“說題”的三個考查維度和五步法原則

唐震

摘 要：“說題”可以提高教師在課堂教學(xué)中的針對性和有效性，促進(jìn)教師自身的數(shù)學(xué)知識的熟練和業(yè)務(wù)素質(zhì)的提高.本文總結(jié)出參加“說題”活動的“三個維度考查”研究和說題“五步法原則”等說題經(jīng)驗(yàn)，并以此為出發(fā)點(diǎn)通過實(shí)例進(jìn)行分析探討、規(guī)劃說題策略.

關(guān)鍵詞：說題；五步法原則；三個維度考查；實(shí)例探討

前言

筆者被三明市教科所數(shù)學(xué)教研室選中參加高中新課程背景下數(shù)學(xué)學(xué)科高考復(fù)習(xí)策略研訓(xùn)活動并親身參與“說題”.并對此次活動的說題環(huán)節(jié)感悟頗深，本文就“說題”準(zhǔn)備過程中對“說題”這項(xiàng)活動的理解和如何進(jìn)行說題的實(shí)踐進(jìn)行歸納總結(jié)與大家分享.

1 “說題”的理解

1.1 數(shù)學(xué)說題的定義

一般的，對所給試題，說所研究題的出處，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識及與該題相聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)、解題的數(shù)學(xué)方法、技巧和數(shù)學(xué)思想；同時，說清解題思路等的教研活動或深層次的備課.

1.2 說題的意義

“說題”前，教師通過認(rèn)真學(xué)習(xí)相關(guān)題型的資料，深入分析數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與分類，從而把握命題的趨勢，把握素質(zhì)教育的方向，用以指導(dǎo)課堂教學(xué)，提高課堂教學(xué)的針對性和有效性.堅持“說題”能夠促進(jìn)教師自身對數(shù)學(xué)知識脈絡(luò)的把握，使其對所研究知識的理論變得廣博而深刻，知識的應(yīng)用變得有效而靈活，從而促進(jìn)教師專業(yè)化成長.

1.3 說題的步驟（五步法原則）

（1）說所研究的題目的出處與內(nèi)涵；

（2）根據(jù)題目的類型或內(nèi)涵所涉及的知識點(diǎn)，考點(diǎn)進(jìn)行籠統(tǒng)的歸納；

（3）說題目考查意圖或改編意圖（包括對題目考查的基本技巧、基本方法、數(shù)學(xué)思想方法的展示）；

（4）說評價（題目考查的核心目標(biāo)和啟發(fā)）；

（5）說感悟與提升.

2 “說題”的具體實(shí)踐

說題要求：基于自身對高考試題的理解，將原題進(jìn)行研磨改編或變式試題并說題：

例題：已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f ′（x）=3x2+2mx+9，

f（x）在x=3處取得極值，且f（0）=0.

（Ⅰ）求f（x）的極大值和極小值；

（Ⅱ）記f（x）在閉區(qū)間[0，t]上的最大值為F（t），若對任意的t（0

（Ⅲ）設(shè)M（x，y）是曲線y=f（x）上的任意一點(diǎn).當(dāng)x∈（0，1]時，求直線OM斜率的最小值，據(jù)此判斷f（x）與4sinx的大小關(guān)系，并說明理由.

2.1 通過三個考查維度的深入研究，做好說題準(zhǔn)備工作

筆者接到例題后對“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”部分大量高考題進(jìn)行分析，并對《考試說明》進(jìn)行充分研讀歸納出高考對“導(dǎo)數(shù)”知識點(diǎn)的要求主要有以下四個方面：（1）導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義；（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；（3）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用：① 了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；② 了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值；（4）生活中的優(yōu)化問題，會利用導(dǎo)數(shù)解決某些簡單的實(shí)際問題.

當(dāng)然，僅僅從數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)考察的維度去說題就不能達(dá)到說題的要求和發(fā)揮說題的功能.所以，筆者在數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力考察等方面進(jìn)行分析.數(shù)學(xué)一般思想方法有：函數(shù)與方程數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法、分類討論數(shù)學(xué)思想方法、轉(zhuǎn)化化歸數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)思想方法、最優(yōu)化數(shù)學(xué)思想方法、統(tǒng)計思想和數(shù)據(jù)處理方法、參數(shù)代數(shù)學(xué)方法、集合與對應(yīng)的思想方法等.其中前四項(xiàng)思想方法常被人們稱為“四大數(shù)學(xué)思想方法”.數(shù)學(xué)能力主要包含運(yùn)算求解能力、推理論證能力、類比和知識遷移能力、直覺思維能力、邏輯推理能力和自主探索能力等.

筆者就通過“知識點(diǎn)考查”、“數(shù)學(xué)思想方法考查”和“數(shù)學(xué)能力考查”等三個考查維度對例題進(jìn)行考查分析.確定將例題進(jìn)行如下改編：

改編題：已知函數(shù)f（x）=x3+mx2+9x+n（m，n∈R）圖像在點(diǎn)（2， f（2））處的切線方程為3x+y-8=0.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，4]上的最值；

（Ⅱ）記函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，t]上的最大值為F（t），存在t∈（0，4]，使得F（t）≤λt2成立，求λ的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)曲線y=f（t）上的任意兩點(diǎn)A、B處的切線斜率分別為kA、kB.猜想：當(dāng)kA=kB時，動直線lAB恒過哪個點(diǎn)？并給出證明.

2.2 利用五步法原則開展說題活動

筆者根據(jù)自身實(shí)踐和研究對“說題”進(jìn)行模式化處理，將說題分成五個步驟（五步法），即前文所述：第一步，說所研究的題目的出處與內(nèi)涵；第二步，根據(jù)題目的類型或內(nèi)涵所涉及的知識點(diǎn)，考點(diǎn)進(jìn)行籠統(tǒng)的歸納；第三步，說題目考查意圖或改編意圖（包括對題目或改編題考查的基本技巧、基本方法、數(shù)學(xué)思想方法的展示）；第四步，說評價（題目考查的核心目標(biāo)和啟發(fā)）；第五步，說感悟與提升.

其中第一、二兩步較為簡單此文不提，后幾步驟要求說題人對題目或改編題的考查意圖、改變意圖、有何啟發(fā)、對今后的教學(xué)有何借鑒等提出個人的觀點(diǎn)，以下以此題為例談?wù)劰P者的觀點(diǎn)：

2.2.1 說改編意圖

原題：已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f ′（x）=3x2+2mx+9，

f（x）在x=3處取得極值，且f（0）=0.

改編：已知函數(shù)f（x）=x2+mx2+9x+n（m，n∈R）圖像在

（2，f（2））點(diǎn)處的切線方程為3x+y-8=0.

改編意圖：結(jié)合考試說明的要求，著重考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

原題（Ⅰ）求f（x）的極大值和極小值；

改編（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，4]上的最值；

改編意圖：1.基礎(chǔ)知識、基本技能的考查2.為第（Ⅱ）題的解答做鋪墊，提高重點(diǎn)考查點(diǎn)的思維量.

原題（Ⅱ）記f（x）在閉區(qū)間[0，t]上的最大值為F（t），若對任意的t（0

改編（Ⅱ）記函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，t]上的最大值為F（t），存在t∈（0，4]，使得F（t）≤λt2成立，求λ的取值范圍；

改編意圖：1.恒成立、存在、恰成立問題是高考熱點(diǎn)2.改編意在對分析問題能力和計算能力提供補(bǔ)充 3.考查轉(zhuǎn)化化歸思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想.

原題（Ⅲ）設(shè)M（x，y）是曲線y=f（t）上的任意一點(diǎn).當(dāng)x∈（0，1]時，求直線OM.

斜率的最小值，據(jù)此判斷f（x）與4sinx的大小關(guān)系，并說明理由.

改編（Ⅲ）設(shè)曲線y=f（x）上的任意兩點(diǎn)A、B處的切線斜率分別為kA、kB .

猜想：當(dāng)kA=kB時，動直線lAB恒過哪個點(diǎn)？并給出證明.

改編意圖：1.求解和思考過程體現(xiàn)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)活動方式，如：觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理等；2.作為練習(xí)，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)；作為考題，具備區(qū)分高數(shù)學(xué)素養(yǎng)學(xué)生和一般學(xué)生的要求.

2.2.2 說對原題評價

在這里，筆者把前期準(zhǔn)備工作的“三個考查維度”利用起來，作為評價該題的方向.

①基礎(chǔ)知識立意：第一問是從函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系出發(fā)，第二問含參數(shù)恒成立問題，第三問巧妙的利用原點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的連線斜率的最小值得到不等關(guān)系并用導(dǎo)數(shù)知識判斷兩個函數(shù)的關(guān)系.體現(xiàn)出試題命制梯度.②數(shù)學(xué)思想方法立意：以三次函數(shù)為背景，考查了函數(shù)與方程的思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)四大思想方法.③能力素質(zhì)立意：題目把函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、恒成立問題結(jié)合在一起，來解決單調(diào)性、參數(shù)范圍等問題.這是將知識、方法、思想、能力素質(zhì)融于一體的命題，對學(xué)生的直覺思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和自主探索能力等提出了很高的要求，有很好的區(qū)分度.

2.2.3 說感悟和提升

在這個步驟上說題人要對所說題型進(jìn)行歸納、總結(jié)，并從解決問題和培養(yǎng)意識上進(jìn)行升華，對今后出題或者教學(xué)中提出一些指導(dǎo)或感悟.同時，筆者認(rèn)為“說題人”應(yīng)該對說題的準(zhǔn)備、摸索過程和自身說題的方法進(jìn)行分享.當(dāng)然只要說題能夠?qū)ψ陨砗蜆I(yè)內(nèi)人士得到提高，具體的內(nèi)容就仁者見仁、智者見智了.

3 結(jié)語

“說題”不僅對提高課堂教學(xué)的有效性和針對性發(fā)揮良好作用.而且對教師的專業(yè)水平的提升和自主學(xué)習(xí)能力的提高具有重要的意義.此次說題活動，作者通過深入試題研究，把握該類命題的趨勢、方向和技能技巧等同時，總結(jié)歸納出“三個維度考查”研究和說題“五步法原則”等，并以此為出發(fā)點(diǎn)通過特例進(jìn)行分析探討、規(guī)劃說題策略.希望這些經(jīng)驗(yàn)分享能給大家些許借鑒.