淺析“橢圓和雙曲線”的離心率問題

張惜招

圓錐曲線的離心率，是描述曲線形狀的重要參數(shù)，也是描述圓錐曲線特性的一個重要概念.很多解析幾何試題都與此相關(guān)，是各級訓(xùn)練及測試的熱點.近十年高考試題中也常出現(xiàn)有關(guān)求解離心率的問題，主要有求離心率的值和離心率的取值范圍.本文就橢圓和雙曲線的離心率的有關(guān)結(jié)論與求解方法等，作一些介紹和歸納，供同行們參考.

一、離心率的有關(guān)結(jié)論

1.橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上任一點.

（1）若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，則e=cosα+β2[]cosα-β2；

（2）若PF1⊥PF2，且OP與x軸的夾角為θ，則e=11+sinθ.

2.雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）中，設(shè)F1，F(xiàn)2為其兩個焦點，P為雙曲線上任一點.

（1）若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，則e=sinα+β2[]sinα-β2；

（2）若PF1⊥PF2，且OP與x軸的夾角為θ，則e=11-sinθ.

二、離心率的計算方法

1.求橢圓或雙曲線的離心率的值

（1）利用方程思想即建立關(guān)于a，b，c之間的等式或關(guān)于e的方程來求解，其方法是把b2=a2-c2或b2=c2-a2代入后，等式兩邊同時除以a2將得到關(guān)于e的方程.

例1 已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），過點A（a，0），B（0，b）的直線為l，原點O到直線l的距離為c（c為雙曲線的半焦距），求雙曲線離心率.

解 由三角形面積公式得到：AB·d=OA·OBc2=abc4=a2（c2-a2）e4-e2+1=0.

例2 橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，B（0，b），B′（0，-b），A（a，0），F(xiàn)為橢圓的右焦點，若直線AB⊥B′F，求橢圓的離心率.

解 kB′F·kAB=-1bc×ba=1b2=aca2-c2-ac=0e2+e-1=0.

（2）直接利用定義即根據(jù)焦點弦和其他已知量的位置和數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于a和c的等式，再用e=ca求解.

例3 過雙曲線x2a2-y2b2=1右焦點F2作垂直于實軸的弦PQ，F(xiàn)1是其左焦點，若∠PF1Q=60°，求其離心率.

解 依題意得：|PF2|=|F1F2|tan30°=233c，又|PF1|=2|PF2|=433c，∴233c=2a，即e=3.

例4 橢圓的一個焦點和短軸的兩端點構(gòu)成一個正三角形，求橢圓的離心率.

解 依題意得：c=acos30°e=ca=32.

2.求橢圓或雙曲線的離心率的取值范圍

（1）建立關(guān)于a，b，c或關(guān)于e的代數(shù)不等式，其方法是把b2=a2-c2或b2=c2-a2代入后，同時除以a2將得到一個關(guān)于e的不等式，其手段主要有：

①利用點與曲線的位置關(guān)系，根據(jù)某點在曲線的內(nèi)部或外部，列出不等式.

例5 已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），短軸頂點B（0，b），若橢圓內(nèi)接三角形BCD的重心是橢圓的左焦點，求橢圓離心率范圍.

解 設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），且已知B（0，b），F(xiàn)（-c，0），由重心公式得x1+x2=-3c，y1+y2=-b，故弦CD中點為E-3c2，-b2.由E在橢圓內(nèi)部，則-3c22a2+-b22b2<1，整理化簡得e2<13，從而e∈0，33.

②利用點在曲線上的位置關(guān)系，根據(jù)此點的橫、縱坐標(biāo)必須滿足的條件，列出不等式.

例6 已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點，P為雙曲線左支上任意一點，若|PF2|2|PF1|的最小值為8a，求雙曲線的離心率e的取值范圍.

解 設(shè)點P坐標(biāo)為（x0，y0），依題意得：|PF2|2|PF1|=（2a+PF1）2PF1=PF1+4a2PF1+4a≥4a+4a=8a，此時PF21=4a2，PF1=-ex0-a，得到x0=-3ae，又x0≤-a代入得到1

③用均值不等式變形建立不等式，即先根據(jù)題設(shè)條件建立等式，再根據(jù)均值不等式轉(zhuǎn)化為不等式，建立關(guān)于a，c的不等式.

例7 設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，問離心率e在什么范圍內(nèi)取值時，橢圓上恒存在點P，使∠F1PF2=120°？

解 設(shè)橢圓的焦距為2c，即|F1F2|=2c，由橢圓的定義，知|PF1|+|PF2|=2a.在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosF1PF2，∴（2c）2=（2a）2-|PF1|·|PF2|.∴4a2-4c2=|PF1|·|PF2|≤|PF1|·|PF2|22=a2，即3a2≤4c2，所以32≤e<1.

④利用兩曲線的位置關(guān)系，建立不等式.

例8 橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）和圓x2+y2=b2+c2（c是橢圓的半焦距）有四個不同的交點，求橢圓離心率的范圍.

解 因為橢圓和圓有四個不同的交點，所以b55.由第二個不等式得b24<（a-c）2，整理得3a2-8ac+5c2>0，即5e2-8e+3>0，解得e<35或e>1（舍去），即55e<35.

⑤利用直線與曲線的位置關(guān)系，建立不等式.

例9 過雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點F作雙曲線的斜率為正的漸近線的垂線l，若l與雙曲線的左右兩支均相交，求雙曲線離心率的取值范圍.

解 依題意得l：y=-ab（x-c），由圖形得到kl>-ba（漸近線的斜率），即-ab>-baa22.

（2）建立關(guān)于θ為自變量的三角不等式，其方法是利用參數(shù)方程和有關(guān)定理、三角函數(shù)的公式、性質(zhì)等得到e的取值范圍.

例10 橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）與x軸的正半軸交于A點，如果在這個橢圓上總存在點P，使OP⊥AP，O為原點，求離心率e的范圍.

解 橢圓x2a2+y2b2=1的參數(shù)方程為x=acosθy=bsinθ，（θ為參數(shù)），依題意知，θ≠0且θ≠π.設(shè)P（acosθ，bsinθ），依題意得kOP·kAP=-1，即bsinθacosθ·-bsinθa-acosθ=-1.

∴b2sin2θ=a2cosθ-a2cos2θ.∴b2a2=cosθ1+cosθ<12.

∴a2-c2a2<12，即1-e2<12.∴e2>22.∴22

例11 F1，F(xiàn)2為雙曲線x2a2-y2b2=1的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于A，B，若△ABF2為鈍角三角形，求雙曲線離心率的取值范圍.

解 設(shè)∠AF2F1=θ，則tanθ>1時為鈍角三角形.

即AF1|F1F2|=b22ac>1b2>2ac-a2+c2-2ac>0e2-2e-1>0e>1+2.

總之，求解圓錐曲線（橢圓與雙曲線）的離心率的值與取值范圍，只要把握其本質(zhì)屬性，從不同的位置特征，剖析其三個變量的數(shù)量關(guān)系，就一定能轉(zhuǎn)化為含離心率的方程與不等式，從而輕松解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的化歸與轉(zhuǎn)化思想.