論數(shù)學(xué)教學(xué)中的概括和抽象

陳千金

【摘要】：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，概括與特殊化、抽象與具體化、分析與綜合是非常重要的研究方法，在此過程中融合成一個整體，在思維過程中互相作用，互相滲透。在向?qū)W生進行解答習(xí)題的教學(xué)過程中，對于內(nèi)容相當(dāng)豐富的習(xí)題仔細地進行分析，指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過分析進行概括，通過抽象認識具體，使學(xué)生很快掌握同類問題的一般處理方法。

【關(guān)鍵詞】：數(shù)學(xué)教學(xué) ?概括 ?特殊化 ?抽象 ?具體化

在向?qū)W生進行解答習(xí)題的教學(xué)過程中，經(jīng)過分析進行概括，通過抽象認識具體問題具有很大的意義。對于內(nèi)容相當(dāng)豐富的習(xí)題仔細地進行分析，有可能使學(xué)生很快掌握一類問題的一般解法。在傳統(tǒng)的教學(xué)法中，通常是利用對許多特殊的問題進行分析和比較的辦法來掌握一般的解題方法的，也就是在經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進行概括。

一、概括在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進行概括時，在思維中會顯現(xiàn)屬于對象集合而且將這些對象結(jié)合任一起的某一種性質(zhì)。例如，在學(xué)習(xí)等差數(shù)列通項（即第n項）公式時，先討論幾個具體的例子;根據(jù)等差數(shù)列的首項和公差計算它的一些項。在進行這些計算時，學(xué)生用到下列等式：a2=a1+d;a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d;a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，等等。自然，由這些式子概括為一個公式an=a1+（n-1）d是有用的，因為利用它可以得到計算等差數(shù)列任意項的比較簡單的方法。以后，當(dāng)我們把任一等差數(shù)列看作是自變量為自然數(shù)的線性函數(shù)時，這個公式還會得到新的概括：y=kx+b。

概括是由給定的對象集合進到討論“容量”更大且包含前者的集合的中間過程。例如，當(dāng)我們由討論自然數(shù)集過渡到討論正分數(shù)集時。我們就是在進行概括。下面兩種情況可以導(dǎo)致概括：1）將某一固定的對象換成可變的對象;2）取消對被研究的對象所加的限制。

二、數(shù)學(xué)概括與特殊化過程

與概括的過程緊密相連的特殊化過程，是在思維中從被研究的對象的各種性質(zhì)中分離某一種性質(zhì)。

例如，從菱形集合中分離出對角線相等的菱形，我們就得到正方形。可以說，特殊化是由給定集合進到討論包含于它的集合的中間過程。

例如，當(dāng)我們由討論正分數(shù)集過渡到討論自然數(shù)集時，我們在進行特殊化。將變量換成常量（數(shù)n一數(shù)7），或者對被研究的對象增加限條件（三角形一等腰三角形），自然會導(dǎo)致特殊化。我們把由分析得出的概括看作是學(xué)生形成理論思維的方法，而將由比較的結(jié)果得出的概括看作是形成經(jīng)驗思維的方法。利用前面關(guān)于數(shù)列的例子，可以對這兩種概括作一些說明。實際上，學(xué)生分別對每一個已知數(shù)作了分析（然后再作比較）以后，就會揭示其中某些數(shù)列都具有的重要性質(zhì)，利用這一性質(zhì)可以將這些數(shù)列歸并為特殊的一類，即等差數(shù)列，而且由此可以作出概括—形成數(shù)列的定義。

“已知多邊形在一個平面上的投影的面積如何求出這個多邊形的面積”的問題，常常被用來作為由分析得出概括的有說服力的例子。我們以求三角形的面積為例子，通過討論所得出的公式很容易推廣到這樣一類問題，即求多邊形面積的一類問題。因此，在分析的基礎(chǔ)上產(chǎn)生概括的知識，它可以轉(zhuǎn)而應(yīng)用于各種具體的情況。由此可見，經(jīng)過分析進行概括，是用形成理論思維的方法揭示解答給定的一個習(xí)題（問題）的過程中最重要的性質(zhì)的有力工具。

三、抽象在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

由于從所研究的事物中抽去非本質(zhì)的東西，以及由于概括簡化了對現(xiàn)實世界常常表現(xiàn)為各種各樣的事物的研究，結(jié)果在人的意識中形成概念，這種認識過程中的意識結(jié)構(gòu)，稱為科學(xué)的抽象。人在認識現(xiàn)實的事物過程中如何構(gòu)造它們的抽象模型的方法，同時也是一種教學(xué)方法，用它可以引導(dǎo)學(xué)生了解組成數(shù)學(xué)這門學(xué)科的那些思想，特別是可以用來說明線、面、體等重要幾何概念的意義。

同分析和概括一樣，抽象可以表現(xiàn)為兩種不同的形式。第一種形式出現(xiàn)在對事物的感性認識過程中，就是在對事物的感性知覺過程中，我們可以帛去事物的一些性質(zhì)，而特別注意對象的其他性質(zhì)。例如，當(dāng)我們將一個對象看作幾何體時，我們僅僅注意它的形狀，大小，在平面或空間的位置。第二種形式，以這種形式出現(xiàn)的抽象的特征是它已經(jīng)超過一般感性認識的范圍。這種抽象不僅僅是將事物和現(xiàn)象的種種性質(zhì)匯集在一起，而且對它們作了改造。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何課程中關(guān)于按照角度的大小將三角形進行分類的問題時，學(xué)生會運用“三角形”這個抽象概念，抽象出三角形“有不等的邊”的性質(zhì)。這個例子說明抽象具有兩面性。抽象的否定的方面是在抽象過程中舍棄了被研究的事物的某些性質(zhì)（上例中舍棄了三角形邊的性質(zhì)）。但是，當(dāng)我們舍棄這些性質(zhì)時，我們同時也就可以分離出對于我們具有重大意義的其它性質(zhì)（上例中強調(diào)的是三角形的角度大小）。

因此，抽象就是在思維中舍棄所研究的事物的某些非本質(zhì)的特性，揭示其本質(zhì)的特性。抽象是認識數(shù)學(xué)的一種最重要的方法，也就是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種方法。為了使學(xué)生掌握這種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，必須經(jīng)常強調(diào)（和說明）它在學(xué)習(xí)過程中的應(yīng)用。例如，當(dāng)我們按照函數(shù)方程Vt=V0+at研究物體運動的速度，按照方程Mn=M+a·n研究產(chǎn)品的成本，我們抽象出速度、成本這些概念，得出函數(shù)f（x）=ax+b。當(dāng)我們研究函數(shù)f（x）=ax+b及其性質(zhì)和圖像時，我們注意到與關(guān)系式Vt=V0+at，Mn=M+a·n相聯(lián)系的現(xiàn)象所具有共同本質(zhì)，也就是說，在研究函數(shù)f（x）=ax+b過程中所得到的結(jié)果，可以用其他科學(xué)的語言表述出來，而且可以應(yīng)用于實際。

與抽象過程相反的是具體化過程。具體化是片面地注意所研究的事物的某一個方面，而不考慮它同事物的其他方面的聯(lián)系的一種思維活動。具體化可以作為直觀描述，也可以作為一個抽象法則的驗證，也可以作為某一性質(zhì)在具體條件下的應(yīng)用。在教學(xué)的最初階段，教師可以而且應(yīng)當(dāng)使學(xué)生注意抽象質(zhì)（這就意味著也要注意數(shù)學(xué)的本質(zhì)）?？磥恚龅竭@一點并不難。實際上，甚至簡單的等式5×3=15也可以清楚地說明抽象的本質(zhì)。教師對學(xué)生說：我們來考慮這樣一個問題，5×3=15這個式子表示的是什么意思，它反映了什么具體的內(nèi)容？學(xué)生會將易地回答這個問題，說：5×3=15可以表示三支鉛筆的價長，一個人步行三小時的路程，長方形地塊的面積，等等。

應(yīng)當(dāng)注意，概括、特殊化、抽象、具體化、分析、綜合、比較、觀察和實驗。在科學(xué)研究（以及教學(xué)）過程中融合成一個整體，在思維過程中互相作用，互相滲透。這些科學(xué)研究的方法，只有在學(xué)習(xí)它們的過程中，才有可能恰當(dāng)?shù)貙λ鼈兎謩e進行討論。