淺論中學(xué)數(shù)學(xué)類型題中多題歸一思想

岳芳芳

數(shù)學(xué)題目的類型多，形式各異，題設(shè)和結(jié)論千變?nèi)f化，真可謂“題海”.如果教師在教學(xué)過(guò)程中選擇課本中比較有代表性的習(xí)題，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生形成有效的學(xué)習(xí)策略，注重引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)許多題目雖然變化萬(wàn)千，但是存在著“質(zhì)同形異”，可以激發(fā)學(xué)生對(duì)于這個(gè)知識(shí)不斷向深層面的探索，學(xué)生所掌握的知識(shí)也可以縱向加深，輕松地提高了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.下面我們將選擇初中八年級(jí)下冊(cè)課本中一道典型的課后練習(xí)題作為范本進(jìn)行說(shuō)明，如：

圖 1已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF.（提示：取AB的中點(diǎn)G，連接EG）

這是課后復(fù)習(xí)題中的一道題，在八年級(jí)學(xué)生剛剛學(xué)完本章節(jié)知識(shí)，如果沒(méi)有提示的情況下，想獨(dú)立解決這個(gè)問(wèn)題，是有一定的難度的，通過(guò)提示學(xué)生知道解決本題只需通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，利用正方形和全等三角形的性質(zhì)及判定來(lái)進(jìn)行證明、求解，關(guān)鍵是要有畫(huà)正方形中輔助線的能力.意在考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握程度，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、概括、歸納及語(yǔ)言表達(dá)能力.

具體的解題過(guò)程可以如下：

證明：取AB的中點(diǎn)M，連接EM.

其中滲透著轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，我們可以引導(dǎo)學(xué)生解題方法是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.

首先引導(dǎo)學(xué)生從條件入手，通過(guò)觀察圖形，自主探究，再進(jìn)行合作交流，組內(nèi)、組間充分討論后，概括出作輔助線，構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明線段相等的結(jié)論.

本問(wèn)題對(duì)于學(xué)生來(lái)講，因?yàn)檎n本中原題目中已有提示告訴學(xué)生輔助線的做法，所以在解決這個(gè)問(wèn)題的方面上基本沒(méi)有障礙，由正方形的性質(zhì)自然聯(lián)想到邊相等、角相等.在構(gòu)建的全等三角形中得出深一層的結(jié)論.

但是當(dāng)我們運(yùn)用一題多變的教育方式進(jìn)行一定的變形時(shí)，此時(shí)如若沒(méi)有上題作為前提的話，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)這道題還可以輕易解決嗎？如變形題1：

圖 2如圖，如果把原題中“點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是BC邊上的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，請(qǐng)你猜想AE=EF的結(jié)論是否還能成立，并證明你的猜想.

學(xué)生通過(guò)上一問(wèn)題的解決，明確要結(jié)合圖形，添加輔助線，利用全等三角形的性質(zhì)證明線段相等是解決本題的關(guān)鍵.再一次讓學(xué)生進(jìn)一步清晰輔助線的畫(huà)法、全等三角形的判定、性質(zhì)和正方形證明題之間的聯(lián)系.在幾何題目中，首先要讀懂圖形，理解題意，深入挖掘題中隱含條件，掌握方法，雖然條件或結(jié)論的形式或圖形發(fā)生變化，而本質(zhì)特征卻不變.

經(jīng)過(guò)兩道題目的解決發(fā)現(xiàn)，以上兩個(gè)題目的實(shí)質(zhì)完全相同，對(duì)于題目1，學(xué)生易于由中點(diǎn)推斷線段的相等來(lái)助于解決問(wèn)題，但學(xué)生對(duì)變形1則感到無(wú)從下手.因此，對(duì)這些“質(zhì)同形異”的題目，要善于指導(dǎo)學(xué)生拋開(kāi)表面的限制因素，抓住此類題型的本質(zhì)特征，相對(duì)于問(wèn)題的解決就會(huì)起到?jīng)Q定性作用.我們進(jìn)一步看變形2：

圖 3如圖所示，如果把原題中的“點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是BC邊的反向延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，請(qǐng)你猜想AE=EF的結(jié)論是否還能成立，并證明你的猜想.

這個(gè)變形略有難度，著重考查學(xué)生對(duì)此類變形后圖形添加輔助線解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用方法的靈活運(yùn)用，由前面問(wèn)題的解決，學(xué)生會(huì)容易找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論，本題設(shè)計(jì)意圖是轉(zhuǎn)變思路，增強(qiáng)學(xué)生的探究意識(shí)，同時(shí)要體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立存在的，它們之間會(huì)互相轉(zhuǎn)化，有著某種必然聯(lián)系.隨著難度的不斷增大，卻能體現(xiàn)出多題歸一的思想，既能體現(xiàn)出知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生的思維拓展效果.盡管題目條件這樣的改變，原題中結(jié)論依舊是保持不變的.

圖 3如圖3，AE=EF，理由為：

通過(guò)對(duì)本題的解決和幾個(gè)變式的拓展，可以使學(xué)生根據(jù)不斷變化的情況，對(duì)原來(lái)的思維進(jìn)程和解決題目的方法作出及時(shí)的調(diào)整，把大部分學(xué)生從過(guò)去解決問(wèn)題的思維定式中及時(shí)地拯救出來(lái)，大大地提高了學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的程度.我們啟發(fā)學(xué)生對(duì)幾何問(wèn)題的思考和歸納，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，獲得廣泛的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).變式研究之前，讓學(xué)生分析母題的構(gòu)造及特點(diǎn)，滲透解題思想，即構(gòu)造正方形中常用的輔助線，利用全等證明線段的相等的理念，從特殊到一般，運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想，通過(guò)不斷的變化，建立新與舊、已知與未知的聯(lián)系，有助于學(xué)生關(guān)注問(wèn)題或概念的不同方面，讓他們覺(jué)得有新的理念出現(xiàn)，讓他們學(xué)會(huì)從不同的角度看問(wèn)題，因而加深對(duì)題意的理解，讓學(xué)生在充分的交流與合作中加深對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí).學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不只是為了掌握一些基本知識(shí)、基本技能，更重要的是可以提高學(xué)生的發(fā)散思維能力、化歸遷移思維能力和思維靈活性，激活思維、學(xué)會(huì)思考、解決問(wèn)題.

上例中的幾個(gè)問(wèn)題，內(nèi)容和形式各不相同，但實(shí)質(zhì)卻是相同的，有著相同的解題規(guī)律，有著一樣的解題技巧，甚至完全相同的結(jié)果，圖形的變化形式多樣，通過(guò)這些變化使圖形化靜為動(dòng)，動(dòng)靜結(jié)合，使數(shù)學(xué)問(wèn)題更具魅力，中考題中也經(jīng)常出現(xiàn)源自課本題目的改編題，變化多端，卻萬(wàn)宗歸一.這樣可以提高學(xué)生解決問(wèn)題的興趣，本問(wèn)題學(xué)生可以自主探究，或小組合作，通過(guò)畫(huà)圖、分析、論證得出恒成立的結(jié)論.

在我們數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，這種一題多變的典型題目比比皆是，形式也多種多樣，有的是改變條件，保留結(jié)論；有的是保留條件，改變結(jié)論；當(dāng)然也有同時(shí)改變條件和結(jié)論，甚至可以將原題中的結(jié)論和條件互換后產(chǎn)生新的問(wèn)題.可以通過(guò)重點(diǎn)剖析這些典型習(xí)題，讓學(xué)生分析結(jié)論，并加強(qiáng)鍛煉引導(dǎo)和推廣，從橫向和縱向兩個(gè)方向加深學(xué)生的知識(shí)體系，如若教師可以讓學(xué)生理清千變?nèi)f化的題海中互相牽連的關(guān)系，能使學(xué)生把相似的問(wèn)題歸為一類，總結(jié)解題規(guī)律，做到熟一題，通一類，脫離“題?！?，數(shù)學(xué)課必將成為大部分學(xué)生的樂(lè)趣.以此可見(jiàn)，在復(fù)習(xí)過(guò)程中，要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生注意課本例題、習(xí)題以及常見(jiàn)考題之間的內(nèi)在關(guān)系，尋找同一類的類型題，適當(dāng)進(jìn)行改變題設(shè)、結(jié)論，加強(qiáng)鍛煉學(xué)生對(duì)類型題的歸一練習(xí)，以不變應(yīng)萬(wàn)變，必定可以改善現(xiàn)今各個(gè)學(xué)校存在的數(shù)學(xué)學(xué)困生的一些問(wèn)題，也能使得原本擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)的學(xué)生更加充滿自信地學(xué)習(xí).

以上所談，僅為教學(xué)之略見(jiàn).事實(shí)上，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法、數(shù)學(xué)解題策略比學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)更為重要，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力和思維的靈活性、深刻性，使學(xué)生從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”以至于“會(huì)用”到“創(chuàng)造發(fā)明”，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一.