淺談巧用全等變換解題

黃詩(shī)竺

【摘要】新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，重視變換——讓圖形動(dòng)起來(lái)。圖形的全等變換的三種基本形式：對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)，合成了大千世界許許多多千姿百態(tài)的圖形運(yùn)動(dòng)，為我們探索研究各種幾何圖形提供了十分有用的動(dòng)態(tài)的變換方法，以動(dòng)態(tài)的變換方法研究靜態(tài)的幾何圖形，真正讓幾何動(dòng)起來(lái)，更好地理解數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】巧用 全等變換 解題

新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，重視變換——讓圖形動(dòng)起來(lái)。幾何變換或圖形的運(yùn)動(dòng)是幾何、也是整個(gè)數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容，它既是學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想和方法。而圖形的全等變換是幾何變換的內(nèi)容之一。圖形的全等變換有三種基本形式：對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)，這三種變換合成了大千世界許許多多千姿百態(tài)的圖形運(yùn)動(dòng)，為我們探索研究各種幾何圖形提供了十分有用的動(dòng)態(tài)的變換方法，以動(dòng)態(tài)的變換方法研究靜態(tài)的幾何圖形，真正讓幾何動(dòng)起來(lái)，更好地理解數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)本質(zhì)。

對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)三種全等變換就是用運(yùn)動(dòng)的觀念來(lái)研究幾何問(wèn)題。在解決幾何問(wèn)題中，大膽構(gòu)造，大手筆地運(yùn)用全等變換，往往會(huì)產(chǎn)生意想不到的效果。下面舉例談?wù)勅绾吻擅罾萌茸儞Q來(lái)解題。

一、軸對(duì)稱法

例1：已知：如圖1，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD，求證：∠A+∠C=180°

圖1

簡(jiǎn)注：本題關(guān)鍵是要抓住BD是∠ABC的角平分線這一軸對(duì)稱圖形，來(lái)構(gòu)建全等變換模型，可以用多種方法來(lái)解題。

方法一，在BC上取BE=BA，使⊿BAD，⊿BED關(guān)于BD對(duì)稱，∠A對(duì)應(yīng)到∠BED，ED=AD=DC，則∠C=∠DEC，∠A+∠C=∠BED+∠DEC=180°；

方法二：延長(zhǎng)BA到F，使BF=BC，使⊿BFD，⊿BCD關(guān)于BD對(duì)稱，∠C對(duì)應(yīng)到∠F，F(xiàn)D=CD=AD，∠F=∠FAD，∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°；

方法三：過(guò)D作DN⊥BC于N，DM⊥BA的延長(zhǎng)線于M，則⊿BMD，⊿BND關(guān)于BD對(duì)稱，則DM=DN，已知AD=CD，則RT⊿BMD≌RT⊿BND，則∠C=∠MAD，則∠BAD+∠C=∠BAD+∠MAD=180°。

二、平移法

例2：如圖2所示，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。求證：AC=BF。

圖2

簡(jiǎn)注：本題的關(guān)鍵是AC、BF在等腰三角形EAF兩腰所在的線上，因此，只要把AC或BF進(jìn)行平移，構(gòu)造新的等腰三角形就可以了。

方法一：過(guò)點(diǎn)B作BM∥AC交AD的延長(zhǎng)線于M，易得⊿BMD≌⊿CAD，

則BM=AC，因?yàn)楱SEAF等腰三角形，易得⊿BMF是等腰三角形，則BM=AC=BF.

方法二：過(guò)點(diǎn)C作CN∥BF交AD的延長(zhǎng)線于N，易得⊿BFD≌⊿CND，

則BF=NC，因?yàn)楱SEAF等腰三角形，易得⊿CAN是等腰三角形，則CN=AC=BF.

當(dāng)然，本題也可以用中心對(duì)稱來(lái)證明，也非常簡(jiǎn)單。

例3：如圖3，點(diǎn)D、E三等分△ABC的BC邊.求證：AB+AC>AD+AE

圖3

簡(jiǎn)注：本題主要利用三角形的三邊關(guān)系來(lái)證明線段的不等關(guān)系，關(guān)鍵是要在同一個(gè)三角形中，因此，可以通過(guò)構(gòu)建全等變換圖形平移線段來(lái)解題。

圖4

方法一：圖4，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AE，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，兩線交于點(diǎn)F，DF交AB于點(diǎn)M，即把⊿FBD平移到⊿AEC，易得⊿FBD≌⊿AEC，則BF=AE，DF=AC。在⊿FBM中FM+BM>BF，在⊿ADM中AM+DM>AD，兩式相加得FM+BM+AM+DM>BF+ AD，即AB+AC>AD+AE；

圖5

方法二：圖5，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AD，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC，兩線交于點(diǎn)F，CF交AB于點(diǎn)M，即把⊿ADC平移到⊿FBE，易得⊿ADC≌⊿FBE，則BF=AD，EF=AC。在⊿FBM中FM+BM>BF，在⊿AME中AM+EM>AE，兩式相加得FM+BM+AM+EM>BF+ AE，即AB+AC>AD+AE；

圖6

方法三：圖6，過(guò)點(diǎn)C作CM∥AD交AE的延長(zhǎng)線于M，過(guò)E作EF∥AB， 交AD的延長(zhǎng)線于F，易得CM=AD，AM=2AE；EF=AB，AF=2AD。在⊿ACM中AC+CM>AM，在⊿AEF中AE+EF>AF，兩式相加得AC+CM+AE+EF>AM+ AF，即AB+AC+AD+AE>2（AD+AE），則AB+AC>AD+AE；

三、旋轉(zhuǎn)法

例4：如圖7點(diǎn)P為等邊⊿ABC內(nèi)的一點(diǎn)，已知PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度數(shù)。

圖7

簡(jiǎn)注：本題主要由正三角形、正方形等旋轉(zhuǎn)圖形聯(lián)想到構(gòu)建旋轉(zhuǎn)模型，關(guān)鍵是把分散的條件集中在一起，從而搭通已知和未知的關(guān)系，問(wèn)題就可以迎刃而解。

簡(jiǎn)解：把⊿BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到⊿BCQ，則⊿BAP≌⊿BCQ，

則BQ=BP=4，CQ=AP=3，∠APB=∠CQB，易得⊿BPQ是等邊三角形，則PQ=BQ=4，∠PQB=60°。在⊿CPQ中，CQ=3，PQ=4，PC=5，由勾股定理的逆定理知，⊿CPQ是RT⊿，∠PQC=90°，所以，∠APB=∠CQB=∠PQB+∠PQC=

60°+90°=150°

綜上所述，圖形的全等變換，是幾何、也是整個(gè)數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容，它既是學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想和方法。通過(guò)構(gòu)建全等變換模型，不僅可以把分散的已知條件集合在一起，把不規(guī)則的圖形變?yōu)橛幸?guī)則的圖形，從而搭通已知和未知的橋梁，還可以讓學(xué)生的思維得到拓展，不斷培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維。

【參考文獻(xiàn)】

[1]義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版），北京師范大學(xué)出版集團(tuán)，2012年2月。