淺談本科基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)中分析與代數(shù)知識的融合

徐登明

[摘 要]大學(xué)本科基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)主要包含分析，代數(shù)與幾何以及概率與統(tǒng)計三個方面。從實際教學(xué)經(jīng)驗出發(fā)，闡述本科基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)中分析與代數(shù)知識融合教學(xué)的必要性，通過實例說明這種融合在教學(xué)過程中的具體體現(xiàn)，并探討教學(xué)中如何實現(xiàn)分析與代數(shù)知識的融合。

[關(guān)鍵詞]代數(shù) 分析 知識融合

[中圖分類號] G642；O15 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2015）04-0117-02

大學(xué)本科基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)主要包含分析，代數(shù)與幾何以及概率與統(tǒng)計三個方面。目前國內(nèi)無論是“高等數(shù)學(xué)”教材，還是數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)課程，基本上都是微積分和線性代數(shù)各成一套封閉體系，這使得學(xué)生對數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)缺乏應(yīng)有的了解[1]，同時也嚴重影響了大學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的培養(yǎng)。然而，數(shù)學(xué)本身是一門邏輯性和系統(tǒng)性很強的科學(xué)。這就需要我們在教學(xué)過程中注重各數(shù)學(xué)課程之間的相互聯(lián)系并進行融合教學(xué)，從而讓學(xué)生從整體上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識體系，真正做到能夠利用數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)其他學(xué)科，最終達到利用所學(xué)知識解決實際問題的目的。本文根據(jù)作者的教學(xué)經(jīng)驗，闡述本科基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)中分析與代數(shù)知識融合教學(xué)的必要性，通過實例說明這種融合在教學(xué)中的具體體現(xiàn)，并探討如何在教學(xué)中實現(xiàn)分析與代數(shù)知識的融合。

一、教學(xué)中分析與代數(shù)知識融合的必要性

（一）數(shù)學(xué)本身發(fā)展的一個明顯趨勢是各學(xué)科之間互相滲透、互相促進更為迅速，分析、代數(shù)及幾何之間的界線越來越模糊，而它們的共同基礎(chǔ)卻越來越明確。[1]在實際教學(xué)特別是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)中，分析與代數(shù)的知識并不是孤立的，它們之間有著十分緊密的聯(lián)系。比如，分析中出現(xiàn)的很多集合都是代數(shù)學(xué)中向量空間的例子，例如閉區(qū)間上所有可積函數(shù)構(gòu)成的集合就是一個最典型的無限維向量空間的例子，而積分運算就是一個線性映射。另一方面，利用向量空間和線性映射的語言又可以簡化連續(xù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的敘述。再比如，在微積分中多元函數(shù)這一章節(jié)的教學(xué)中，利用矩陣的相關(guān)知識能讓學(xué)生更好的理解可微復(fù)合映射的鏈式法則。

（二）后續(xù)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)離不開分析和代數(shù)知識的融合運用。比如，在微分方程這門課的講授過程中，證明線性微分方程解的存在唯一性定理時，要用到數(shù)學(xué)分析中級數(shù)斂散性的知識；而在討論微分方程的解的結(jié)構(gòu)時，又要用到向量空間和線性映射的相關(guān)知識。再比如泛函分析課程中內(nèi)積空間這一章，表面上內(nèi)積空間是向量空間上多了一個內(nèi)積，這完全是線性代數(shù)的內(nèi)容。但是，很多內(nèi)積空間的例子都來自于分析中的相關(guān)內(nèi)容。例如，由閉區(qū)間上所有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合就可以通過定義某種內(nèi)積使其構(gòu)成一個內(nèi)積空間。

（三）在實際教學(xué)中強調(diào)分析和代數(shù)的相互融合，可以讓學(xué)生將數(shù)學(xué)作為一個整體進行學(xué)習(xí)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。同時，在實際教學(xué)中，利用兩種不同的知識對同一問題從不同的角度進行分析，這有利于培養(yǎng)學(xué)生多元化思維方式。

二、分析與代數(shù)知識的融合在實際教學(xué)中的體現(xiàn)

在實際教學(xué)過程中，有不少問題既可以利用分析的知識解決，也可以利用代數(shù)的知識解決，有的甚至還需要同時利用分析和代數(shù)知識才能解答。下面我們通過一個例子來說明分析與代數(shù)知識的融合在實踐教學(xué)中的具體體現(xiàn)。

關(guān)于這個例子，我們最先想到的是利用數(shù)學(xué)歸納法，這種方法高中生都會。但是隨著次冪的增加，要猜想此類數(shù)列的通項公式并不容易。下面介紹兩種不同的解法，這兩種方法都可以避免猜想數(shù)列的通項公式，同時還能計算出自然數(shù)的任意次冪的求和公式。

方法一：借助泰勒展開式求解

在上述兩種解法中，方法一利用了泰勒公式的相關(guān)知識巧妙的得到了數(shù)列的通項公式，體現(xiàn)了分析課程本身各個知識點之間的緊密聯(lián)系。方法二不但涉及了代數(shù)課程中多項式，向量空間和線性映射的相關(guān)知識，而且還利用了分析中數(shù)列和積分等內(nèi)容，這一方法充分體現(xiàn)了代數(shù)與分析知識的有機融合。另外，該例題利用兩種完全不同的方法對同一問題進行解答，體現(xiàn)了風(fēng)格迥異的兩種思維方式，這對培養(yǎng)學(xué)生多元化的思維方式也有著十分積極的作用。

三、實際教學(xué)中如何做到分析與代數(shù)知識的融合

要做到在教學(xué)中實現(xiàn)分析和代數(shù)知識的相互融合，筆者認為需要做到以下三點：

（一）教師的數(shù)學(xué)知識體系必須相當(dāng)完善。這包括兩個方面：一是需要教師對分析和代數(shù)的知識都理解得十分透徹；二是需要教師對數(shù)學(xué)專業(yè)各課程內(nèi)容都有非常全面的了解。俗話說“要給學(xué)生一碗水，教師得先有一桶水”。只有具備這些素質(zhì)后，教師才能將數(shù)學(xué)知識作為一個整體進行教學(xué)，才能在教學(xué)過程中有效融合分析和代數(shù)的知識解決實際問題。

（二）必須將分析和代數(shù)的知識作為一個整體進行，這就需要合理安排教學(xué)順序?，F(xiàn)行課程安排分析和代數(shù)授課都是獨立授課，無視兩類知識內(nèi)在邏輯聯(lián)系，二者在教學(xué)中的相互促進更是無從談起。筆者認為，必須根據(jù)分析與代數(shù)知識之間的內(nèi)在關(guān)系合理安排教學(xué)內(nèi)容的講授順序。比如，我們可以先講解代數(shù)中邏輯，集合映射，群、環(huán)、域的基本概念，多項式，向量空間和線性映射的內(nèi)容，進而在此基礎(chǔ)上講解分析中單變量微積分，然后回過頭來講解代數(shù)中矩陣，行列式，內(nèi)積空間，矩陣的約化等內(nèi)容，最后講解分析中多變量微積分。這種安排能夠利用代數(shù)的知識簡化微積分中一些知識的講解，從而也能幫助學(xué)生更好的學(xué)習(xí)微積分，同時也能體現(xiàn)出代數(shù)知識的應(yīng)用價值。另外，兩種知識交叉教學(xué)也有利于學(xué)生將分析與代數(shù)的知識作為一個有機整體進行學(xué)習(xí)。

（三）教師可以在教學(xué)中多設(shè)計一些既能用代數(shù)知識解決，又能用分析知識解決，或者需要用同時用到分析與代數(shù)的知識才能解決的例子。比如，在講解二階遞歸數(shù)列通項公式的求法時，可以利用有限維向量空間的相關(guān)知識進行求解；在講解線性微分方程組的求解時，可以舉一些可以利用矩陣三角化或?qū)腔軐⒎匠踢M行簡化的例子等等。

總之，在本科數(shù)學(xué)早期教學(xué)中，要特別注重分析和代數(shù)之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，將這兩類知識作為一個有機整體進行融合教學(xué)，這既能讓學(xué)生將數(shù)學(xué)知識作為一個整體來學(xué)習(xí)，從而提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng)為后續(xù)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)做準備，又有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 居余馬.更新工科基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和體系的一些問題[J].清華大學(xué)教育研究，1993，（7）.

[責(zé)任編輯：林志恒]