一題多變 立足基礎(chǔ)

潘益娟

摘 要：一次函數(shù)是初中學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的第一個階段，其基礎(chǔ)性和重要性不言而喻，中考對函數(shù)的考查屬重頭戲，對一次函數(shù)的考查十分關(guān)注.通過一題多變把一次函數(shù)的有關(guān)基礎(chǔ)知識橫縱向聯(lián)系，把以前學(xué)習(xí)的方程（組）、不等式（組）等統(tǒng)一起來認(rèn)識，逐步達(dá)到新舊知識的融會貫通，從而進(jìn)一步體會一次函數(shù)的重要性，通過一題多變能更全面、更快捷地掌握知識和技能.

關(guān)鍵詞：一次函數(shù)；一題多變；輕負(fù)高質(zhì)

一次函數(shù)是初中函數(shù)的一個重點(diǎn)，也是近幾年中考的熱點(diǎn)，很多學(xué)生剛涉及函數(shù)會覺得它抽象、枯燥無味，所以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣是取得成功的前提.而多進(jìn)行一些函數(shù)一題多變訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)興趣的重要途徑之一.我們不能讓學(xué)生沉浸于“題海戰(zhàn)術(shù)”，一個原因是花費(fèi)時間，且加重了學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)；另一個原因是重復(fù)低效，這樣大部分學(xué)生的思維就會變得狹隘，學(xué)習(xí)起來就只能是知其一，不知其二，不懂變通，只要題目稍有變化就會感到很迷茫，不知怎么下手解答.所以一定要精選題目，特別是那些一題多變題，通過一題多變題的訓(xùn)練可以使所學(xué)的知識緊密聯(lián)系在一起，進(jìn)而達(dá)到解一道通一類，類型做多了，以后遇到相似的題目就會有熟悉感，解題方法、思路就清晰了，深入分析就可以做到舉一反三，觸類旁通，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和求知欲，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.

一題多變一般指的是變條件、變結(jié)論、或引申、拓展、改編等.一題多變題類型很多，舉不勝舉，現(xiàn)就以“一次函數(shù)y=（2m-1）x+3-m”為例，了解怎樣用一題的變式概括一次函數(shù)的基礎(chǔ)知識點(diǎn).

例題：已知函數(shù)y=（2m-1）x+3-m是一次函數(shù)，求m的取值范圍.

分析：此題考查了一次函數(shù)的定義：一次函數(shù)y=kx+b中比例系數(shù)k≠0.即2m-1≠0，解得：m≠0.5.

變式1：已知函數(shù)y=（2m-1）x+3-m是正比例函數(shù)，求m的值.

分析：本題考查的是正比例函數(shù)與一次函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.正比例函數(shù)中比例系數(shù)k≠0，b=0，則由3- m=0，解得m=3. （注意：正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)）

上面變式小結(jié)：一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b中的比例系數(shù)k≠0千萬不能忽視，如果k=0，那么y=b就不是一次函數(shù).當(dāng)k≠0，b=0 時，函數(shù)y=kx是正比例函數(shù)，它是特殊的一次函數(shù).

變式2：已知一次函數(shù)y=（2m-1）x+3-m的圖象過點(diǎn)（1，1），求m的值.

分析：此題考查一次函數(shù)解析式與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系.圖象過點(diǎn)（1，1）相當(dāng)于當(dāng)x=1時，y=1.即（2m-1）×1+3-m =1，解得m=-1.

變式3： 已知一次函數(shù)y=（2m-1）x+3-m的圖像上有A（a，b），B（c，d）兩不同點(diǎn)，且當(dāng)a>c時，有b>d；求m的取值范圍.

分析：此題考查了一次函數(shù)y=kx+b圖象的增減性：當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小.由題目已知當(dāng)a>c時，b>d，說明函數(shù)值y隨x的增大而增大，即2m-1>0，解得m>0.5.

變式4：已知一次函數(shù)y=（2m-1）x+3-m圖象經(jīng)過一、二、三象限，求m的取值范圍.

分析：此題考查的是一次函數(shù)的圖象性質(zhì).一次函數(shù)y=kx+b中當(dāng)k>0時，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三象限，當(dāng)k<0時，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限；當(dāng)b>0時，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二象限，當(dāng)b<0時，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過三、四象限.

圖象經(jīng)過一、二、三象限說明k>0，b>0. 這樣就將問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于m的不等式組.從而解得0.5

再變式4：已知一次函數(shù)y=（2m-1）x+3-m圖象不經(jīng)過第四象限，求m的取值范圍.

分析：此題咋一看跟上題一樣，其實蘊(yùn)含了“玄機(jī)”，學(xué)生很容易“栽跟頭”.圖象不經(jīng)過第四象限，說明圖象不但除了可能會經(jīng)過一、二、三象限外，還隱含一種情況：圖象只經(jīng)過一、三象限，因為我們知道正比例函數(shù)也是特殊的一次函數(shù)，所以應(yīng)該是

k>0，b≥0，即2m-1>0，3-m≥0，解得0.5

變式5：已知一次函數(shù)y=（2m-1）x+3-m的圖象與y軸交于負(fù)半軸，求m的取值范圍.

分析：此題考查了一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)問題.與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸，說明當(dāng)x=0時，y< 0.即3-m< 0，解得m>3.

再變式5：已知一次函數(shù)y=（2m-1）x+3-m的圖象與y軸交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離|OP|=2，求m的值.

分析：此題考查一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)問題和兩點(diǎn)間的距離問題.與y軸交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3-m），|OP|=2，說明|3-m|=2，即解得m=1或5.

上面變式總結(jié)：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中，k的符號決定函數(shù)圖像的增減性，b的符號決定直線與y軸的交點(diǎn)位置.對于函數(shù)圖像過哪幾個象限則跟k、b的符號都有關(guān).

變式6：已知一次函數(shù)y=（2m-1）x+3-m的圖象與直線y=-3x在同一坐標(biāo)系上沒有交點(diǎn)，求m的值.

分析：此題考查了在同一坐標(biāo)系上兩直線的位置關(guān)系和兩直線平行所需的條件.在同一坐標(biāo)系上沒有交點(diǎn)，說明這兩條直線是互相平行的；兩直線平行只需一次函數(shù)中的比例系數(shù)相等，即2m-1=-3，解得m=-1.

再變式6：上題條件不變，則一次函數(shù)y=（2m-1）x+3-m的圖象如何由直線y=-3x平移得到？

分析：此題考查了函數(shù)圖象平移的有關(guān)性質(zhì).“左加右減，上加下減”是我們學(xué)習(xí)直線平移的“通語”，由上題可知m=-1，所以y=-3x+4，這樣就可得該圖象是由直線y=-3x向上平移4個單位而得到的.

上面變式小結(jié)：直線y1= k1x+b1（k1≠0）與直線y2=k 2x+b2（k2≠0），當(dāng)k1=k2，b1≠b2時，它們的圖像是平行關(guān)系的，可互相通過平移得到.

變式7：直線y1=（2m-1）x+3-m與直線y2=-2x+5交于點(diǎn) （1，a）.

（1）求a和m的值；

（2）不解關(guān)于x，y的方程組y=（2m-1）x+3-my=-2x+5，請直接寫出它的解；

（3）根據(jù)圖象直接寫出解關(guān)于x的不等式（2m-1）x+3-m≥-2x+5的解集；

（4）求兩直線與x軸圍成的三角形的面積.

分析：此題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組、不等式（組）之間的聯(lián)系.

（1）兩直線交點(diǎn)的意義：點(diǎn) （1，a）不但滿足y=-2x+5，而且滿足y=（2m-1）x+3-m，則可求出a=3，m=1；

（2）用函數(shù)觀點(diǎn)解二元一次方程組：即根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)就可以寫出方程組的解；

（3）利用函數(shù)圖象解不等式：學(xué)習(xí)一次函數(shù)一般可利用數(shù)形結(jié)合的思想，即根據(jù)圖象可得該不等式的解集是x≥1；

（4）一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)問題、點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長之間的關(guān)系：兩直線與x軸的交點(diǎn)分別是（-2 ，0），（2.5 ，0），它們間的距離是2.5-（-2）=4.5，然后根據(jù)三角形的面積公式可得它們所圍成的面積為6.75.

上面方法小結(jié)：把一次函數(shù)求交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成解關(guān)于方程（組）、不等式（組）的問題，其實是將數(shù)學(xué)中的“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)數(shù)形的結(jié)合思想.比如對二元一次方程組而言，從“數(shù)”的角度來看，由二元一次方程組的解可確定兩函數(shù)直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；從“形”的角度來看，由兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可確定二元一次方程組的解.

總之，通過對一次函數(shù)y=（2m-1）x+3-m進(jìn)行多角度變式，既拓寬了學(xué)生的視野，又調(diào)動了學(xué)生的好奇心和求知欲，讓學(xué)生從不同角度、不同方向加深了對一次函數(shù)基礎(chǔ)知識的掌握，也使得讓學(xué)生更全面、更快捷地掌握知識和技能，也真正達(dá)到“輕負(fù)高質(zhì)”的目的.