基于ARIMA模型對(duì)某種重要化工原料價(jià)格變動(dòng)的分析

屈曉陽(yáng)

摘要：在分析過(guò)程中，首先利用SAS軟件繪制時(shí)序圖，從整體上把握數(shù)據(jù)信息。再進(jìn)行數(shù)據(jù)的預(yù)處理，發(fā)現(xiàn)該化工原料價(jià)格序列具有非平穩(wěn)非白噪聲的屬性，說(shuō)明該序列有值得提取的相關(guān)信息，同時(shí)考慮差分方法使序列平穩(wěn)。

然后分別采取1階差分和2階差分并將得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，從中選出相對(duì)最優(yōu)模型為ARIMA（2，1，0）。接著對(duì)所選取的模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)以及模型檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)ARIMA（2，1，0）模型對(duì)該化工原料價(jià)格序列建模成功。

最后根據(jù)建立的模型對(duì)該化工原料的價(jià)格進(jìn)行未來(lái)五個(gè)月的預(yù)測(cè)以期得到有價(jià)值的信息。

關(guān)鍵詞：ARIMA模型；SAS軟件；差分平穩(wěn)；序列預(yù)測(cè)

一、描繪時(shí)序圖

針對(duì)某種重要化工原料1990年至2004年的月度價(jià)格作出時(shí)序圖，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，該序列波動(dòng)范圍較大，并不在某一個(gè)常數(shù)值附近波動(dòng)，同時(shí)顯示出一定的趨勢(shì)性。

二、時(shí)序特征分析

（一）描述性統(tǒng)計(jì)

由SAS編程可得到化工原料月度價(jià)格序列描述性統(tǒng)計(jì)的值，其中均值為215.3616，標(biāo)準(zhǔn)差為60.29508，該序列共有177個(gè)觀察值。

（二）自相關(guān)圖檢驗(yàn)

作出化工原料月度價(jià)格序列的自相關(guān)圖，其中橫軸表示自相關(guān)系數(shù)，縱軸表示延遲時(shí)期數(shù)，用水平方向的垂線表示自相關(guān)系數(shù)的大小?？梢园l(fā)現(xiàn)，序列的自相關(guān)系數(shù)遞的速度相當(dāng)緩慢，直至延遲24期自相關(guān)系數(shù)也未衰減到零。同時(shí)，自相關(guān)圖顯示序列自相關(guān)系數(shù)長(zhǎng)期位于零軸的一邊，說(shuō)明序列具有單調(diào)趨勢(shì)。由以上的分析可知該序列為非平穩(wěn)序列。

（三）純隨機(jī)性檢驗(yàn)

由SAS可得到序列的純隨機(jī)性檢驗(yàn)結(jié)果：

延遲階數(shù)LB統(tǒng)計(jì)量的值 P值

6554.08<.0001

12731.53<.0001

18783.1<.0001

24801.66<.0001

檢驗(yàn)結(jié)果顯示，在各階延遲下LB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值都非常?。?0.0001），所以我們可以以很大的把握（置信水平>99.999%）認(rèn)為該序列屬于非白噪聲序列。結(jié)合前面的平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果，說(shuō)明該序列為非平穩(wěn)序列，同時(shí)還蘊(yùn)含著值得提取的相關(guān)信息。

三、差分平穩(wěn)及模型確定

由于該化工原料月度數(shù)據(jù)表現(xiàn)出非平穩(wěn)性，為了進(jìn)一步的分析，下面對(duì)序列進(jìn)行差分處理。

（一）1階差分平穩(wěn)

1、1階差分平穩(wěn)序列分析

作圖可以看出，1階差分已經(jīng)達(dá)到了很好的效果。從時(shí)序圖可以發(fā)現(xiàn)，序列不存在明顯的趨勢(shì)性或周期性，沒有顯著的非平穩(wěn)特征。

白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果顯示，在各階延遲下LB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值都很?。?0.02），所以我們可以以很大的把握（置信水平>98%）認(rèn)為該序列屬于非白噪聲序列。再做出樣本自相關(guān)圖和樣本偏自相關(guān)圖，進(jìn)一步確定模型平穩(wěn)性并給擬合模型定階。

從自相關(guān)圖也可以看出自相關(guān)系數(shù)很快地衰減到零，延遲1階后，自相關(guān)系數(shù)基本都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍之內(nèi)，故進(jìn)一步確定該序列具有短期相關(guān)性，1階差分序列平穩(wěn)。再進(jìn)一步考察自相關(guān)系數(shù)衰減到零的過(guò)程，可以看到自相關(guān)系數(shù)衰減到零并不是一個(gè)突然的過(guò)程，而是有一個(gè)連續(xù)漸變的過(guò)程，故認(rèn)為自相關(guān)系數(shù)拖尾。

最后考察偏自相關(guān)系數(shù)衰減到零的過(guò)程，除了1～2階偏自相關(guān)系數(shù)在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍之外，其他階數(shù)的偏自相關(guān)系數(shù)都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，這是偏自相關(guān)系數(shù)2階截尾的典型特征。根據(jù)自相關(guān)系數(shù)拖尾，偏自相關(guān)系數(shù)2階截尾的屬性，初步確定擬合模型為AR（2）模型。

2、1階差分序列定階

（1）相對(duì)最優(yōu)定階?？紤]人為定階的主觀性過(guò)強(qiáng)，利用SAS進(jìn)行相對(duì)最優(yōu)定階，得到結(jié)果。最后一條信息顯示，在自相關(guān)延遲階數(shù)小于等于5，移動(dòng)平均延遲階數(shù)也小于等于5的所有ARIMA（p，1，q）模型中，BIC信息量最小的是ARIMA（3，1，0）。

（2）參數(shù)檢驗(yàn)。由檢驗(yàn)結(jié)果可知，常數(shù)項(xiàng)和φ3項(xiàng)無(wú)法通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，去除常數(shù)項(xiàng)得到新的檢驗(yàn)結(jié)果。

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，去除常數(shù)項(xiàng)后φ3項(xiàng)仍無(wú)法通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，而去除φ3后參數(shù)均通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，故認(rèn)為此模型為ARIMA（2，1，0）。

（二）2階差分平穩(wěn)

未避免差分方法選擇不當(dāng)對(duì)模型建立造成的影響，下面對(duì)序列進(jìn)行2階差分，并將得到的結(jié)果與1階差分的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，從而篩選出較優(yōu)模型。

1、2階差分平穩(wěn)序列分析

對(duì)比1階差分時(shí)序圖，可以看到2階差分與1階差分得到的結(jié)果并沒有顯著的區(qū)別。從時(shí)序圖可以發(fā)現(xiàn)，序列不存在明顯的趨勢(shì)性或周期性，沒有顯著的非平穩(wěn)特征。

白噪聲檢驗(yàn)顯示，在各階延遲下LB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值都很?。?0.0001），所以我們可以以很大的把握（置信水平>99.999%）認(rèn)為該序列屬于非白噪聲序列。再做出樣本自相關(guān)圖和樣本偏自相關(guān)圖，進(jìn)一步確定模型平穩(wěn)性并給擬合模型定階。從自相關(guān)圖也可以看到，延遲3階后，自相關(guān)系數(shù)基本都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍之內(nèi)，故進(jìn)一步確定該序列具有短期相關(guān)性，2階差分序列平穩(wěn)。

再進(jìn)一步考察自相關(guān)系數(shù)衰減到零的過(guò)程，可以看到自相關(guān)系數(shù)衰減到零并不是一個(gè)突然的過(guò)程，而是有一個(gè)連續(xù)漸變的過(guò)程，故認(rèn)為自相關(guān)系數(shù)不截尾。

最后考察偏自相關(guān)系數(shù)衰減到零的過(guò)程，可以看到有明顯的正弦波動(dòng)軌跡，這說(shuō)明偏自相關(guān)系數(shù)衰減到零的過(guò)程也是一個(gè)連續(xù)漸變的過(guò)程，故認(rèn)為偏自相關(guān)系數(shù)不截尾。根據(jù)自相關(guān)系數(shù)不截尾，偏自相關(guān)系數(shù)也不截尾的屬性，以及樣本自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)的特征，初步確定擬合模型為ARMA（1，2）模型。

2、2階差分序列定階

（1）相對(duì)最優(yōu)定階。相對(duì)最優(yōu)定階得到結(jié)果的最后一條信息顯示，在自相關(guān)延遲階數(shù)小于等于5，移動(dòng)平均延遲階數(shù)也小于等于5的所有ARIMA（p，1，q）模型中，BIC信息量最小的是ARIMA（2，1，3）。

（2）參數(shù)檢驗(yàn)。由檢驗(yàn)結(jié)果可知，常數(shù)項(xiàng)、φ2以及θ3項(xiàng)無(wú)法通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，去除常數(shù)項(xiàng)得到新的檢驗(yàn)結(jié)果。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，去除常數(shù)項(xiàng)后φ2和θ3項(xiàng)仍無(wú)法通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，下面進(jìn)一步檢驗(yàn)。在置信水平α=0.1下，參數(shù)全部通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，故認(rèn)為此模型為ARIMA（1，2，2）。

（三）1階差分與2階差分模型比較

下面將1階差分和2階差分得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，利用SAS得到結(jié)果。從得到的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，ARIMA（2，1，0）模型延遲各階的LB統(tǒng)計(jì)量的P值均顯著大于置信水平α=0.05，故該擬合模型顯著成立。而ARIMA（1，2，2）無(wú)法通過(guò)殘差白噪聲檢驗(yàn)。同時(shí)，最小信息量檢驗(yàn)顯示無(wú)論是使用AIC準(zhǔn)則還是使用SBC準(zhǔn)則，ARIMA（2，1，0）都要優(yōu)于ARIMA（1，2，2）模型，故對(duì)于該價(jià)格序列來(lái)說(shuō)，ARIMA（2，1，0）模型是相對(duì)最優(yōu)模型。

綜合以上的分析，確定該序列的擬合模型為ARIMA（2，1，0）。

四、參數(shù)估計(jì)

使用條件最小二乘估計(jì)，確定該模型口徑為：

xt=εt1-0.34727B+0.23294B2Var（εt）=335.0896

或等價(jià)寫為：xt=1.34727xt-1-0.58021xt-2+0.23294xt-3+εt

Var（εt）=335.0896

五、模型檢驗(yàn)

殘差白噪聲檢驗(yàn)參數(shù)顯著性檢驗(yàn)

延遲階數(shù)LB統(tǒng)計(jì)量P值待估參數(shù)t統(tǒng)計(jì)量P值

63.970.410514.69<.0001

127.780.65042-3.090.0023

1814.450.5654

2419.50.6142

3024.750.6413

顯然看出，擬合檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值都顯著大于顯著性檢驗(yàn)水平0.05，可以認(rèn)為該殘差序列為白噪聲序列，即擬合模型顯著有效。系數(shù)顯著性檢驗(yàn)顯示兩參數(shù)均顯著。這說(shuō)明ARIMA（2，1，0）模型對(duì)該序列建模成功。

六、序列預(yù)測(cè)

由上面的分析確定最終的模型為：

xt=1.34727xt-1-0.58021xt-2+0.23294xt-3+εtVar（εt）=335.0896

其中φ1=1.34727，φ2=-0.58021，φ3=0.23294

序列預(yù)測(cè)的計(jì)算過(guò)程如下：

（一）預(yù)測(cè)值的計(jì)算

已知x177=411，x176=420，x175=374，故178=1.34727x177-0.58021x176+0.23294x175=397.1594

179=1.34727178-0.58021x177+0.23294x176=394.4493

180=1.34727179-0.58021178+0.23294x177=396.7322

181=1.34727180-0.58021179+0.23294178=398.1563

182=1.34727181-0.58021180+0.23294179=398.119

（二）預(yù)測(cè)方差的計(jì)算

首先，根據(jù)Green函數(shù)的遞推公式，算得

G0=1，G1=φ1G0=1.34727，G2=φ1G1+φ2G0=1.23493G3=φ1G2+φ2G1+φ3G0=1.11502，G4=φ1G3+φ2G2+φ3G1=1.09955

則

Var[e178]=G20σ2ε，Var[e179]=（G20+G21）σ2ε，Var[e180]=（G20+G21+G22）σ2εVar[e181]=（G20+G21+G22+G23）σ2εVar[e182]=（G20+G21+G22+G23+G24）σ2ε=2276.8551

（3）未來(lái)l步預(yù)測(cè)價(jià)格預(yù)測(cè)的95%置信區(qū)間為：

（177+l-1.96Var[e177+l]，177+l+1.96Var[e177+l]）

代入數(shù)值可得到計(jì)算結(jié)果如下：

序號(hào) 預(yù)測(cè)值標(biāo)準(zhǔn)差 95% 置信區(qū)間

178397.159418.3055361.2813433.0374

179394.449330.7136334.2517454.6469

180396.732238.1361321.9869471.4775

181398.156343.2548313.3785482.934

182398.11947.7086304.612491.6261

由SAS得到該序列擬合與預(yù)測(cè)圖可以較為直觀的看到模型擬合的結(jié)果，同時(shí)可以看到，隨著預(yù)測(cè)期數(shù)的增加，預(yù)測(cè)方差出現(xiàn)增大的趨勢(shì)。

七、模型評(píng)價(jià)

本文基于某種重要化工原料1990年至2004年的月度價(jià)格數(shù)據(jù)，充分利用應(yīng)用時(shí)間序列分析的知識(shí)，成功建立ARIMA模型，并給出未來(lái)五個(gè)月價(jià)格的預(yù)測(cè)，希望能提取到盡可能準(zhǔn)確的信息并對(duì)該方面的研究提供一定的幫助。

經(jīng)過(guò)對(duì)比分析、各參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)及模型的顯著性檢驗(yàn)，最后確定該化工原料1990年至2004年的月度價(jià)格序列為ARIMA（2，1，0）模型。該模型簡(jiǎn)單，可操作性強(qiáng)，并且與實(shí)際的結(jié)果符合的很好，可以幫助我們研究該化工原料價(jià)格走向，對(duì)未來(lái)的預(yù)測(cè)有一定的實(shí)際意義。（作者單位：遼寧大學(xué)）

參考文獻(xiàn)：

[1]王燕. 應(yīng)用時(shí)間序列分析[M]. 第三版. 北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社， 2012.