題小方法多 思維訓練廣

杜盛伙

[摘 要]小題涵蓋的知識點較多，針對同一道題闡述幾種解題方法，以期提高學生的解題能力.

[關鍵詞]小題 解法 思維能力

“小題不要大作”，這在現(xiàn)實生活中很有道理，可以很好地解決矛盾，有利于社會的和諧發(fā)展.但在平時的數(shù)學教學工作中，不少教師對填空題、選擇題的講解，也經(jīng)常遵循“小題不要大作”的思想，僅僅停留在把答案找出來，為解題而解題，長期如此，學生的數(shù)學的思維能力很難得到更深程度的訓練和提高.因此，在平時的教學中，應注意挖掘一些小題的內(nèi)涵，想盡辦法讓學生的思維呈立體狀，盡可能地讓一道題目變得更豐滿，知識容量更大，讓小題目也大有文章可作，從而有效地訓練學生的解題思維能力.

【例題】 若直線xa+yb=1 與圓x2+y2=1有公共點，則（ ?）.

A.a2+b2≥1 ? ?B.a2+b2≤1

C.1a2+1b2≥1 D.1a2+1b2≤1

解法1：取a=b=1，排除B和D，取a=b=12，排除A，故選擇C.

評析：此解法訓練了學生由特殊到一般、由偶然到必然的思維能力，可以大大提高學生答題的速度和準確性.分析歷年的高考試題，考查特殊到一般思想的題目比比皆是：有的考查利用歸納推理進行猜想，有的通過特殊點，確定特殊位置，還有的利用特殊值、特殊方程等解決一般問題、抽象問題、運動問題等.

解法2：設圓心到直線xa+yb=1 的距離為d，則由已知得d≤1，即 11a2+1b2≤1 ， 所以有：1a2 +1b2≥1 .

評析：此解法訓練了學生用數(shù)形結合思想解決問題的思維能力.具備了數(shù)形結合能力，則可截迂為直、快速準確、一蹴而就.數(shù)形結合思想通過以形助數(shù)、以數(shù)解形，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，有助于學生掌握數(shù)學問題的本質(zhì).

解法3：由 xa+yb=1

x2+y2=1 ，得（a2+b2）x2-2ab2x+a2b2-a2=0， 由Δ=a4-a4b2+a2b2≥0，可得正確答案為C.

評析：此解法從方程的角度來觀察、分析問題，運用數(shù)學語言問題中的條件轉化成方程模型加以解決.對于直線和曲線相交問題，經(jīng)常要轉化為方程問題，利用方程的理論加以解決.

解法4：設OA=（x，y），OB=（1a，1b），OA與OB的夾角為θ，則有：xa+yb= OA·OB= |OA||OB|cosθ=1 ，而|OA|=x2+y2， |OB|=1a2+1b2 ，

所以1a2+1b2cosθ=1，故有1a2+1b2≥1.

評析：此解法引入向量來解決問題，向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”.正是由于向量的“雙重身份”，所以很多數(shù)學知識和問題可利用向量的代數(shù)運算性、幾何直觀性及二者相互轉化的簡明性，清晰扼要地來描述和解決問題.這不僅有利于學生形成良好的認知結構，有利于學生思維能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，而且可提高學生分析和解決數(shù)學問題的能力.

解法5：由x2+y2=1，可設x=cosα，y=sinα，代入直線方程得：

1acosα+1bsinα=1，由三角知識可轉化為：1a2+1b2sin（φ+α）=1. 其中，sinφ=1a1a2+1b2 ，cosφ=1b1a2+1b2 ，故有1a2+1b2≥1.

評析：此解法引入了參數(shù)，利用三角知識解決問題，參數(shù)往往與一些隱性變量存在各種關系，因而用靈活的數(shù)學觀點看待參數(shù)，對開啟學生解題思路非常有益，能很好地促進學生數(shù)學解題能力與數(shù)學思維的多元化發(fā)展.

高考是一種選拔性考試，數(shù)學學科的考查最終落實到數(shù)學解題上，數(shù)學試題是思維的載體，一道好的試題會讓人津津樂道，回味無窮.數(shù)學教學的核心是培養(yǎng)學生解決數(shù)學問題的能力，教師在數(shù)學解題教學的過程中，應把重點放在引導學生對解題思路的探索和對解題方法的概括上，教學不僅要注重結果，更要注重過程，只有關注過程，學生的思維能力才能得到很好的培養(yǎng).本文從特值法、幾何、代數(shù)、三角、向量、不等式等多角度求解題目，這樣可以抓住數(shù)學的本質(zhì)，更有效地培養(yǎng)學生的解題思維能力.因此，教師在教學中要多列舉一些案例，鼓勵學生嘗試解題，鍛煉學生的數(shù)學思維能力.