組試驗(yàn)

2.分組討論概括橢圓上的點(diǎn)滿足什么條件

師問1：如果我把繩子縮短一些呢？

問2：如果我把繩子短到什么程度就不能畫出橢圓？此時(shí)畫出什么圖形？

問3：如果繩子比定點(diǎn)短呢

有學(xué)生得出結(jié)論，一起歸納橢圓的概念

（1）復(fù)習(xí)求曲線的方程的基本步驟

（2）如何選取坐標(biāo)系？

師問1：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程那么如何建立坐標(biāo)系使圓的方程看起來簡(jiǎn)潔漂亮

問2：橢圓與圓具有相同的對(duì)稱性，如何建立坐標(biāo)系，

以過F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為Y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

（在引入橢圓的概念時(shí)， 我準(zhǔn)備了必要的工具， 大膽地請(qǐng)學(xué)生上來畫橢圓，由學(xué)生自己進(jìn)行實(shí)踐和研究，通過把繩子縮短一點(diǎn)， 再短一點(diǎn)，再短一點(diǎn)所畫 出的不同圖形，由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)定義的不完整， 并補(bǔ)充完整.這是發(fā)現(xiàn)法，發(fā)現(xiàn)的結(jié)果會(huì)讓學(xué)生記憶深刻.但它最大的缺點(diǎn)在于太耗費(fèi)時(shí)間，所以在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)上， 我采取了學(xué)生口述， 我來板書的方式， 將講授法與發(fā)現(xiàn)法結(jié)合起來， 這樣不但大大提高了課堂效率，也給了不同層次的學(xué)生互相學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì).注重概念形成過程.通過讓學(xué)生親自動(dòng)手，分組討論，從感性認(rèn)識(shí)自然過渡到理性認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、概括能力.讓學(xué)生充分體會(huì)研究的苦味）

3.推導(dǎo)方程——咸的數(shù)學(xué)味

以過F1、F2的直線為X軸，線段F1F2的垂直平分線為Y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)M（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距│F1F2│為2c（c>0）、正常數(shù)為2a，則F1（-c，0）、F2（c，0）

根據(jù)橢圓的定義可得：│MF1│+│MF2│=2a（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a

（問3：這也是橢圓的方程式，但是繁，不美規(guī)，想一想：下面怎樣化簡(jiǎn)？使漂亮點(diǎn)）

（1）學(xué)生在下面進(jìn)行運(yùn)算，教師一邊巡視，一邊給予指導(dǎo)和提示，然后選出1～2名學(xué)生的推導(dǎo)過程利用實(shí)物投影儀展示出來，并請(qǐng)學(xué)生本人作簡(jiǎn)要陳述.

x2[]a2+y2[]a2-c2=1.

（2）b的引入

師問方程雖然簡(jiǎn)單些，但是橢圓有對(duì)稱美，解析式也有對(duì)稱美

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1a>b>0.

（3）如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，并且焦點(diǎn)為F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），則橢圓方程為y2a2+x2b2=1a>b>0，這也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

2.兩種類型的橢圓方程的比較：

歸納注意點(diǎn)

（學(xué)會(huì)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，構(gòu)造數(shù)與形的橋梁，體會(huì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.通過練習(xí)來強(qiáng)化理解，深化知識(shí)點(diǎn)的掌握，突出重點(diǎn)、難點(diǎn).開拓學(xué)生的思維，訓(xùn)練學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.讓學(xué)生參與到問題的解答中，體驗(yàn)方程推導(dǎo)的全過程，培養(yǎng)運(yùn)算能力.以問題驅(qū)動(dòng)展開教學(xué)活動(dòng).“ 問題是數(shù)學(xué)的心臟”，是引發(fā)學(xué)生積極思考的動(dòng)力.按照教學(xué)活動(dòng)的展開程序， 設(shè)計(jì)了層層遞進(jìn)的系列問題， 引導(dǎo)學(xué)生積極有序地開展思維、 探究活動(dòng).同時(shí)也教給學(xué)生提出問題、 研究問題的學(xué)習(xí)方法， 調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).是數(shù)學(xué)的原味，充滿了辛勤汗水的.）

4.嘗試應(yīng)用——甜的應(yīng)用味

1.下列方程哪些表示的是橢圓，如果是，判斷它的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？

（1）x2[]25+y2[]16=1

（2）9x2-25y2-225=0

（3）-3x2-2y2=-1

（4）x2[]m2+y2[]m2+1=1

注意：分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，反之亦然.

2.寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-4，0）、（4，0），橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于10；

變式一：將上題焦點(diǎn)改為（0，-4）、（0，4）， 結(jié)果如何？

變式二：將上題改為兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為8，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和等于10，結(jié)果如何？

（學(xué)生直接搶答）

（以例代練，充分讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦.及時(shí)反饋，強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，也起到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣的作用.運(yùn)用變式訓(xùn)練， 促進(jìn)各層學(xué)生的發(fā)展.書上例題偏難， 缺乏臺(tái)階， 教師重新設(shè)計(jì)了模仿練習(xí)和綜合 練習(xí)， 層層遞進(jìn)， 有機(jī)結(jié)合，適應(yīng)了各層學(xué)生的學(xué)習(xí) 需求.）

一節(jié)課綜合了有數(shù)學(xué)味、研究味、應(yīng)用味、文化味、生活味.在整節(jié)課的實(shí)施過程中，學(xué)生切實(shí)體驗(yàn)到了從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)問題，是學(xué)生主動(dòng)探索、 合作交流的過程.用數(shù)學(xué)方法解決問題， 從而獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的過程.就是有數(shù)學(xué)原味的.學(xué)生在探究過程中， 滲透著分類討論的思想， 培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手的實(shí)踐能力.通過討論交流以及發(fā)現(xiàn)的種種問題， 因勢(shì)利導(dǎo).在學(xué)生體驗(yàn)成功快樂的同時(shí)， 提煉了總結(jié)能力.橢圓形象樸實(shí)而平凡， 卻華貴雍容.不但優(yōu)美而且頗多含有樸素的唯物主義思想和科學(xué)道理，值得我們?nèi)セ匚逗屠斫?，也有助于?duì)書本知識(shí)的理解.用詩詞裝點(diǎn)數(shù)學(xué)，在為數(shù)學(xué)服務(wù)的時(shí)候，增強(qiáng)了學(xué)生閱讀、理解數(shù)學(xué)題目的能力.將文學(xué)和數(shù)學(xué)結(jié)合就是文理結(jié)合，真是美妙的結(jié)合.這樣，還有誰覺得乏味呢？