用微元思想推導(dǎo)一維波動方程

鄭承民

【摘要】本文應(yīng)用微元分析方法，逐步、詳細地推導(dǎo)出弦振動的波動方程，為教師教學、學生學習提供一種新的思維方式.

【關(guān)鍵詞】微元思想；弦振動；波動方程

【中圖分類號】O175.23 【文獻標識碼】A

1.引 言

探討弦的橫向振動是學習數(shù)學物理方程這門課程首先遇到的典型問題，也是學習偏微分方程入門時，學習者將要探討的物理問題.我們將應(yīng)用微元思想分析和推導(dǎo)弦的一維波動方程.

首先回顧一下，在學習函數(shù)在某點連續(xù)的定義時，學習者初次對函數(shù)局部分析這一分析方法有所認識.接著又學習函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)定義，學習者逐漸適應(yīng)從對函數(shù)整體分析轉(zhuǎn)向在函數(shù)的某一點或者某一區(qū)間內(nèi)的分析.后續(xù)學習定積分運算的定義，進一步學習從整體分析到局部分析、再轉(zhuǎn)向整體的方法.通過學習和理解這些數(shù)學概念，逐步建立微元思想.

在研究對象上取出很小很小的一部分，記為Δ，面對這一很小的Δ，對其進行質(zhì)量分析、受力分析…… 由于Δ很小，假設(shè)在Δ上質(zhì)量分布均勻，受力均勻，那么對Δ的質(zhì)量就可按照常規(guī)的算法來計算，對Δ的受力分析也可如此法完成.

2.問題的描述

設(shè)有一根柔軟且有彈性的細弦，長度為l，兩端拉緊后，讓弦離開平衡位置，在垂直于弦線的恢復(fù)力作用下做微小的橫向振動，求在不同時刻不同位置弦線的運動狀態(tài).

3.理解問題、分析問題

（1）首先理解問題的條件，在文獻[1][2]中都有相關(guān)的解釋和假定.“柔軟”是指弦可以任意地變形，但不會產(chǎn)生抵抗力.“橫向振動”是指在一個平面內(nèi)，弦上各點的運動方向垂直于最初的平衡位置.

現(xiàn)在分析弦上各點處的張力.為方便分析，取弦上一小段，放大如圖1，以弦上點A為例，A也表示在點A處的截面，截面兩側(cè)間原來存在的相互作用力分別表示為T1和T2，如圖2、圖3，T1表示點A處的左段弦對截面A的張力，T2表示A的右段弦對截面A的張力.當把弦看成線時，張力T1和T2可取在點A處的切線上，方向相反.

（2）建立坐標系.假設(shè)弦最初靜止平衡狀態(tài)所在直線為x軸，用u（x，t）表示t時刻弦上點x處的橫向位移，x∈[0，l].

在弦上任意點M（x，u（x，t））處，取一小段非常短的弧線Δs，如圖4，對應(yīng)弧段MQ，對應(yīng)區(qū)間[x，x+Δx].Q點坐標可記為Q（x+Δx，u（x+Δx，t））.過點M作切線MP，記傾斜角為α.

當Δx→0時，弦上的點Q趨向于切線上的點P，即線段PQ→0，同時△MQN→△MPN.若弦足夠光滑時，可以把弧段MQ看作線段MP.

由定義ux=limΔx→0u（x+Δx，t）-u（x，t）Δx=ux，且ux=tanα，在△MPN中可假設(shè)MN=1，PN=ux.因而經(jīng)計算可得到MP=1+u已知條件中“微小的橫向振動”是指弦的彎曲很微小，從前面分析可知此時線段QN很短，且線段PN的長也很小，即傾斜角α很微小.由于ux≈tanα，因而ux很微小.由此有sinα=ux1+u2x≈ux，且cosα=11+u2x≈1.

當MN=Δx時，則有MP=1+u2x·Δx，由前面的分析可以得出弧微元的長度.

Δs=弦MQ的長度≈1+u2x·Δx≈Δx.（1）

4.解決問題

假設(shè)弦的質(zhì)量線密度為ρ（x），則弧微元MQ的質(zhì)量可記為ρ（x）Δs≈ρ（x）Δx，此為弧微元Δs的質(zhì)量，可叫作質(zhì)量微元.質(zhì)量微元所受慣性力為ρ（x）Δx·a，其中a表示加速度，a=2u（x，t）t2=utt，即

弧微元MQ所受慣性力=ρ（x）utt·Δx.（2）

如圖5，作用在點M，Q處的張力分別記為T1，T2，其方向取向源自圖1-3.點M，Q處切線與水平方向的夾角分別記為α，β.

因為∫l01+u2xdx≈∫l01+0dx=l，即弧微元MQ在左右方向沒有發(fā)生位移，這表明弦在振動過程中，在所要求的精確范圍內(nèi)沒有伸長.根據(jù)牛頓第二定律F=ma，水平方向合力為0，即T1+T2=0，由此得出T1=T2，即弦上各點處張力的大小相同，不妨記為T.

因點M處的張力T1在縱向的分量為T1sinα=-Tux（x，t），且在點Q處張力T2在縱向的分量為T1sinβ=Tux（x+Δx，t），得【參考文獻】

[1]陳明文，劉宇.數(shù)學物理方程[M].北京：機械工業(yè)出版社，2013：1-3.

[2]包繼光，朱汝金.偏微分方程[M].北京：北京大學出版社，2011：15-17.