馬爾科夫鏈簡介及其在經(jīng)濟領(lǐng)域的應(yīng)用

陳靜

摘 要： 本文通過梳理馬爾可夫鏈自提出以來至今的一些理論發(fā)展和實際應(yīng)用，讓學(xué)者們對它能建立一個初步的認知，同時著重介紹了灰色馬爾可夫鏈理論的優(yōu)點和一般馬爾可夫鏈建模的步驟，最后探討了它在經(jīng)濟領(lǐng)域的一些具體應(yīng)用，以及此模型本身的不足和缺陷，指出轉(zhuǎn)移矩陣的確定才是馬爾可夫鏈應(yīng)用中最關(guān)鍵的步驟。

關(guān)鍵詞： 馬爾科夫鏈；建模；轉(zhuǎn)移矩陣

1.國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

從最早馬爾科夫提出滿足某一性質(zhì)的特殊隨機變量序列，經(jīng)過百余年的發(fā)展，因其已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)[1]的良好性質(zhì)，馬爾科夫鏈 在實踐運用中逐漸發(fā)展了它的堅實理論基礎(chǔ)。在這些理論研究過程中最為突出的是由德國數(shù)學(xué)家N.Winer在20世紀(jì)20年代提出的，到目前仍在探求的布朗運動。1951年左右，隨著隨機微分方程理論的建立，馬爾可夫過程的研究取得了新的進展，在A.H.Kolmogorov的著作《概率論的解析方法》中，馬爾可夫鏈第一次被應(yīng)用到微分方程中。20 世紀(jì)50 年代我國著名數(shù)學(xué)家王梓坤院士率先將馬爾可夫過程的理論引入國內(nèi)，目前我國馬爾可夫理論研究已經(jīng)處于世界前沿水平，同時在平穩(wěn)過程、極限定理、鞅論、多參數(shù)馬爾可夫過程等方面也都有比較深入的研究。隨著馬爾可夫過程理論的不斷豐富，在實際應(yīng)用中也不斷看到他的身影。這些應(yīng)用通常是對系統(tǒng)已有信息的獲取，通過建立系統(tǒng)的狀態(tài)分類和轉(zhuǎn)移概率矩陣，來預(yù)測在現(xiàn)有狀態(tài)下，經(jīng)過一段時間變化，系統(tǒng)將會達到的狀態(tài)。比如將馬爾科夫鏈綜合應(yīng)用到存儲策略的庫存優(yōu)化模型中，通過構(gòu)造轉(zhuǎn)移概率矩陣，預(yù)測出產(chǎn)品未來的銷售量和儲存量[2]。

2.應(yīng)用馬爾科夫鏈建立數(shù)學(xué)模型解決相應(yīng)問題的建模步驟

由于在馬爾可夫理論中未來的情況只受當(dāng)前的影響，而過去的狀況無關(guān)，因此如何確定從現(xiàn)在狀態(tài)到未來狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣至關(guān)重要。實證中，我們通常采用以下步驟來建立數(shù)學(xué)模型[3]。

（1） 結(jié)合實際問題，確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)及其處于初始狀態(tài)的概率。數(shù)學(xué)上我們通常表示為：初始狀態(tài)：S= {0，1，2，…}；初始概率：π0=（P0，P1，…，Pn，…）期中Pi≥0（i=0.1.2…）表示系統(tǒng)處在狀態(tài)i的概率。

（2） 通過試驗或者數(shù)據(jù)資料來計算狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率，同時基于轉(zhuǎn)移概率確定一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，其中Pij表示經(jīng)由狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的一步轉(zhuǎn)移概率。

其中Pij（n）=P{Xn=j│X0=i}即經(jīng)由狀態(tài)i，n步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率。利用n步轉(zhuǎn)移概率矩陣即可確定系統(tǒng)所處各狀態(tài)的最終概率，即：πn=π0P（n）。

（3）對于某些性質(zhì)優(yōu)良的馬爾科夫鏈，利用穩(wěn)態(tài)收斂定理可以說明系統(tǒng)經(jīng)過長期的運行后可以達到平穩(wěn)分布，并且系統(tǒng)將保持此平穩(wěn)分布。

（4）利用馬爾可夫鏈得到的結(jié)果，對于未來的發(fā)展?fàn)顩r做出科學(xué)合理的預(yù)測，并采取措施來防范可能出現(xiàn)的不好的結(jié)果。

3.馬爾科夫鏈在理論與實際中的應(yīng)用

3.1 灰色馬爾科夫預(yù)測模型 。自1982年鄧聚龍教授提出灰色系統(tǒng)理論以來， 灰色預(yù)測模型作為其重要組成部分引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注?；疑到y(tǒng)理論在概念上改變了隨機性問題的處理方法，對那些信息不明確、不安全的灰色體系，灰色系統(tǒng)理論有很好的應(yīng)用，其要點在于把系統(tǒng)中的隨機性當(dāng)作一個灰色的部分而不是一個隨機信號，從而將灰色過程當(dāng)作一定區(qū)間、一定時區(qū)上變化的隨機過程。

馬爾科夫鏈和灰色系統(tǒng)二者都可以直接對有關(guān)于時間序列的問題進行預(yù)測?；诨疑到y(tǒng)理論的以上優(yōu)點，學(xué)者們將馬爾科夫鏈和灰色系統(tǒng)兩種預(yù)測模型相結(jié)合，形成了灰色馬爾科夫預(yù)測模型。它兼顧了馬爾可夫鏈和灰色理論模型兩方面的優(yōu)點，對具有無后效性以及那些信息不明確、不安全的“灰色體系”數(shù)據(jù)序列有著較高的預(yù)測精度。

3.2 馬爾可夫鏈應(yīng)用經(jīng)濟領(lǐng)域應(yīng)用 。馬爾可夫鏈在經(jīng)濟等方面的預(yù)測是國內(nèi)外學(xué)者的主要研究內(nèi)容，并已取得了多項學(xué)術(shù)成果，在經(jīng)濟領(lǐng)域上的應(yīng)用主要集中在以下幾個方面：

（1）馬爾可夫鏈在預(yù)測產(chǎn)品銷售，市場份額及企業(yè)利潤中有廣泛的應(yīng)用。這一類應(yīng)用的優(yōu)點是預(yù)測結(jié)果與以前的歷史數(shù)據(jù)無關(guān)，只與最近一段時間的數(shù)據(jù)相關(guān)，并結(jié)合馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣來預(yù)測以后的狀態(tài)。例如，曾維理應(yīng)用加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測了金星電子產(chǎn)品的銷售情況，為企業(yè)制定商品銷售策略—即如何投入最小，收益最大提供了有力的依據(jù)[4]。

（2）馬爾可夫鏈可以用來預(yù)測利率的變化。在當(dāng)今市場經(jīng)濟中，匯率的波動一直很不穩(wěn)地，為了規(guī)避風(fēng)險，有效地控制和調(diào)節(jié)匯率的波動，馬爾科夫鏈在利率的波動預(yù)測上有著廣泛的應(yīng)用。如使用馬爾可夫鏈的相關(guān)模型對人民幣的匯率變化作了預(yù)測和實證分析[5]。

（3） 馬爾可夫鏈可以用來分析和預(yù)測股市的走勢。中國股市的波動具有隨機性，波動的幅度很大。經(jīng)過學(xué)者們的檢驗證實發(fā)現(xiàn)我國整個證券市場的股票價格變化是一個馬爾可夫過程，因此馬爾可夫鏈被引入來討論市場對證券投資的策略。如梁寶松等學(xué)者把馬爾可夫鏈的預(yù)測方法和基金投資相結(jié)合，得到了一種依據(jù)基金價格偏離程度來預(yù)測基金走勢的投資方法[6]。

（4）馬爾可夫鏈還可以通過地理信息、遙感等知識對如何規(guī)劃城市和農(nóng)村的土地進行預(yù)測。例如，賈華、祝國瑞在1998年根據(jù)農(nóng)產(chǎn)品單產(chǎn)影響的無后效性，用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和灰色馬爾可夫鏈對農(nóng)作物土地的需求量進行建模并加以預(yù)測，得到了較好的結(jié)論[7]。

4.總結(jié)與展望

馬爾可夫鏈模型進行預(yù)測的重點是確定轉(zhuǎn)移概率矩陣，因此為了保證預(yù)測的精確度，此模型應(yīng)用對原始數(shù)據(jù)有著較高的要求。然而在現(xiàn)實中要獲得大量真實的原始數(shù)據(jù)是有一定難度的。同時雖然灰色馬爾可夫鏈模型考慮到了信息不明確、不安全的灰色體系，在經(jīng)濟領(lǐng)域有著更廣泛的運用，但是關(guān)于此預(yù)測模型的精準(zhǔn)度還需要從理論和經(jīng)驗兩部分進行補充完善。雖然如此，隨著交叉學(xué)科的迅猛發(fā)展和自身理論的不斷完善，相信未來馬爾科夫鏈將會在更多領(lǐng)域中有著更廣泛深入的應(yīng)用。 （作者單位：同濟大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院）

參考文獻：

[1] 陸大金.隨機過程及其應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，1986.

[2] 于文，李靜，呂小峰.基于馬爾科夫鏈的庫存策略研究[J].中國制造業(yè)信息化，2009

[3] 汲劍銳.馬爾科夫鏈應(yīng)用的一些探討[D].華中師范大學(xué)，2012.

[4] 曾維理，李潔，譚湘花.加權(quán)馬爾可夫鏈在市場預(yù)測中的應(yīng)用[J].科技資訊，2007

[5] 劉巖，劉芳.馬爾可夫鏈在人民幣匯率預(yù)測中的應(yīng)用[J].中國管理信息，2007

[6] 梁保松，溫建，陳振，王建平，寧亞偉.馬爾可夫過程在基金投資中的應(yīng)用[J].河南農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報， 2003

[7] 賈華，祝國瑞，土地利用規(guī)劃農(nóng)作物單產(chǎn)預(yù)測的灰色馬爾可夫鏈方法[J].武漢測繪科技大學(xué)學(xué)報，1998