高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法改革的幾點(diǎn)建議

摘 要：針對(duì)我國(guó)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀及出現(xiàn)的問(wèn)題，通過(guò)比較國(guó)內(nèi)高等數(shù)學(xué)教材和國(guó)外高等數(shù)學(xué)教材的差異，提出了在高等數(shù)學(xué)教材的編寫、在高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容等方面改革的幾點(diǎn)建議。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；教學(xué)改革；國(guó)內(nèi)外教材差異

中圖分類號(hào)：G642.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2095-7394（2015）04-0094-04

0 引言

培根說(shuō)：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙”。數(shù)學(xué)是科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是理工科院校的重要的基礎(chǔ)課程，是幾乎所有理工科專業(yè)課的基礎(chǔ)。無(wú)論是物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)還是工程技術(shù)等其它專業(yè)，在其專業(yè)課的教材里，很多專業(yè)概念都要用到數(shù)學(xué)模型來(lái)表示，可以毫不夸張地說(shuō)，高等數(shù)學(xué)學(xué)不好，整個(gè)大學(xué)的課程就不可能學(xué)好。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容掌握的情況，不僅直接關(guān)系到后繼數(shù)學(xué)課程（復(fù)變函數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）的學(xué)習(xí)，同時(shí)也影響到專業(yè)課的學(xué)習(xí)，而且對(duì)學(xué)生今后學(xué)習(xí)、工作能力的提高和發(fā)展都有著深遠(yuǎn)的影響。[1]

自從1999年大學(xué)開始“擴(kuò)招”以來(lái)，我國(guó)的高等教育已經(jīng)由精英教育過(guò)渡到大眾教育，高等院校大規(guī)模的“擴(kuò)招”，提高了國(guó)民的整體文化素質(zhì)，縮小了我國(guó)與發(fā)達(dá)國(guó)家的教育水平的差距，但同時(shí)也產(chǎn)生了一些負(fù)面影響。為了適應(yīng)這種情況，許多教育工作者已經(jīng)進(jìn)行了一些改革。[1-4]但是由于大眾化教育的快速推進(jìn)，使得高等數(shù)學(xué)的改革明顯滯后于社會(huì)的發(fā)展，教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的改革力度還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，針對(duì)性不強(qiáng)，本文以國(guó)內(nèi)外高等數(shù)學(xué)教材的差異為切入點(diǎn)，談?wù)劚救藢?duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的幾點(diǎn)建議。

1 高等數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀及出現(xiàn)的問(wèn)題

1.1 高等數(shù)學(xué)課程的設(shè)置

高等數(shù)學(xué)的課程在高等院校中是作為公共基礎(chǔ)課設(shè)置的，理、工、農(nóng)、醫(yī)、商各專業(yè)都要開設(shè)高等數(shù)學(xué)課程，開設(shè)范圍非常廣，也就是說(shuō)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生占很大比例。高等數(shù)學(xué)內(nèi)容繁多、概念定理抽象，要有一定的中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)才能進(jìn)行學(xué)習(xí)。在高校大擴(kuò)招背景之下，學(xué)生素質(zhì)的下降、師資力量的不足以及某些教育教學(xué)管理部門指導(dǎo)思想的偏差，導(dǎo)致高等數(shù)學(xué)學(xué)時(shí)的減少?，F(xiàn)在高等數(shù)學(xué)學(xué)時(shí)一般安排160～176學(xué)時(shí)，微積分安排96學(xué)時(shí)，相對(duì)擴(kuò)招之前，學(xué)時(shí)減少了很多，教師為了在規(guī)定的教學(xué)時(shí)間內(nèi)完成教學(xué)任務(wù)，需要對(duì)教學(xué)內(nèi)容做到詳略得當(dāng)，重點(diǎn)突出，降低難度。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)時(shí)減少，意味著課堂訓(xùn)練的時(shí)間減少，加大了學(xué)習(xí)的難度。

1.2 學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)平均水平降低

自從1999年我國(guó)大學(xué)開始“擴(kuò)招”以來(lái)，大學(xué)的招生人數(shù)從1998年的108萬(wàn)，大幅增加到2014年的698萬(wàn)人，錄取比例由1998年34%增加到2014年的74.3%，“擴(kuò)招”導(dǎo)致錄取的學(xué)生文化素養(yǎng)較“擴(kuò)招”之前降低，同時(shí)，引起高校師資力量的缺乏。這些情況又導(dǎo)致高校教學(xué)質(zhì)量下滑和基礎(chǔ)設(shè)施的不足，同時(shí)，學(xué)生的綜合素質(zhì)也逐年下降。學(xué)生普遍反映高等數(shù)學(xué)難學(xué)，不愿意學(xué)，不知道學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有什么用途，缺乏學(xué)習(xí)的動(dòng)力和興趣，認(rèn)為高等數(shù)學(xué)是一門非?？菰锴覜]有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的課程。由于師資力量的缺乏，高等數(shù)學(xué)都是合班上課，幾十人甚至上百人在一起聽課，教學(xué)效果難以保障。在高等數(shù)學(xué)課堂上，有的學(xué)生上課埋頭看手機(jī)、打瞌睡、看其它書的情況越來(lái)越嚴(yán)重，甚至?xí)缯n的現(xiàn)象也時(shí)有發(fā)生。出現(xiàn)這些狀況是有多方面原因的，除了大學(xué)擴(kuò)招，導(dǎo)致學(xué)生質(zhì)量參差不齊，總體質(zhì)量下降以外，還有許多方面的問(wèn)題值得廣大數(shù)學(xué)教育工作者探討。

江蘇理工學(xué)院學(xué)報(bào)第21卷

第4期

黃金城：高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法改革的幾點(diǎn)建議

1.3 高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容銜接不當(dāng)[2]

國(guó)內(nèi)高等數(shù)學(xué)教材的第一節(jié)一般都是安排函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容[5-6]，主要是對(duì)集合、映射、函數(shù)概念的復(fù)習(xí)，將基本初等函數(shù)中的余切、正割、余割函數(shù)及反三角函數(shù)作為初等數(shù)學(xué)中已經(jīng)講過(guò)的內(nèi)容來(lái)處理，實(shí)際上，初等數(shù)學(xué)里只詳盡講授了正弦、余弦、正切這三個(gè)三角函數(shù)，而對(duì)于余切、正割和余割函數(shù)及反三角函數(shù)并沒有講解。在高等數(shù)學(xué)教材里有關(guān)三角函數(shù)及反三角函數(shù)求極限、求導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，默認(rèn)了學(xué)生已經(jīng)掌握這些知識(shí)的前提下來(lái)用的。在高等數(shù)學(xué)里，有關(guān)三角函數(shù)的平方關(guān)系式1+tan2x=Ssc2x，1+cot2x=csc2x的應(yīng)用較多，比如用基本積分公式求積分，用第二換元法求積分時(shí)經(jīng)常要用到這幾個(gè)平方關(guān)系式，但是初等數(shù)學(xué)并沒有給出這兩個(gè)平方關(guān)系式。初等數(shù)學(xué)改革后，三角函數(shù)的和差化積公式在初等數(shù)學(xué)教材里已經(jīng)刪掉了，但是在高等數(shù)學(xué)里卻有大量的習(xí)題要用到這些公式。初等數(shù)學(xué)改革后，極坐標(biāo)在有的省份已經(jīng)不講了，而在高等數(shù)學(xué)中，用定積分的求平面曲線的弧長(zhǎng)，利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分，利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分都要用到極坐標(biāo)的相關(guān)知識(shí)。針對(duì)這種情況，許多教師處理的方法是在用到這些知識(shí)時(shí)臨時(shí)補(bǔ)充，這樣的做法對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)感到唐突，使學(xué)生越發(fā)感覺高等數(shù)學(xué)是一種灌輸式的教學(xué)。由于學(xué)生對(duì)這些新補(bǔ)充的知識(shí)沒有得到相應(yīng)的訓(xùn)練，很多學(xué)生在用到這些公式解題時(shí)不能得心應(yīng)手。面對(duì)初等數(shù)學(xué)的改革，高等數(shù)學(xué)的改革顯得被動(dòng)而又迫切，高等數(shù)學(xué)的改革滯后于初等數(shù)學(xué)的改革，這種情況對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程非常不利。

2 高等數(shù)學(xué)教材和西方國(guó)家高等數(shù)學(xué)教材的差異

我國(guó)高等院校使用的高等數(shù)學(xué)教材源于前蘇聯(lián)的教材體系，在內(nèi)容的組織和陳述方面注重系統(tǒng)性、嚴(yán)密性、精確性，廣大的高等數(shù)學(xué)教師在授課中或多或少受到教材的影響，授課中也比較注重內(nèi)容的邏輯推理，這種教材和教學(xué)方式在精英教育時(shí)代為培養(yǎng)眾多優(yōu)秀的卓越人才作出了貢獻(xiàn)。但是，在推行大眾化教學(xué)的今天，我國(guó)經(jīng)典的高等數(shù)學(xué)教材顯得跟不上時(shí)代的變化。二戰(zhàn)之后，美國(guó)的高等教育規(guī)模發(fā)展迅速，至上世紀(jì)60年代末，在校大學(xué)生數(shù)超過(guò)18～21歲青年人口的一半，美國(guó)高等教育已經(jīng)先于中國(guó)幾十年達(dá)到大眾化教育的階段。美國(guó)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)在近七十年來(lái)經(jīng)歷了巨大的改革，其中一些改革的原因是由于高等院校擴(kuò)招所引起的，這與我國(guó)目前高等數(shù)學(xué)教學(xué)所面臨的情況非常相似，美國(guó)的高等數(shù)學(xué)改革已經(jīng)取得了一些舉世矚目的成就，美國(guó)的教育思想值得我們?nèi)W(xué)習(xí)和效仿。

近幾十年來(lái)，美國(guó)在高等數(shù)學(xué)教材建設(shè)和改革方面已經(jīng)取得突出的成就。我國(guó)高等數(shù)學(xué)教材和美國(guó)國(guó)內(nèi)高等院校所使用的高等數(shù)學(xué)教材[7-8]相比存在以下幾點(diǎn)差異。

2.1 國(guó)外的高等數(shù)學(xué)教材起點(diǎn)較低

比如《托馬斯微積分》在第一章介紹預(yù)備知識(shí)就有72頁(yè)內(nèi)容之多，詳盡講解了集合函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，非常有利于學(xué)生自學(xué)這些預(yù)備知識(shí)。國(guó)內(nèi)的教科書一開始就介紹數(shù)列的極限，并且講解數(shù)列極限的“ε-N”定義的內(nèi)容比較多，例題和習(xí)題側(cè)重于用數(shù)列極限的定義證明極限，本來(lái)數(shù)列、函數(shù)極限的定義非常抽象，很難理解，若過(guò)多地講解用極限的定義證明，對(duì)有些學(xué)生來(lái)說(shuō)相當(dāng)于“當(dāng)頭一棒”，一開始就被搞糊涂了，從而喪失了繼續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和信心。

2.2 國(guó)外的高等數(shù)學(xué)教材比通俗易懂

概念的引入都是從生活中大家比較熟悉的具體的一個(gè)或幾個(gè)相關(guān)的例子開始，然后再引出定義。比如《托馬斯的微積分》在第十四章第五節(jié)引入“方向?qū)?shù)”的概念之前首先圖文并茂地舉了等高線與河流方向的關(guān)系這樣一個(gè)例子，讓讀者既明白了為什么要學(xué)習(xí)方向?qū)?shù)，又懂得了利用方向?qū)?shù)可以解決哪一類的實(shí)際問(wèn)題。國(guó)內(nèi)的高等數(shù)學(xué)教材大多是直接給出方向?qū)?shù)的定義，然后給出計(jì)算方向?qū)?shù)的例題，令學(xué)生不知道為什么要研究方向?qū)?shù)，學(xué)了方向?qū)?shù)有什么用途。國(guó)外高等數(shù)學(xué)教材中復(fù)雜的定理及其證明較少，比如柯西（Cauchy）中值定理一直是令初學(xué)者比較頭疼的內(nèi)容，《托馬斯微積分》就沒有介紹這部分內(nèi)容，而國(guó)內(nèi)的教材都介紹了，而且要求學(xué)生用柯西（Cauchy）中值定理做一些比較難的證明題。

2.3 國(guó)外的高等數(shù)學(xué)教材特別重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用

選用的例題和習(xí)題范圍很廣，例題由易到難，逐步過(guò)渡，適合不同層次的學(xué)生使用。大量的例題、練習(xí)題來(lái)源于實(shí)際問(wèn)題，文字?jǐn)⑹霰容^長(zhǎng)，將實(shí)際問(wèn)題描述得非常具體，注重交代問(wèn)題的來(lái)龍去脈，注重實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模，內(nèi)容涉及到自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及工程技術(shù)等領(lǐng)域，有的問(wèn)題和學(xué)生的專業(yè)緊密結(jié)合。比如帶有實(shí)際意義的數(shù)值計(jì)算、數(shù)值估計(jì)、數(shù)值逼近的習(xí)題，利用數(shù)學(xué)軟件計(jì)算的習(xí)題或帶有研究探索性的題目等。教材中的應(yīng)用題數(shù)量多，覆蓋面廣，所用問(wèn)題來(lái)自生活實(shí)際，給出的數(shù)據(jù)也真實(shí)，不少應(yīng)用題反映了當(dāng)代科學(xué)發(fā)展的新成果，緊跟科技發(fā)展的步伐，給讀者耳目一新的感覺。而國(guó)內(nèi)高等數(shù)學(xué)教材所配備的例題和習(xí)題缺少這些優(yōu)點(diǎn)，習(xí)題不夠豐富，題型變化較少，特別是有真實(shí)數(shù)據(jù)、符合生活實(shí)際的應(yīng)用題非常稀有，應(yīng)用題主要集中在微積分在物理、幾何中的傳統(tǒng)應(yīng)用，這些應(yīng)用雖然經(jīng)典，但是缺少時(shí)代氣息，使人感覺所學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活中的問(wèn)題沒有聯(lián)系，即使有少量其它應(yīng)用題，也是大多直接給出數(shù)學(xué)模型，配備習(xí)題的目的主要是為了鍛煉學(xué)生利用定理證明利用公式做題的能力，側(cè)重于計(jì)算能力的培養(yǎng)，這種情況影響了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和積極性。學(xué)完高等數(shù)學(xué)課程后，許多學(xué)生不會(huì)應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，大部分學(xué)生只會(huì)套用公式解題。學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)這門課程的用途不明確，感覺是為了考試獲得學(xué)分而學(xué)的，這種狀況使高等數(shù)學(xué)課程失去了應(yīng)有的意義。

2.4 國(guó)外高等數(shù)學(xué)教材特別重視計(jì)算機(jī)的應(yīng)用

現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)日新月異，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，大量數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件出現(xiàn)，利用計(jì)算機(jī)可以便捷地解決很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題，美國(guó)高等數(shù)學(xué)教材配備了大量要求用計(jì)算機(jī)技術(shù)解決的問(wèn)題。我國(guó)的高等數(shù)學(xué)教材過(guò)分注重理論及邏輯推理，缺乏對(duì)計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用。

2.5 國(guó)外高等數(shù)學(xué)教材非常注重基本概念、定理及習(xí)題與圖形的結(jié)合

使得晦澀難懂的抽象內(nèi)容變得直觀通俗易懂。比如，在講旋轉(zhuǎn)曲面及柱面時(shí)，所繪制的圖形動(dòng)態(tài)、直觀地展現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)曲面及柱面形成的過(guò)程，給人感覺非常形象、具體。在講解二重積分的概念時(shí)，國(guó)內(nèi)外高等數(shù)學(xué)教材都是用求曲頂柱體的體積引入的，將曲頂柱體分割成若干個(gè)細(xì)曲頂柱體，并用細(xì)平頂柱體的體積近似細(xì)曲頂柱體的體積，《托馬斯微積分》為了呈現(xiàn)分割越細(xì)，近似程度越好的效果，分別取了分為16，64，256個(gè)細(xì)曲頂柱體來(lái)展現(xiàn)，而國(guó)內(nèi)高等數(shù)學(xué)對(duì)這部分內(nèi)容僅限于文字表述?！锻旭R斯微積分》的印刷為彩印，同一坐標(biāo)系下，不同的曲線、曲面、幾何體用不同顏色繪制，使得教材內(nèi)容充實(shí)又豐富多彩。

3 改革措施

目前，應(yīng)盡快改革這種現(xiàn)狀，以滿足高等教育自身和現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的需要。

首先，要進(jìn)行教材體系的改革。針對(duì)我國(guó)高等教育的現(xiàn)狀編寫合適的高等數(shù)學(xué)教材，既要考慮和初等數(shù)學(xué)的銜接，又要考慮教材的實(shí)用性、應(yīng)用性，克服經(jīng)典教材的缺陷，借鑒國(guó)外優(yōu)秀高等數(shù)學(xué)教材的優(yōu)點(diǎn)。

其次，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)要降低講授的難度。對(duì)高等院校的教師來(lái)說(shuō)，在講授抽象的定理概念時(shí)，要用盡可能多的通俗的事例加以說(shuō)明，對(duì)復(fù)雜深?yuàn)W的定理的證明，要略去其復(fù)雜的理論推導(dǎo)，而重點(diǎn)介紹其數(shù)學(xué)思想、方法；對(duì)于學(xué)生不太熟悉的內(nèi)容，如極坐標(biāo)、反三角函數(shù)等內(nèi)容，要補(bǔ)充講解其內(nèi)容，做好與高中數(shù)學(xué)的銜接。為了應(yīng)對(duì)課時(shí)減少，在上課時(shí)要詳略得當(dāng)、重點(diǎn)突出，注重培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力。

再次，要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，讓學(xué)生直觀地體驗(yàn)高等數(shù)學(xué)的地位和作用。要與時(shí)俱進(jìn)，在備課時(shí)，可以結(jié)合學(xué)生的專業(yè)，補(bǔ)充一些實(shí)際的應(yīng)用問(wèn)題，也可以通過(guò)一些例子訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生不再對(duì)“學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有什么用”感到迷茫。

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Some Suggestions about How to Reform Contents and Methods in Advanced Mathematics

HUANG Jin-cheng

（Mathematics & Physics Teaching Dept.，Hohai Univ.，Changzhou 213022，China）

Abstract：By comparing the differences between domestic and foreign textbooks of advanced mathematics，some suggestions are proposed on textbooks and teaching contents on advanced mathematics in view of current situation and problems appeared in advanced mathematics in China.

Key words：advanced mathematics；reform in education；differences between domestic and foreign textbook

責(zé)任編輯 祁秀春