拓展雙曲函數(shù)法和變系數(shù)mKdV方程的新精確解

陳添樹　鄭筱筱

【摘要】本文應用拓展雙曲函數(shù)方法，結(jié)合首次積分和Riccati方法，得到變系數(shù)mKdV方程的精確解.應用此方法，可以得到方程的豐富的具有一般形式的精確解.比如，三角函數(shù)解、雙周期函數(shù)解、整式形式解.此方法適用于求解一大類非線性偏微分發(fā)展方程.

【關(guān)鍵詞】變系數(shù)mKdV方程；拓展雙曲函數(shù)法；精確解

1.引 言

20世紀60年代以來，非線性科學得到了飛速發(fā)展，在非線性偏微分方程的求解方面也取得了許多成果.由于非線性方程的復雜性，許多人致力于利用不同的方法尋求方程的一般精確解.例如，雙曲函數(shù)展開法、Hirota雙線性方法、齊次平衡法、首次積分法等.過去，很多學者研究常系數(shù)KdV和 mKdV方程，得到了很好的結(jié)果.然而，實際應用中更多地出現(xiàn)變系數(shù)偏微分方程.因此，變系數(shù)發(fā)展方程求解問題具有重要意義.

本文討論了變系數(shù)mKdV方程：ut+α（t）ux+6β（t）u2ux+β（t）uxxx=0.（1.1）

其中α（t）和β（t）關(guān)于t一次連續(xù)可微.尚亞東、鄭筱筱、戴朝卿等采用各種方法求得了一些精確解.本文通過拓展雙曲函數(shù)法，得到方程（1.1）豐富的新精確解.此方法也可以應用于求解其他類型的方程，得到多樣化的、豐富的新精確解.

2.拓展雙曲函數(shù)法

首先，考慮如下的耦合Riccati方程：

我們知道，耦合的Riccati方程有如下的一般解：

下面，給出拓展雙曲函數(shù)法求解偏微分方程的一般步驟：

步驟一：給定一非線性偏微分方程： P（u，ut，ux，uxt，uxx，…，）=0.（2.3）其中u=u（x，t）為未知函數(shù)，P是關(guān)于u及其各階偏導數(shù)的多項式.

假設(shè)方程（2.3）有如下形式的解：

其中Ai（x，t），Bi（x，t）和ξ=ξ（x，t）是關(guān)于x和t的待定函數(shù)，且均不為零.

將（2.4）和（2.5）代入（2.3），聯(lián)合（2.1）和（2.2），得到關(guān)于f（ξ），g（ξ）的m階多項式.

步驟二：利用齊次平衡原理，得到了平衡系數(shù)m，且m必須為正整數(shù).

步驟三： 令fi（ξ）g（ξ）和g（ξ）的系數(shù)為零，得到一代數(shù)方程組，利用maple進行符號計算，

確定Ai（x，t），Bi（x，t），r，ξ（x，t）.將結(jié)果代回（2.4）或（2.5），得到方程（2.3）的精確解.

3.變系數(shù)mKdV方程（1.1）的精確解

首先，我們通過平衡u2ux和uxxx，得到2m+（m+1）=m+3，于是m=1.

（1）當ε=±1，有 u（x，t）=A2（x，t）f（ξ）+A1（x，t）g（ξ）+A0（x，t）.（3.1）

（2）當ε=0，有u（x，t）=A1（x，t）g（ξ）+A0（x，t）.（3.2）

其中，ξ=p（t）x+q（t），Ai（x，t）（i=0，1，2），p（t），q（t）待定.

將（3.1），（3.2）代回（1.1）式，聯(lián)合（2.1），（2.2），得到關(guān)于f（ξ）和g（ξ）的多項式.令fi（ξ）g（ξ）以及g（ξ）的系數(shù)為零，得到一常微分方程組，通過maple計算，可得：

4.總結(jié)與綜述

本文應用拓展雙曲函數(shù)法和齊次平衡法，對變系數(shù)mKdV進行了精確解的運算，得出了3種類型、總共22個不同的解，其中包括雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解以及整式形式解等，豐富了變系數(shù)mKdV的解的形式.本文所用的方法可以應用于其他的變系數(shù)發(fā)展偏微分方程.

【參考文獻】

[1]A.A.Soliman.Extended improved tanhfunction method for solving the nonlinear physical problems.Acta Applicandae Mathematicas 104（2008）367-383.

[2] R.Hirota.Direct Method in Soliton Theory.Iwannmi Shoten Publishers，1992.

[3] EnGui Fan.Two new applications of the homogeneous balance method.Physics Letters A 265（2000）353-357.

[4] F.Tascan and A.Bekir.Applications of the integral method to nonlinear evolution equations.Chinese Physics B 19（2010）ID 080201.

[5] XiaoXiao Zheng，YaDong Shang，Yong Huang.Abundant Explicit and Exact Solutions for the Variable Coefficient mKdV Equations.Abstract and applied Analysis（2013）ID 109690.

[6] ChaoQing Dai，JiaMin Zhu，JieFeng Zhang.New exact solutions to the mKdv equations with variable coefficients.Chaos Solitons Fractals 27（2006）881-886.