一道高考題的推廣探究

張志欣 謝意純

[摘要]主要敘述了在研讀歷年的高考題時，發(fā)現(xiàn)了一道以橢圓為背景，結(jié)合向量與同心圓知識的試題.該試題構(gòu)思精巧，綜合性強，值得探究.將對其進行探究并推廣到其他圓錐曲線.

[關鍵詞]圓錐曲線同心圓垂直推廣研究

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2015）110043

一、真題再現(xiàn)

題目：橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）過M（2，2），N（6，1）兩點，O為坐標原點.

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且OA⊥OB？若存在，寫出該圓的方程；

解：（1）由題意易得橢圓E的方程x28+y24=1.

（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且OA⊥OB，設該圓的切線方程為y=kx+m，解方程組y=kx+m

x28+y24=1，得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，則Δ=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）>0，即8k2-m2+4>0①

由韋達定理得

x1+x2=-4km1+2k2

x1x2=2m2-81+2k2，

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2（2m2-8）1+2k2-4k2m21+2k2+m2=m2-8k21+2k2.要使OA⊥OB，需使x1x2+y1y2=0，即2m2-81+2k2+m2-8k21+2k2=0，所以3m2-8k2-8=0，所以k2=3m2-88≥0.又因為在①式中，8k2-m2+4>0，所以m2>2

3m2≥8，所以m2≥83，即m≥263或m≤-263.因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為r=|m|1+k2，r2=m21+k2=m21+3m2-88=83，r=263，所求的圓為x2+y2=83.此時圓的切線y=kx+m滿足m≥263或m≤-263，而當切線的斜率不存在時，切線為x=±263，與橢圓x28+y24=1的兩個交點為（263，±263）或（-263，±263）滿足OA⊥OB.綜上，存在圓心在原點的圓x2+y2=83，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且OA⊥OB.

二、問題與討論

對此，我們不禁提出這樣一個問題：對于橢圓E：x2a2+y2b2=1是否存在這樣的圓，使之任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且OA⊥OB，若存在，又是否與a，b相關？

解：假設存在這樣的橢圓E.

令x2a2+y2b2=1

y=kx+m，得

b2x2+a2（k2x2+2kxm+m2）=a2b2，即（b2+a2k2）x2+2a2kxm+a2m2-a2b2=0，

由韋達定理得

x1+x2=-2a2kmb2+a2k2

x1x2=a2m2-a2b2b2+a2k2，

由y=kx+m得

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=（a2m2-a2b2）k2b2+a2k2-2a2k2m2b2+a2k2+m2，

即y1y2=b2m2-a2b2k2b2+a2k2.

要使OA⊥OB，則x1x2+y1y2=a2m2-a2b2b2+a2k2+b2m2-a2b2k2b2+a2k2=（a2+b2）m2-a2b2-a2b2k2b2+a2k2=0，

即（a2+b2）m2-a2b2-a2b2k2=0，得k2=（a2+b2）m2a2b2-1.因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為

配方法一般是找出條件和題目的要求后，結(jié)合定義域的具體取值范圍來求解函數(shù)最值.但并不是每一個題型都能使用配方法，還要具體題目具體分析.

二、換元法

換元法是引入新的變量，取代原式中的變量或者代數(shù)式，以便將被求函數(shù)化簡為易于求解的形式.換元法是求解函數(shù)最值問題常用的重要的方法.做這類題目的基本要求是學會化簡.在學會化簡的基礎上，再根據(jù)定義域的具體取值范圍來求解函數(shù)最值.

【例2】已知x2+y2=1，求z=2x2+2xy+y2的最值.

解：由x2+y2=1，可設x=cosα，y=sinα，α∈[0，2π]，

則z=2cos2α+2cosαsinα+sin2α

=32+12cos2α+sin2α

=32+52sin（2α+β）（β=arcsin55）

當sin（2α+β）=1時，z有最大值為32+52；

當sin（2α+β）=-1時，z有最小值為32-52.

分析：學生用三角換元方法求最值時，需要注意結(jié)合三角函數(shù)公式的運用，如例題中的輔助角公式.學生還要注重在三角函數(shù)中“1”的活用，如sin2α+cos2α=1，tanα·cotα=1等，如果最值中含有等于“1”的等式，可以考慮用三角函數(shù)將其代換，利用三角函數(shù)的方法進行求解.同時，學生用換元法求解代數(shù)式的最值時，有時需要結(jié)合其他方面的知識內(nèi)容，如基本不等式、三角函數(shù)等.

學生在數(shù)學學習中會習慣于根據(jù)題目的已知條件去簡單的計算.但在求解函數(shù)最值問題的計算中需要用換元法.有的學生在做習題時一遇到困難就思維短路，題目做不下去時就會放棄，這是典型的學習困難或?qū)W習心理障礙.教師在教會學生解題方法的同時，還要對其進行心理輔導，幫助學生克服學習心理障礙，培養(yǎng)學生的解題能力.

三、判別式法

數(shù)學學習中的直接判斷是學生直覺能力的直接表現(xiàn)，直接思維在很大程度上對學習效果有很大的影響.判別式法是我們解題時常用的解題方法，也是最直接的解題方法.由于學生具有一定的思維能力和判斷能力，在數(shù)學解題中，可以引導學生大膽地使用判別式法.在解題中掌握判別式法很有必要.

例如，如果函數(shù)解析式y(tǒng)=f（x）通過整理變形可以轉(zhuǎn)化為a（y）x2+b（y）x+c（y）=0（a（y）≠0）的形式，學生可以利用一元二次方程有實根存在的條件Δ≥0來進行函數(shù)最值求解.判別式法常用于分式函數(shù)和無理函數(shù).

【例3】求函數(shù)y=（x2-3x+4）/（x2+3x+4）的最值.

解：∵分母x2+3x+4>0恒成立，函數(shù)的定義域x∈R.

∴原函數(shù)表達式可化為（y-1）x2+（3y+3）x+4y-4=0.

當y=1時，x=0；

當y≠1時，由Δ=（3y+3）2-4（y-1）（4y-4）≥0，得17≤y≤7（y≠1），

∴函數(shù)的最小值為17，最大值為7.

分析：如果原函數(shù)的定義域是給定區(qū)間上的函數(shù)，學生在用判別式法求出函數(shù)的變化范圍后，需要將求得的結(jié)果代入原函數(shù)進行檢驗，以免出現(xiàn)誤判情況.同時，學生在應用判別式法時，需要注意的是，如果函數(shù)形式為分式形式，則其分子、分母的二次項系數(shù)不能同時為零，而對于化簡后的二次函數(shù)形式，學生也要分為二次項系數(shù)為零和二次項系數(shù)不為零兩種情況進行討論，以保證結(jié)果的全面性和完整性.

在數(shù)學學習中，學生的每一個判斷不可能都是正確的，這就要求教師在教學中幫助學生學會驗證自己的判斷，幫助學生學會修正錯誤，提高認識.

1983年，美國哈佛大學心理學教授霍華德·加德納在他的《智能的結(jié)構(gòu)：多元智能理論》著作中提到：“智能是每個人都不同程度地擁有并表現(xiàn)在生活各個方面的能力，而不是如傳統(tǒng)的智力觀把智力狹窄限于語言和數(shù)理邏輯方面.”學生是有學習差異的學習個體，在數(shù)學學習中的思維能力也會有很大的差異.學習過程應該是伴隨著學生多元智能的激發(fā)去探索和認識問題.學生的思維能力也會在學習的過程中得到發(fā)展.對于學生在學習中表現(xiàn)出來的學習差異，教師應給予理解和指導，不能對判斷失誤的學生加以指責.

學生在利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)最值問題時，需要注意函數(shù)在公共定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性要保持一致.同時，學生利用函數(shù)求導判斷函數(shù)的單調(diào)性時，要注意函數(shù)求導后符號的正負，如果求導后函數(shù)符號為正，則其在相應區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間端點處取得最小值；如果求導后函數(shù)符號為負，則其在相應區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間端點處取得最大值.

總之，函數(shù)最值問題的求解是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，學生在應用不同方法求解函數(shù)最值問題時，需要注意每一種方法的使用條件和約束條件，如定義域的取值范圍、值域范圍和隱含的約束條件等.學生只有明確這些條件，將函數(shù)整理轉(zhuǎn)化為熟悉的形式，才能順利地得出正確答案.

（責任編輯鐘偉芳）