淺談數(shù)學(xué)中的最值與優(yōu)化問(wèn)題

劉強(qiáng)輝

【摘要】進(jìn)入二十一世紀(jì)的今天人類生活理念：“用最小的投入得到最大的回報(bào)”。縱觀這幾年的數(shù)學(xué)發(fā)展不管是中考、高考還是競(jìng)賽，都無(wú)不體現(xiàn)最值的重要性?？傊钪祮?wèn)題可以說(shuō)貫穿著宇宙世界，滲透到我們生活的每個(gè)角落，所以一直以來(lái)探究數(shù)學(xué)中的最值及其應(yīng)用倍受人們的青睞，乃至人類社會(huì)發(fā)展永恒的主題。

【關(guān)鍵詞】最值問(wèn)題 ?分類思想 ?優(yōu)化 ?投入成本

那么在生產(chǎn)實(shí)踐中，從數(shù)學(xué)的角度我們可以分為代數(shù)最值問(wèn)題：如在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常碰到帶有“最”字的問(wèn)題，投入最少、效益最大、材料最省、利潤(rùn)最高、路程最短等.在幾何圖形中按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)的元素，在一定的范圍內(nèi)存在最大值或最小值稱為幾何最值問(wèn)題，它一般有關(guān)于角度的最值、有關(guān)線段（距離）的最值、有關(guān)周長(zhǎng)的最值、有關(guān)面積的最值、體積最值等.本文將通過(guò)數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題的分類與解決思路談?wù)勛约旱囊恍┠w淺看法.希望它能給學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法和解題思路上帶來(lái)啟發(fā)。

一 求角的最大值問(wèn)題

例1、已知定點(diǎn)A（，0），圓O的方程x2+y2=9，動(dòng)點(diǎn)M在圓上，

則 ∠OMA的最大值為多少？

解：如圖所示，設(shè)∠OMA=，AM = x

由cos∠OMA=

即 =

當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)

此時(shí) ? ? ?所以

二 距離和的最值問(wèn)題。

例2、如圖，菱形ABCD中，AB=2，，∠BAD=60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小最是

分析：由菱形的性質(zhì)知：點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱。因?yàn)镻在AC上

支運(yùn)動(dòng)，所以PB=PD。要求PE+PB的最小最，即求

PD+PB的最小值。連接DE交AC于點(diǎn)，則DE即為所求。又∠BAD=60°，AE=AD，E為AB的中點(diǎn)，所以DE⊥AB，而AB=AD=2，所以

DE=，即PD+PB的最小值為

三 求面積的最值問(wèn)題

例3、 ?如圖，ADPE是個(gè)矩形，PD=m，PE=n（mn均不為0），BC為過(guò)點(diǎn)P的直線，且與AD、AE的延長(zhǎng)線交于B、C。求△ABC的面積的最小值。

解：設(shè)∠B=∠EPC=a，△ABC的面積為S。

∴

即： n2 tan2a+2（mn-S）tana+m2=0 ?（n≠0）∵ tana為實(shí)數(shù)，∴△≥0，

即 ?4（mn-S）2-4m2n2≥0 ? S﹥0 ，∴S≥2mn..

故 ?當(dāng) ? tana= ?時(shí) ?△ABC面積的最小值為2mn.

四 求體積的最值問(wèn)題

例4、 ?設(shè)半徑為R的球有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)內(nèi)接圓柱體積最大時(shí)，求出圓柱的底面半徑和高，并求出體積的最大值。

解：設(shè)內(nèi)接圓高柱為h，底面半徑為r，則，

∴

當(dāng)且僅當(dāng)r=R，h=R ?時(shí)

總之，隨著工業(yè)科學(xué)化的突飛猛進(jìn)，在實(shí)際生產(chǎn)、現(xiàn)實(shí)生活和科學(xué)研究中，許多情形下往往要求操作、經(jīng)營(yíng)和決策者考慮怎樣才能以最低的成本、最短的時(shí)間獲取最大的效益，這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)中稱為最優(yōu)化問(wèn)題.而數(shù)學(xué)最優(yōu)化問(wèn)題離不開(kāi)最值，因此如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中將數(shù)學(xué)最值問(wèn)題——如完成一件事所用的費(fèi)用最少、路線最短、效益最大、產(chǎn)值最高、容積最大等等與優(yōu)化問(wèn)題有效的結(jié)合到生活實(shí)際中，是教與學(xué)的最大挑戰(zhàn)。反之，如果學(xué)生只會(huì)書本知識(shí)，那是我們的教學(xué)最大的誤導(dǎo)和失敗。所以在平時(shí)的教學(xué)中，我們應(yīng)把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo)，不僅僅是為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，更為重要的是能使學(xué)生學(xué)到有用的數(shù)學(xué)，從實(shí)際出發(fā)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題服務(wù)日常生活。

【參考文獻(xiàn)】

《模型思想與優(yōu)化理論》、《如何看待當(dāng)前經(jīng)濟(jì)研究的“數(shù)學(xué)化”》、《課程教材研究》