數(shù)學(xué)解題中的“目標(biāo)性”和“方向性”

錢進(jìn)

數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要組成部分，其功能不僅能鞏固所學(xué)的新知識、查缺補(bǔ)漏，而且能培養(yǎng)學(xué)生較強(qiáng)的邏輯推理能力.在教學(xué)過程中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題時找不到突破口，學(xué)生感覺題目所給的條件與所求解的問題“相距”太遠(yuǎn)，找不到它們之間的聯(lián)系.造成這種結(jié)果的原因有很多，但我認(rèn)為主要的原因是學(xué)生對所要求解的目標(biāo)理解不是很透徹，如何實(shí)現(xiàn)目標(biāo)感到迷茫，缺乏解題的方向性，導(dǎo)致思維受到了阻礙.即使有些題目最終也能做出來，卻可能花費(fèi)了大量的時間，這在高考中是致命的，也是不可取的.下面舉例談?wù)劇澳繕?biāo)性”和“方向性”在解題中的重要作用，以供參考.

例1 已知x，y，z∈R+，x-2y+3z=0，則y2xz的最小值是（ ）.

我曾經(jīng)把該題作為課堂教學(xué)例題，但當(dāng)時能做出來的學(xué)生卻很少，學(xué)生反映出來的情況是：找不到x-2y+3z=0與y2xz的聯(lián)系.以下是當(dāng)時兩名同學(xué)的解法.

學(xué)生甲：x-2y+3z=0x=2y-3z代入y2xz得y2（2y-3z）z，到此進(jìn)行不下去……

學(xué)生乙：x-2y+3z=02y=x+3z代入y2xz得（x+3z）24xz，到此也進(jìn)行不下去……

如何思考這個題，從什么地方入手？關(guān)鍵問題是這個條件是x，y，z三個正數(shù)的一些代數(shù)和，要求解的是y2xz的最小值，而y2xz是一些數(shù)的乘積.如何實(shí)現(xiàn)從和轉(zhuǎn)化為積？如何把條件中變量y的次方從一次升到二次？這就是解該題的目標(biāo)和方向.雖然我們沒有直接把x-2y+3z=0轉(zhuǎn)化為y2xz的辦法，但是我們有這樣的關(guān)系，可以把和式轉(zhuǎn)化為乘積式，即x+3z≥2x·3z（因?yàn)轭}中要變成xz的積式）.因此我們就得到該題的解題思路：

x-2y+3z=02y=x+3z≥2x·3zy≥3xz，兩邊平方得y2xz≥3（當(dāng)x=y=3z時等號成立），所以y2xz的最小值是3.

我們回顧一下學(xué)生甲與學(xué)生乙的解題思路方向性是否正確.學(xué)生甲的解題方向有明顯的失誤，因?yàn)樗蟮膯栴}中x與z是一個整體，所以不能把它們分開；學(xué)生乙的方向雖然正確，但目標(biāo)不是很明確，導(dǎo)致代入 y2xz后不知道如何進(jìn)行下一步.其實(shí)學(xué)生乙把2y=x+3z代入y2xz得（x+3z）24xz后，觀察到分母是x與z的乘積，只需把分母的平方展開，利用均值不等式即可解決y2xz=（x+3z）24xz=x2+6xz+9z24xz≥6xz+6xz4xz=3（當(dāng)x=y=3z時等號成立）.從該題看出解題時思考解題的方向性變得尤為重要，只要我們的目標(biāo)明確、解題方向正確，理論上來講都應(yīng)該能把問題解決.

例2 已知α，β是銳角，且3sin2α+2sin2β=1 （1），3sin2α-2sin2β=0 （2）

求證：α+2β=π2.

錯證 由α+2β=π2，得2β=π2-α，代入（2）得3sin2α-2cosα=0，即6sinαcosα-2cosα=0，因?yàn)棣?，β是銳角sinα=13，從而得到cos2β=13，所以sinβ=33，代入（1）成立，故命題得證.該證明犯了方向性不明確的錯誤，把結(jié)論當(dāng)作條件來進(jìn)行證明，沒弄清楚目標(biāo)是什么，導(dǎo)致證明方法錯誤.

證法1：把（1）中的sin2α轉(zhuǎn)化為cos2α（sin2α=1-cos2α2），sin2β轉(zhuǎn)化為cos2β（sin2β=1-cos2β2）與（2）聯(lián)立，把角都統(tǒng)一成二倍角后再進(jìn)行運(yùn)算，最后再把2α轉(zhuǎn)化為a，雖然得證但過程較復(fù)雜，主要是忽略了題目的目標(biāo)性和方向性，因?yàn)榻Y(jié)論里的角是α和2β，所以我們只要：（1）sin2β=1-cos2β2，而sin2α不進(jìn)行變形；（2）sin2α=2sinαcosα，而sin2β不進(jìn)行變形，即可得到以下簡單的證法.

證法2：由（1）得3sin2α=cos2β，由（2）得6sinαcosα=2sin2β，

兩式相除得tanα=tanπ2-2β，因?yàn)棣?，β是銳角α=π2-2β，即α+2β=π2，命題得證.

證法3：α，β是銳角0<α+2β<3π2，要證明α+2β=π2，只需證明cos（α+2β）=0即可.而cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β中，把由（1）得3sin2α=cos2β、由（2）得6sinαcosα=2sin2β代入即得cos（α+2β）=0.

通過以上幾種證明方法的比較可以看出，問題的關(guān)鍵是把條件中的角2α轉(zhuǎn)化為α，把角β轉(zhuǎn)化為2β，因?yàn)槲覀兊慕Y(jié)論中的角只有α和2β，這就是該題的目標(biāo)性和方向性.我們只要把握了正確的方向，多種解法只是本質(zhì)的外在表現(xiàn)而已.

在解題中如何把握其目標(biāo)性和方向性呢？我認(rèn)為應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1.學(xué)生必須有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和掌握常見的數(shù)學(xué)思想方法，因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的指路燈，解法只是實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的手段而已.

2.突出數(shù)學(xué)意識的培養(yǎng)，注重數(shù)學(xué)問題的背景.

3.培養(yǎng)學(xué)生平常養(yǎng)成仔細(xì)分析問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系的好習(xí)慣.

4.在課堂例題的講解和習(xí)題課上，選好典型的題目來引導(dǎo)、分析其錯在何處，思路間斷是何原因等等.