例談高考概率解答題的常見(jiàn)類型

劉勝林

概率作為高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，在高中數(shù)學(xué)教材中占有大量篇幅，然而它的存在似乎并沒(méi)有引起一些師生的足夠重視，大家總感覺(jué)這部分內(nèi)容在高考中并不那么重要，或題目比較容易。概率題內(nèi)涵豐富，其中許多概率解答題形式新穎、靈活，創(chuàng)意十足，即便是一些中檔試題，如果對(duì)題意理解不透，對(duì)基本概念把握不準(zhǔn)，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能掌握不牢，解題時(shí)也常常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤?，F(xiàn)以一些典型的高考題為例，談?wù)劯呖几怕式獯痤}的常見(jiàn)類型，希望對(duì)同學(xué)們備戰(zhàn)高考有一定的幫助。

類型一：概率與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合

例1 某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名。為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人。先統(tǒng)計(jì)他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]，分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖1所示的頻率分布直方圖。

（1）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”中的工人的概率。

（2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80者為“生產(chǎn)能手”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2X2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”。

附 。此公式也可以寫

成 。

解析：（1）根據(jù)分層抽樣的原則，可得：樣本中屬于“25周歲以上組”的工人有60名，屬于“25周歲以下組”的工人有40名。

樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60的工人中，屬于“25周歲以上組”的工人有60×0.05=3（名），記為A₁、A₂、A₃；屬于“25周歲以下組”的工人有40×0.05=2（名），記為B₁、B₂。從中隨機(jī)抽取2名工人，所有可能的結(jié)果是：（A₁，A₂）、（A₁，A₃）、（A₂，A₃）、（A₁，B₁）、（A₁，B₂）、（A₂，B₁）、（A₂， B₂）、（A₃， B₁）、（A₃，B₂）、（B₁，B₂），共10種。其中，至少抽到1名“25周歲以下組”中的工人的可能結(jié)果是：（A₁，B₁）、（A₁，B₂）、（A₂， B₁）、（A₂， B₂）、（A₃， B₁）、（A₃， B₂）、（B₁，B₂），共7種。故所求概率為 。

（2）由頻率分布直方圖可知：在抽取的100名工人中，屬于“25周歲以上組”的生產(chǎn)能手有60×0.25=15（名），屬于“25周歲以下組”的生產(chǎn)能手有40×0.375=15（名），據(jù)此可得列聯(lián)表（如表1）。

因?yàn)?.79<2.706，所以沒(méi)有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”。

點(diǎn)評(píng)：本題將古典概型、抽樣方法、獨(dú)立性檢驗(yàn)等基礎(chǔ)知識(shí)有機(jī)地融為一體，全面考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本技能與基本數(shù)學(xué)思想的掌握情況，體現(xiàn)了高考能力立意的宗旨。

類型=：概率與程序框圖相結(jié)合

例2 某算法的程序框圖如圖2所示，其中輸入的變量z在1、2、3、…、24這24個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生。

（1）分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出y的值為i的概率p_i（i=1、2、3）。

（2）甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解，各自編寫程序重復(fù)運(yùn)行n次后，記錄了輸出y的值為i（i=1、2、3）的頻數(shù)。以下是甲、乙所作的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)（如表2和表3）。

當(dāng)n=2100時(shí)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分步寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i（i=1、2、3）的頻率（用分?jǐn)?shù)表示），并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合算法要求的可能性較大。

（3）將按程序框圖正確編寫的程序運(yùn)行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)￡的分布列及數(shù)學(xué)期望。

解析：（1）變量x是在1、2、3、…、24這24個(gè)整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)數(shù)，共有24種可能。

當(dāng)x從1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23這12個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為1，則 ；當(dāng)x從2、4、8、10、14、16、20、22這8個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為2，則 ；當(dāng)x從6、12、18、24這4個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為3，則 。

（2）當(dāng)n=2 100時(shí)，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i（i=1、2、3）的頻率如表4所示。

比較頻率與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大。

（3）由題意可知： ，則

點(diǎn)評(píng)：本題將概率與程序框圖巧妙地結(jié)合在一起，形式新穎，打破了概率試題以往慣有的模式，體現(xiàn)了學(xué)科知識(shí)間的交叉性、綜合性與實(shí)用性，很好地考查了考生理解、分析與解決問(wèn)題的能力，具有較強(qiáng)的甄別功能。

類型三：概率與向量相結(jié)合

例3 小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì)。游戲規(guī)則為：以0為起點(diǎn)，再?gòu)腁₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、A₇、A₈（如圖3）這8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X，若x=0就參加學(xué)校合唱團(tuán)，否則就參加學(xué)校排球隊(duì)。

（1）求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率。

（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

解析：（1）從8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，共有 （種）方法。

X=O時(shí)，兩向量的夾角為直角，共有8種情形。

故小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率為 。

（2）兩向量的數(shù)量積X的所有可能取值為-2、-1、O、1。

X=-2時(shí)，有2種情形；X=l時(shí)，有8種情形；X=-1時(shí)，有10種情形。X的分布列如表6所示。

點(diǎn)評(píng)：本題將“向量”鑲嵌在“概率”試題中，創(chuàng)新味兒十足，屬于能力立意的好題，主要考查平面向量的數(shù)量積、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等相關(guān)知識(shí)，其中合理利用平面向量的數(shù)量積的兩種表示來(lái)分析是解決該題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)。

類型四：概率與線性規(guī)劃相結(jié)合

例4 假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N （800，50²）的隨機(jī)變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過(guò)900的概率為Po。

（1）求Po的值。（參考數(shù)據(jù)：若 ，有

（2）某客運(yùn)公司用A、B兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長(zhǎng)途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次。A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地到乙地的營(yíng)運(yùn)成本分別為l600元/輛和2400元/輛。公司擬組建一個(gè)不超過(guò)21輛的客運(yùn)車隊(duì)，并要求B型車不多于A型車7輛。若每天要以不小于Po的概率運(yùn)完甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？

解析：（1）由隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（800，502），得μ=800，σ=50，則 P（700

由正態(tài)分布的對(duì)稱性，可得 。

（2）設(shè)A型、B型車的數(shù)量分別為x、y，則相應(yīng)的營(yíng)運(yùn)成本為x=1600x+2400y。

由題意得x、y還需滿足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥P₀。

由（1）知P₀=P（X≤900），則P（X≤36x+60y）≥P₀等價(jià)于36x+60y≥900，故原問(wèn)題等價(jià)于求滿足約束條件且使目標(biāo)函數(shù)z=1600x+2400y達(dá)到最小的x、y。

作出可行域（如圖4）。

可行域的三個(gè)頂點(diǎn)分別為P（5，12）、Q（7，14）、R（15，6）。由圖可知：當(dāng)直線z=1600x+2400y經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)P時(shí)，直線z-1600x+2400y在y軸上的截距 最小，即z取得最小值，故應(yīng)配備A型車5輛、B型車12輛。

點(diǎn)評(píng)：本題將概率與線性規(guī)劃融為一體，讓試題煥然一新，韻味幾十足，主要考查正態(tài)分布、簡(jiǎn)單線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查考生的運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，還考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，對(duì)考生綜合分析、解決問(wèn)題的能力提出了一定的要求，體現(xiàn)了高考試題的選拔功能。

高考試題是命題專家依“綱”靠“本”精心設(shè)計(jì)的典型題，它不僅濃縮了教材中重要的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想和思維方法，能折射出高考命題的基本走向和考查的深度和廣度。通過(guò)上述相關(guān)高考試題的設(shè)置，我們領(lǐng)悟到以下兩點(diǎn)。

（1）加強(qiáng)對(duì)概率、統(tǒng)計(jì)、框圖、向量、線性規(guī)劃、函數(shù)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和方法的學(xué)習(xí)和掌握，這是順利解答概率解答題的基礎(chǔ)與前提。只有將基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能與基本數(shù)學(xué)思想、方法弄透、弄熟，解題時(shí)才能做到游刃有余。

（2）強(qiáng)化概率與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，這體現(xiàn)了學(xué)科知識(shí)間的交叉性與綜合性。由上述高考試題的呈現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)：概率常常會(huì)與向量、統(tǒng)計(jì)、框圖、線性規(guī)劃等相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)交叉綜合，因此，在日常的學(xué)習(xí)中，應(yīng)多研究“考題”（特別是高考試題及各地模擬考試題），通過(guò)研究“考題”，體會(huì)命題的理念，感受考查的意圖，洞查高考的要求，明晰學(xué)習(xí)的方向，進(jìn)而對(duì)概率解答題中的一些常見(jiàn)問(wèn)題、常見(jiàn)類型進(jìn)行有效的訓(xùn)練，以拓寬視野，強(qiáng)化能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。