能力提升綜合測試之帶電粒子在電場，磁場中的運(yùn)動

彭長禮

1.如圖1所示，絕緣的水平桌面上方有一豎直方向的矩形區(qū)域，該區(qū)域是由三個邊長均為l的正方形區(qū)域ABFE、BCGF和CDHG首尾相接組成的，且矩形的下邊EH與桌面相接。三個正方形區(qū)域中分別存在方向?yàn)樨Q直向下、豎直向上、豎直向上的勻強(qiáng)電場，其場強(qiáng)大小之比為1：1：2?，F(xiàn)有一帶正電的滑塊以某一初速度從E點(diǎn)射入場區(qū)，初速度方向水平向右，滑塊最終恰從D點(diǎn)射出場區(qū)。已知滑塊在ABFE區(qū)域中所受靜電力和重力大小相等，桌面與滑塊間的動摩擦因數(shù)為0.125，重力加速度為g，滑塊可以被視為質(zhì)點(diǎn)，求：

（1）滑塊進(jìn)入CDHG區(qū)域時的速度大小；

（2）滑塊在ADHE區(qū)域運(yùn)動的總時間。

2.如圖2所示，一半徑為R的圓表示一柱形區(qū)域的橫截面（紙面），0為圓心。在柱形區(qū)域內(nèi)加一方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子沿圖中直徑方向從圓上的A點(diǎn)射人柱形區(qū)域，在圓上的D點(diǎn)離開該區(qū)域，已知圖中θ=120°?，F(xiàn)將磁場換為豎直向下的勻強(qiáng)電場，同一粒子以同樣速度沿直徑方向從A點(diǎn)射人柱形區(qū)域，也在D點(diǎn)離開該區(qū)域。若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，不計(jì)重力，試求：

（1）電場強(qiáng)度E的大小；

（2）粒子經(jīng)磁場從A點(diǎn)到D點(diǎn)的時間與經(jīng)電場從A點(diǎn)到D點(diǎn)的時間之比。

3.如圖3所示，在光滑絕緣水平面上放置一帶正電的長直細(xì)棒，其周圍產(chǎn)生垂直于帶電細(xì)棒的輻射狀電場，場強(qiáng)大小E與距細(xì)棒的垂直距離，，成反比，即E=魚。在細(xì)棒右側(cè)，有一長為l的絕緣細(xì)線連接了兩個質(zhì)量均為m的帶電小球A和B，小球A、B所帶電荷量分別為+q和+4q，小球A距細(xì)棒的距離也為l，兩小球在外力F=2mg的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)。不計(jì)兩小球之間的靜電力作用。

（1）求k的值；

（2）若撤去外力F，求在撤去外力瞬時小球A、B的加速度和小球A、B間絕緣細(xì)線的拉力。

4.如圖4所示，一個質(zhì)量為m，帶電荷量為+q的粒子在BC邊上的M點(diǎn)以速度口垂直于BC邊飛人正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點(diǎn)（CM=CN）垂直于AC邊飛出三角形ABC，可在適當(dāng)?shù)奈恢眉右粋€垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個也是正三角形的區(qū)域內(nèi)，且不計(jì)粒子的重力。試求： （1）粒子在磁場里運(yùn)動的軌道半徑r及周期T； （2）該粒子在磁場里運(yùn)動的時間￡； （3）該正三角形區(qū)域磁場的最小邊長。

5.如圖5所示，管長為l的豎直光滑絕緣管固定在水平地面上的小車上，管內(nèi)底部有一小球，直徑比管的內(nèi)徑略小，小球質(zhì)量m=0.2g，電荷量q=+8×l0^-5C，在邊界PQ右側(cè)，管口所在水平面ab的F方存在著垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度B¹=15T的勻強(qiáng)磁場，ab面的上方存在著垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度B²=15T的勻強(qiáng)磁場，整個區(qū)域還存在著豎直向上、場強(qiáng)E=25V/m的勻強(qiáng)電場?，F(xiàn)讓小車始終保持v=2m/s的速度勻速向右運(yùn)動，一段時間后，小球運(yùn)動到管口，此時測得小球?qū)軅?cè)壁的彈力N=2.4×10^-3N。取g=10m/s²，不計(jì)空氣阻力。求：

（1）小球剛進(jìn)入磁場B₁時的加速度大小a；

（2）絕緣管的長度l；

（3）小球離開管后每次經(jīng)過水平面ab時小球距管口的距離△x。

6.如圖6，在矩形ABCD內(nèi)對角線BD以上的區(qū)域存在有平行于AD向下的勻強(qiáng)電場，對角線BD以下的區(qū)域存在有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場（圖中未標(biāo)出），矩形的AD邊長為l，AB邊長為 。一個質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子（不計(jì)重力）以初速度vo從A點(diǎn)沿AB方向進(jìn)入電場，在對角線BD的中點(diǎn)P處進(jìn)入磁場，并從DC邊上的Q點(diǎn)垂直于DC離開磁場，試求：

（1）電場強(qiáng)度的大??；

（2）帶電粒子經(jīng)過P點(diǎn)時速度的大小和方向；

（3）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向。

7.在xOy平面內(nèi)，直線OM與x軸負(fù)方向成45。角，以O(shè)M為邊界的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場如圖7所示，在坐標(biāo)原點(diǎn)0有一不計(jì)重力的粒子，其質(zhì)量和電總路程。

8.如圖8所示，平行金屬板右側(cè)有一寬度為a的勻強(qiáng)磁場區(qū)域I，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直Ⅱ，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B，方向垂直紙面向外?，F(xiàn)在平行金屬板的正極板處有一帶正電的粒子（粒子重力不計(jì)），質(zhì)量為m、電荷量為q，由靜止開始經(jīng)電場加速后，經(jīng)負(fù)極板狹縫沿z軸方向進(jìn)入磁場。

（1）當(dāng)加速電壓U=U⁰時，帶電粒子恰好可以到達(dá)磁場區(qū)域I、Ⅱ的交界處，求加速電壓U⁰；

（2）當(dāng)加速電壓U=2U⁰時，帶電粒子進(jìn)入磁場后經(jīng)過時間t第一次到達(dá)距z軸最遠(yuǎn)處，求運(yùn)動時間t。

參考答案與提示

1.設(shè)三個區(qū)域的電場強(qiáng)度大小依次為E、E和2E，滑塊在三個區(qū)域運(yùn)動的時間分別為t¹、t²和t³。（1）在CDHG區(qū)域，對滑塊進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律得2qE-mg=ma³，由題意知qE=mg，在水平方向和豎直方向上分別有 ，解得 。（2）在BCGF區(qū)域，對滑塊進(jìn)行受力分析，在豎直方向上有qE=mg，所以滑塊不受摩擦力，做勻速直線運(yùn)動， 。在ABFG區(qū)域，對滑塊進(jìn)行受力分析，在豎直方向上有N=qE+mg，在水平方向上有 解得 當(dāng)滑塊由E點(diǎn)運(yùn)動到F點(diǎn)時，由運(yùn)動學(xué)公式得 ，解得 。由 ，解得 。所以總時間

。

2.（1）如圖9所示，加磁場時，粒子從A點(diǎn)到D點(diǎn)，有 ，由幾何關(guān)系得 。加電場時，粒子從A點(diǎn)到D點(diǎn)，有 ，解得 粒子在磁場中運(yùn)動，由幾何關(guān)系可知，圓心角 ，運(yùn)動周期 ，運(yùn)動時間 。粒子在電場中的運(yùn)動時間 因此 。

3.（1）由小球A、B及細(xì)線組成的整體受力平衡，得 ，解得 。（2）若撤去外力瞬時，小球A、B間細(xì)線的拉力突然變?yōu)榱悖瑒t對小球A有 ，解得 ，方向向右；對小球B有 ，解得 ，方向向右。因?yàn)橐?所以在撤去外力瞬時，絕緣細(xì)線立刻張緊，使得小球A、B以相同的加速度a-起向右運(yùn)動，設(shè)細(xì)線的拉力為T。則對由小球A、B組成的整體，由牛頓第二定律得 ，解得 ；對小球A有 ，解得 。因此在撤去外力瞬時，小球A、B的加速度 ，小球A、B間細(xì)線的拉力 。 4.（1）由 和 ，解得 。（2）由題意可知，粒子剛進(jìn)入磁場時應(yīng)該先向左偏轉(zhuǎn)，不可能直接在磁場中由M點(diǎn)做圓周運(yùn)動到N點(diǎn)，當(dāng)粒子剛進(jìn)入磁場和剛離開磁場時，其速度方向應(yīng)該沿著軌跡的切線方向并垂直于半徑，如圖10作出圓O，粒子的運(yùn)動軌跡為弧GDEF，圓弧在G點(diǎn)與初速度方向相切，在F點(diǎn)與出射速度相切。畫出三角形abc，其與圓弧在D、E兩點(diǎn)相切，并與圓O交于F、G兩點(diǎn)，此為符合題意的最小磁場區(qū)域。由數(shù)學(xué)知識知∠FOG=60°，所以粒子偏轉(zhuǎn)的圓心角為300°，運(yùn)動

太空電梯這個概念最早來自100年前，著名的火箭科學(xué)先驅(qū)者齊奧爾科夫斯基設(shè)想了一個建立在巨塔頂端的“天空城堡”。的時間 。（3）連接a0并延長與bc交于H點(diǎn)，由圖知 ，所以

5.（1）以小球?yàn)檠芯繉ο螅谪Q直方向上受重力、靜電力和恒定的洛倫茲力，則 ，解得 。（2）小球在管中時沿豎直方向做勻加速直線運(yùn)動，當(dāng)小球運(yùn)動到管口時有N-2.4×10^-3N，設(shè)V₁為小球的豎直分速度，在水平方向上 ，解得 ，在豎直方向上有 ，解得 （3）小球離開管口進(jìn)入電場和磁場的共存域，其中qE=mg=2×10^-3N，即靜電力與重力平衡，小球做勻速圓周運(yùn)動，合速度 與水平面ab成45。角，軌道半徑為R，如圖11所示， ，解得 。從小球離開管口開始計(jì)時，到再次經(jīng)過水

圖11平面ab所通過的水平距離 ，對應(yīng)時間 ，時間t內(nèi)小車運(yùn)動的距離 。因此 。

6.（1）帶電粒子受靜電力作用做類平拋運(yùn)動，則 ，解得 。（2）帶電粒子在豎直方向上做勻變速運(yùn)動，設(shè)粒子到P點(diǎn)時在y軸方向上的分速度為 ，則2a. ，解得 ，合速度 ，速度與水平方向間的夾角 滿足 。（3）如圖12所示，BD與水平方向間的夾角滿足 ，則 ，即 上BD，因此粒子在磁場中運(yùn)動軌跡的圓心就在D點(diǎn)， ，由

，解得 ，方向垂直紙面向外。

7.（1）如圖13所示，粒子進(jìn)入磁場，根據(jù)左手定則知，粒子做 圓周的圓周運(yùn)動后經(jīng)過OM，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得qv。 ，解得R=lm，故粒子第一次經(jīng)過OM時的坐標(biāo)為（-1m，1m）。（2）粒子第二次進(jìn)入磁場時，速度大小不變，則粒子在磁場中運(yùn)動的半徑也為R，第二次進(jìn)入電場時到z軸的高度為2R。根據(jù)動能定理得 ，故粒子第二次到達(dá)x軸時的動能 。

（3）因?yàn)榱Ｗ拥诙芜M(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動，所以第二次到達(dá)x軸時的水平分速度為 在豎直方向上有 解得 。從類平拋開始，粒子第一次到達(dá)最高點(diǎn)離x軸的豎直高度 ，第二次到達(dá)最高點(diǎn)離z軸的豎直高度 第，z次到達(dá)最高點(diǎn)離x軸的豎直高度 。因此粒子在電場中運(yùn)動在豎直方向上通過的總路程 。

8.（1）設(shè)粒子進(jìn)入磁場時的速度為v，當(dāng)粒子在磁場中的圓周運(yùn)動半徑為a時，恰好可以到達(dá)磁場區(qū)域工、Ⅱ的交界處，則 ，解得 。（2）帶電粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖14，C、C'為圓心。當(dāng)U=2U₀時，設(shè)粒子的軌道半徑為R，由（1）中的比例關(guān)系知 ，解得 。因此由幾何知識得粒子運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角之和 ，又有粒子的運(yùn)動周期 ，所以 。