全等三角形的教學(xué)策略

唐國慶

全等三角形從知識(shí)結(jié)構(gòu)上來說十分重要，后面要學(xué)的線段的垂直平分線、角的平分線、等腰三角形、直角三角形等內(nèi)容都要通過證明兩個(gè)三角形全等來加以解決；在學(xué)生能力培養(yǎng)上，開始學(xué)習(xí)運(yùn)用綜合法來證明幾何問題，無論是邏輯推理能力，還是分析解決問題的能力，都可在全等三角形的教學(xué)中得以培養(yǎng)和提高.因此，全等三角形的教學(xué)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)會(huì)有一定影響.陶行知先生要求我們“教、學(xué)、做合一”，對(duì)于這樣一個(gè)重要的章節(jié)我們得深入思考，研究全等三角形的教學(xué)策略，充分體現(xiàn)出“教、學(xué)、做合一”教育思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的指導(dǎo)意義.

策略一：全等三角形要突出“對(duì)應(yīng)”

在全等三角形中，快速準(zhǔn)確地找出對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊是解決全等三角形相關(guān)問題的關(guān)鍵，可從三方面入手.

1.從全等三角形幾何語言書寫規(guī)則入手.全等三角形用幾何語言表示時(shí)，通常要求把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母書寫在對(duì)應(yīng)的位置上.依據(jù)書寫規(guī)則，對(duì)應(yīng)位置的字母就是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母，對(duì)應(yīng)位置兩個(gè)字母所表示的線段就是對(duì)應(yīng)線段.我們不僅要求學(xué)生能這樣規(guī)范地書寫幾何語言，而且要讓學(xué)生能從幾何語言中快速準(zhǔn)確地判斷出全等三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊.

例1 已知△ABD ≌ △CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，∠ABD=30°，則CB=，CD=，∠CDB=.

分析 依據(jù)全等三角形幾何語言書寫規(guī)則，△ABD中A，B，D的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分別為C，D，B，邊AB的對(duì)應(yīng)邊是CD，邊AD對(duì)應(yīng)邊是CB，邊BD的對(duì)應(yīng)邊是DB，∠ABD的對(duì)應(yīng)角是∠CDB，解答自然就解決了.

2.直觀觀察法.依據(jù)全等三角形的性質(zhì)“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等”，可以得出以下直觀判斷方法，判斷對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角的方法：（1）一對(duì)最小的角是對(duì)應(yīng)角，一對(duì)最大的角是對(duì)應(yīng)角；（2）有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；（3）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角；（4）對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角.對(duì)應(yīng)角的頂點(diǎn)即為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).判定對(duì)應(yīng)邊的方法為：（1）一對(duì)最短的邊是對(duì)應(yīng)邊，一對(duì)最長的邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；（3）對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊.

3.圖形變換法.全等圖形都是通過平移、翻折或旋轉(zhuǎn)變換而得到的，全等三角形也不例外，如果我們能依據(jù)圖形，找出兩全等三角形是通過什么變換而得到的，自然就可以快速準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊了.現(xiàn)以下面三幅圖為例說說變換法找對(duì)應(yīng).

圖（1）是將△ABC沿AF向下平移而得到△DEF，所以頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是D，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，頂點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F.圖（2）是△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAD而得到△ADE，所以頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是D，頂點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是E.圖（3）是將△ABC先左右翻折，再向左平移一定的距離而得到△DFE，所以頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是D，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，頂點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是E.有了對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角自然就知道了.理解了全等三角形是怎樣變換而來的，我們就能快速準(zhǔn)確地找到對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊了.

策略二：“學(xué)”會(huì)三角形全等的直接條件、間接條件以及如何將間接條件轉(zhuǎn)化為直接條件

所謂三角形全等的直接條件就是：給出的已知條件正好是兩三角形對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角相等，直接用來證明三角形全等就可以了.而間接條件是指：給出的已知條件不是兩三角形對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角相等，而是要通過一步、兩步或多步推理，轉(zhuǎn)而得到兩三角形對(duì)應(yīng)邊相等或?qū)?yīng)角相等的條件.間接條件可通過推理轉(zhuǎn)化為證明兩三角形全等的直接條件.通過下面例題來區(qū)分直接條件與間接條件.

例2 如圖，∠A=∠B，∠1=∠2，EA=EB.

證明：△EAC≌△EBD.

其中∠A=∠B，EA=EB就是要證兩三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊，所以是直接條件；而∠1，∠2并不是△EAC和△EBD的內(nèi)角，所以∠1=∠2不是直接條件，而是間接條件，但可以通過一步簡單推理：因?yàn)椤?=∠2，所以∠1+∠BEC=∠2+∠BEC，所以∠AEC=∠BED.將∠1=∠2這個(gè)間接條件轉(zhuǎn)化為直接條件∠AEC=∠BED.

在間接條件中，可將間接條件分為簡單間接條件和復(fù)雜間接條件.所謂簡單間接條件就是跟直接條件聯(lián)系緊密，往往可通過一步或兩步簡單推理就能轉(zhuǎn)化為直接條件.在證三角形全等中，常見的簡單間接條件主要有以下幾種：

1.角平分線，角平分線這一間接條件可推導(dǎo)出一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等

例3 已知：如圖，OA平分∠BOC，OB=OC.

求證：AB=AC.

分析 因?yàn)镺A平分∠BOC，所以∠BOA=∠COA，將角平分線這一間接條件轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的直接條件.

2.中點(diǎn)（中線）

例4 如圖，O是AB的中點(diǎn)，∠A=∠B，△AOC與△BOD全等嗎？為什么？

分析 因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)A=OB，將O是AB的中點(diǎn)這一間接條件轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的直接條件.

3.垂 直

例5 如圖，AC⊥AB，BD⊥AB，CE⊥DE，CE=DE.

求證：AC+BD=AB.

分析 AC⊥AB，BD⊥AB，可以輕松推導(dǎo)出∠A=∠B.將垂直這一間接條件轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的直接條件.

4.同角或等角的余角（補(bǔ)角）相等

例6 如圖，∠ABC=90°，AB=BC，D為AC

上一點(diǎn)，分別過A，C作BD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).

求證：EF+AE=CF.

分析 本題的關(guān)鍵是利用同角的余角相等，因?yàn)椤螦BC=90°，CF⊥BD，所以∠ABE+ ∠CBE=90°，∠BCF+∠CBE=90°，所以∠ABE=∠BCF.同角或等角的余角（補(bǔ)角）相等這一間接條件需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)，并能熟練的將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的直接條件.

5.共一部分角

例7 如圖，已知∠BAD= ∠EAC，AB=AE，

AC=AD，求證： △ABC≌△ADE.

分析 ∠BAD和 ∠EAC并不是△ABC和△ADE的內(nèi)角，所以不能直接用來證明三角形全等，但仔細(xì)觀察一下，∠DAC是兩三角形內(nèi)角∠BAC和∠DAE的公共部分，分別將∠BAD和 ∠EAC加上∠DAC正好轉(zhuǎn)化為兩三角形的內(nèi)角.因?yàn)椤螧AD= ∠EAC，所以∠BAD+∠DAC = ∠EAC+∠DAC，即：∠BAC= ∠DAE.共一部分角這一間接條件轉(zhuǎn)化為直接條件是每名同學(xué)必須學(xué)會(huì)的，解題時(shí)常常會(huì)遇到.

6.共一部分邊

例8 如圖，點(diǎn)C，F(xiàn)在AD上，且AF=DC，∠B=∠E，∠A=∠D，你能證明AB=DE嗎？

分析 已知條件中AF 與DC顯然不是△ABC與△DEF的邊，所以 AF=DC是間接條件，不能直接運(yùn)用，觀察不難發(fā)現(xiàn)FC是線段AF與DC的公共部分，分別將AF和DC減去FC就能得到直接條件AC=DF.共一部分邊這一間接條件轉(zhuǎn)化為直接條件也是每名同學(xué)必須學(xué)會(huì)的，解題時(shí)常常會(huì)遇到.

7.兩線平行

例9 已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在CD上，且CE =DF，AE =BF，AE ∥BF.

①求證：△AEC ≌△BFD；

②你還能證得其他新的結(jié)論嗎？

分析 AE ∥BF跟三角形全等并沒有直接關(guān)系，所以是間接條件，因?yàn)锳E ∥BF，所以∠AEC=∠BFD，很快將平行轉(zhuǎn)化為了對(duì)應(yīng)角相等.兩直線平行的三個(gè)性質(zhì)中“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”和“ 兩直線平行，同位角相等”用得比較多，而“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”在三角形全等中用得比較少.

復(fù)雜間接條件指的是與要證的全等三角形沒有直接聯(lián)系，而與其他全等三角形有關(guān)，通過證明其他三角形全等，再依據(jù)全等三角形的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化為要證的全等三角形對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角相等.

策略三：“做”好三角形全等的基本圖形的研究與隱含條件挖掘

由于全等三角形都是通過平移、翻折或旋轉(zhuǎn)變換而得到的，知道全等三角形的變換過程和基本圖形，對(duì)我們解題是大有裨益的.尤其要讓學(xué)生理解基本圖形（圖形很多，有代表性的為基本圖形）中隱含的條件.這些隱含條件往往是解題的關(guān)鍵所在.

1.共邊型全等三角形

共邊型全等三角形有兩個(gè)基本圖形，如圖（1）、圖（2），圖（1）是將△ABC左右翻折而得到，兩三角形在公共邊BC的同一側(cè)，圖（2）是將

△ABC旋轉(zhuǎn)后再平移而得到，兩三角形在公共邊AC的兩側(cè)，無論是圖（1）還是圖（2），共邊型全等三角形隱含的條件是公共邊相等.即圖（1）中BC=BC，圖（2）中AC=AC.

2.共一部分邊型全等三角形

共一部分邊型全等三角形主要也是兩個(gè)基本圖形，圖（3）是分離型，給出的已知條件往往是CE=FB，我們一定要快速推導(dǎo)出EF=BC；圖（4）是重疊型，給出的已知條件往往是AE=CF，我們也要快速推導(dǎo)出AF=CE.這些隱含條件往往是解題的關(guān)鍵所在.

3.共角型全等三角形

如圖（5）就是共角型全等三角形的基本圖形，△AEC可由△AFB翻折得到，共角型全等三角形隱含的條件是∠A=∠A.

4.共一部分角型全等三角形

共一部分角型全等三角形主要也有兩個(gè)基本圖形，部分重疊型（如圖（6））和分離型（如圖（7）），在圖（6）中，有兩種給已知條件的方式，一是已知∠BAD=∠EAC，我們要快速推出∠BAC=∠EAD；二是反過來已知∠BAC=∠EAD，我們也能快速推出∠BAD=∠EAC.對(duì)于圖（7）我們也有類似的結(jié)論.

5.對(duì)頂角型全等三角形

對(duì)頂角型全等三角形是比較簡單的，隱含的條件就是對(duì)頂角相等，即∠AOB=∠COD.

總之，要想讓學(xué)生學(xué)好吃透全等三角形，教師一定要把握好以上三個(gè)教學(xué)策略，全等三角形所有知識(shí)和題型都是在以上的基礎(chǔ)上發(fā)展或延伸的，從而真正實(shí)現(xiàn)“教、學(xué)、做合一”的教育思想.