數(shù)形結(jié)合的好工具

雷昌超 仲秀英

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).數(shù)能精確地揭示研究對象的數(shù)量特征，形能直觀地刻畫研究對象的空間結(jié)構(gòu)，因此數(shù)形結(jié)合思想被廣泛運(yùn)用于數(shù)學(xué)的解題過程中，平面直角坐標(biāo)系建立了數(shù)量與圖形之間的聯(lián)系，充分體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合思想.

“平面直角坐標(biāo)系”一章主要涉及描點(diǎn)、求點(diǎn)的坐標(biāo)、由圖形頂點(diǎn)的坐標(biāo)求圖形的面積、川方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置等問題.其中，捕點(diǎn)問題主要有兩種類型：（I）由點(diǎn)的坐標(biāo)描點(diǎn)；（2）先建立平面直角坐標(biāo)系再捕點(diǎn).求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題則有五種類型：（1）根據(jù)文字語言所描述的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)含有參數(shù)，根據(jù)已知條件求點(diǎn)的坐標(biāo)或確定點(diǎn)的坐標(biāo)特征；（3）圖形位置變化與點(diǎn)的坐標(biāo)相結(jié)合，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）圖形的面積與點(diǎn)的坐標(biāo)相結(jié)合，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（5）由圖形（如平面直角坐標(biāo)系、氣溫圖、地理位置圖等）求點(diǎn)的坐標(biāo).對于這些問題，我們都可以借助以形示數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形結(jié)合的思想一一解決.

一、以形示數(shù)思想

對于有的問題，我們可以直接根據(jù)題中的已知條件得到答案，而對于有的問題（例如描點(diǎn)問題巾的第二類、求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題中的前兩類），我們需要先將已知條件中的數(shù)或數(shù)量關(guān)系提煉出來，再將其轉(zhuǎn)化到圖形中，通過分析圖形解決數(shù)的問題，這就是以形示數(shù)思想，簡而言之，就是用圖形揭示數(shù)的關(guān)系和規(guī)律，借助圖形解決代數(shù)問題.

例1爺爺退休后的生活可豐富啦！他某天的日程安排如下：6：00至7：00，與奶奶一起到和平廣場鍛煉；9：00至11：00，與奶奶一起上老年大學(xué)：16：30至17：30，到和平路小學(xué)講校史.其中和平廣場位于爺爺家正東400 m處，老年大學(xué)位于爺爺家正西600m處，從爺爺家到和平路小學(xué)需要先向南走300 m，再向西走500m.請根據(jù)圖1，以爺爺家為原點(diǎn)，分別以正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸的正方向，以1個單位長度表示100m，建立平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出和平廣場、老年大學(xué)和和平路小學(xué)的位置.

解析：這是一個先建立平面直角坐標(biāo)系再描點(diǎn)的問題.我們先根據(jù)要求建立平面直角坐標(biāo)系，再將題中的數(shù)量關(guān)系提煉出來，借助平面直角坐標(biāo)系將用文字語言描述的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成具有幾何形態(tài)的點(diǎn)（如圖2）.

例2 已知點(diǎn)A在x軸上方，在y軸左側(cè)，且點(diǎn)A到x軸的距離為5，到y(tǒng)軸的距離為4，求點(diǎn)A的坐標(biāo)，

解析：這是一個根據(jù)文字語言所描述的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題，題中只有文字和數(shù)而沒有圖形，這時，我們就需要借助平面直角坐標(biāo)系把用文字語言描述的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成具有幾何形態(tài)的點(diǎn)，再求得點(diǎn)的坐標(biāo).

如圖3，因?yàn)辄c(diǎn)A在x0軸上方，在y軸左側(cè)，所以點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系巾的第二象限.又因?yàn)辄c(diǎn)A到x軸的距離為5，到y(tǒng)軸的距離為4.所以在圖形上描點(diǎn)可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，5）.

同學(xué)們想一想：不畫圖形能不能求出點(diǎn)A的坐標(biāo)？

其實(shí)，我們可以利用平面直角坐標(biāo)系的性質(zhì)直接進(jìn)行推理得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），由點(diǎn)A在x軸上方，在y軸左側(cè)，可以判定點(diǎn)A在第二象限，則x<0，y>0.因?yàn)辄c(diǎn)A到x軸的距離為5，所以|y|=5，則y=5；因?yàn)辄c(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為4，所以|x|=4，則x=-4.從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，5）.

在以上解題過程中我們沒有用到以形示數(shù)思想嗎？當(dāng)然不是！我們借助平面直角坐標(biāo)系判定點(diǎn)A所處的象限和點(diǎn)A的坐標(biāo)時，其實(shí)已經(jīng)想象出了一個平面直角坐標(biāo)系.

不管是動手畫還是想象，我們都是借助圖形直觀地展示了點(diǎn)A的性質(zhì)，從而解決了問題，都體現(xiàn)了以形示數(shù)思想.

二、以數(shù)解形思想

當(dāng)遇到圖形位置變化與點(diǎn)的坐標(biāo)相結(jié)合求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題時，如果我們直接觀察圖形的位置變化很難得出規(guī)律，就需要把圖形中的數(shù)量關(guān)系挖掘出來，再分析、計(jì)算、推理，借助數(shù)量關(guān)系解決圖形問題，這就是以數(shù)解形思想，

例3如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)分別為0（0，0），A（3，0），B（2，2）.如果將△OAB向上平移1個單位長度，得到△O1A1B1，再向右平移2個單位長度，得到△O2A2B2.請求出△OAB內(nèi)的點(diǎn)M（x，y）經(jīng)過這種變換后得到的點(diǎn)M2的坐標(biāo).

解析：對于這種圖形位置變化與點(diǎn)的坐標(biāo)相結(jié)合求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題，直接看圖不易得出規(guī)律.這時，我們先將△OAB進(jìn)行平移后得到的△O1A1B1、△02A2B2畫出來（如圖5），通過觀察圖形寫出這兩個三角形各自的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即O1（0，1），A1（3，1），Bl（2，3），02（2，1），A2（5，1），B2（4，3）.再尋找三個三角形對應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系：由△OAB到△O1AlB1，各頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)都加1，則點(diǎn)M（x，y）向上平移1個單位長度得到點(diǎn)M1（x，y+l）；由△O1A1B1到△02A2B2，各頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)都加2，則點(diǎn)M1（x，y+l）向右平移2個單位長度得到點(diǎn)M2（x+2，y+1）.

可以看出，要求平移后點(diǎn)的坐標(biāo)，我們需要將圖形中的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成用數(shù)表示的點(diǎn)，通過推導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系來求點(diǎn)的坐標(biāo)，整個過程體現(xiàn)了以數(shù)解形思想，

三、數(shù)形結(jié)合思想

對于有的問題，例如圖形的面積與點(diǎn)的坐標(biāo)相結(jié)合求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題、由圖形頂點(diǎn)的坐標(biāo)求圖形的面積的問題、由圖形求點(diǎn)的坐標(biāo)的復(fù)雜問題，有時僅僅依靠分析圖形或單純地分析、推理其中的數(shù)量關(guān)系，不能很好地解決問題，就需要將圖形的分析與數(shù)的分析、推理結(jié)合起來解題，這就是數(shù)形結(jié)合思想.

例4已知點(diǎn)A（-1，0），B（O，2），點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，且S△ABC=2，求滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo).

解析：這是一個圖形的面積與點(diǎn)的坐標(biāo)相結(jié)合求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題.已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，我們馬上想到在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，將用數(shù)表示的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成具有幾何形態(tài)的點(diǎn).點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，且S△ABC=2，則點(diǎn)C可能在x軸上，也可能在y軸上，如圖6.如果只畫出大致的圖形，很難確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；如果只用代數(shù)方法，也無法直接通過計(jì)算求解，這時，就需要將數(shù)與形結(jié)合起來解題.我們先觀察三角形，確定出：當(dāng)點(diǎn)C在x軸上時，應(yīng)以△ABC的AC邊為底，對應(yīng)的高等于點(diǎn)B到x軸的距離2：當(dāng)點(diǎn)C在y軸上時，應(yīng)以△ABC的BC邊為底，對應(yīng)的高等于點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離1.再根據(jù)S△ABC=2列出方程，通過分析、計(jì)算、推理，求出點(diǎn)C的坐標(biāo).過程略，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）或（-3，0）或（0，6）或（0，-2）.

在解這道題的過程中，我們既需要借助圖形來選擇合適的線段作為△ABC的底邊和高，又需要列方程求解.不管是缺少圖形還是缺少數(shù)，我們解題都會遇到困難，因而，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是非常必要的，

在學(xué)習(xí)的過程中，我們要學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)會用“兩只眼睛”讀題，“一只眼睛”要看題中的數(shù)與數(shù)量關(guān)系，“另一只眼睛”要看圖形.在分析問題時，能畫圖要盡量畫圖，借助圖形使抽象的思考對象變得直觀，從而使計(jì)算、證明等變得簡單。