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    勾股定理知識快速掃描

    2015-05-30 10:48:04姚萬里
    關鍵詞:三邊直角等腰三角

    姚萬里

    一 知識要點梳理

    1.勾股定理:如果直角三角形兩直角邊的長分別為a,b,斜邊的長為c,那么.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

    2.勾股定理的逆定理:如果一個三角形的三邊長a,b,c滿足,那么這個三角形是直角三角形,且長為c的邊所對的角是直角.

    3.勾股數(shù)組:能夠成為直角三角形三條邊的長的三個正整數(shù),稱為勾股數(shù)組,常見的勾股數(shù)組有3,4,5;5,12,13;6,8,10;7,24,25;8,15,17;9.12,15;9,40,41.勾股數(shù)組有無數(shù)個.

    二 解題技巧歸納

    1.勾股定理主要用于計算直角三角形的邊長.在應用時要注意如下五點:

    (1)注意勾股定理的使用條件:只對直角三角形適用,而不適用于銳角三角形和鈍角三角形.

    (2)注意分清斜邊和直角邊,避免盲目代人公式致錯.

    (3)注意勾股定理公式的變形:在直角三角形中,已知任意兩邊的長,可以求出第三邊的長.

    (4)運用勾股定理的前提條件是在直角三角形中,如果已知條件中沒有直角三角形,要想利用勾股定理,必須先構造直角三角形.

    (5)注意結合數(shù)學思想解題:分類討論思想,數(shù)形結合思想,方程思想,整體思想等.

    2.應用勾股定理的逆定理時,應注意分三步進行:一計算,二比較,三結論.

    3.解題技巧:

    (l)利用面積法巧求直角三角形斜邊上的高,

    例l 已知直角三角形的兩條直角邊的長是9,12.求斜邊上的高,

    提示:由勾股定理,得斜邊的長為

    設斜邊上的高是h,則

    (2)利用整體思想巧求直角三角形的面積,

    例2 在△ABC中,∠C=90°,a+b+c=24,c=10.求△ABC的面積,

    解:因c=10,a+b+c=24,故a+b=14,

    因,故100+2ab=196.

    ∴ab=48,

    (3)利用勾股定理巧求等腰三角形的面積.

    例3 如圖1,在△ABC中,AB=AC=5cm,BC=6cm.求△ABC的面積,

    三 綜合題賞析

    例4 (2011年·廣安)某園藝公司擬對一塊直角三角形花圃進行改造,測得兩直角邊長為6m.8m現(xiàn)要將其擴建成等腰三角形,且擴充部分是以8m為一直角邊長的直角三角形.求擴建后的等腰三角形花圃的周長.

    解析:當題目中沒有給出圖形時,要畫出所有符合題意的圖形,以防漏解,設原三角形為Rt△ABC,AC=8m,BC=6m.由勾股定理得AB=1Om.按每兩條邊相等,可有如下三種情況.

    (l)如圖3,當AB=AD時,CD=6m.故△ABD的周長為32m.

    (2)如圖4,當BA=BD時,CD=4m,故△ABD的周長是

    (3)如圖5,當DA=DB時,設AD=xm,則CD=(x-6)m.則,解得.故△ABD的周長是

    綜上,擴建后的等腰三角形花圃的周長是32m或

    例5 (2013年·襄陽)在一張直角三角形紙片中,分別沿兩直角邊上一點與斜邊中點的連線剪去兩個三角形,得到如圖6所示的直角梯形.則原直角三角形紙片的斜邊長是______.

    解析:顯然,C和F都有可能為原直角三角形的直角頂點.相應地.D和E分別是斜邊的中點。于是有圖7和圖8兩種情況,然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出斜邊的長,(1)如圖7,連接CD,則因D為斜邊AB的中點,故(2)如圖8,連接EF,則因E為斜邊AB的中點,故綜上,斜邊長是

    例6 (2014年·郴州)如圖9,在長方形ABCD中,AB=8,BC=10,E是AB上的一點,將長方形ABCD沿CE折疊后,點B落在AD邊的F點上,則DF的長為______.

    解析:根據(jù)長方形的性質得CD=A B=8,∠D=90°根據(jù)折疊的性質得CF=BC=10.由勾股定理可以求出DF計算略.

    例7(2011年·綿陽)王偉準備用一段長30米的籬笆圍一個三角形形狀的小圈,用于飼養(yǎng)家兔.已知第一條邊的長為a米.由于受地勢限制,第二條邊的長只能是第一條邊的長的2倍多2米.

    (1)請用a表示第三條邊的長,并求出a的取值范圍.

    (2)能否使得圍成的小圈是直角三角形的形狀,且各邊長均為整數(shù)?若能,請說明你的圍法;若不能,請說明理由,

    解析:(1)由第一條邊的長為a米,得第二條邊的長為(2a+2)米,第三條邊的長為30-a-(2a+2)=28-3a(米).因三邊長的大小順序不能完全確定(只能確定出2a+2>a),故由兩邊和大于第三邊可知a+2a+

    (2)能圍成,理由如下:

    因為,且a為整數(shù),所以a=5或a=6.所以三角形的三邊長分別是5米,12米,13米或6米,14米,10米,當三角形的三邊長分別是5米,12米,13米時,所以三角形是直角三角形;當三角形的三邊長分別是6米,14米,10米時,,三角形不是直角三角形,所以能圍成直角三角形的形狀,且三邊長分別是5米,12米,13米,

    牛刀小試:

    1.如圖10.將矩形紙片ABCD的一邊AD向下折疊,點D落在BC邊的點F處.若AB=8cm,BC=lOcm,求EC的長.

    2.如圖11,有一個圓柱形油罐,其底面圓的周長為24m,高為6m一只螞蟻從距底面1m高的A處爬行到相對的點B處吃食物.它爬行的最短路線的長為多少?

    3.在等腰三角形中,若一邊長是6,另一邊的長是8.求一腰上的高.

    4.如圖12,在Rt△ABC中,∠C=90。,AC=4,BC=3.在Rt△ABC的外部拼接一個合適的直角三角形,使拼成的圖形是一個等腰三角形,如圖12所示,請畫出兩種與圖12不同的拼接方法,并在圖中標明拼接的直角三角形的三邊長.

    點撥:

    1.AF=AD=10cm.EF=ED,∠AFE=90°.故EF+EC=DC=8cm.根據(jù)勾股定理得BF=6cm.于是FC=4cm.設EC=xcm,則EF=(8-x)cm.因此解得x=3.

    2.把圓柱側面展開成平面圖形,如圖13,則線段AB為沿側面爬行的最短路線,其長為13m.還有一種方法是沿圓柱的母線和上底的直徑行走,這時走的路線的長為.請比較一下.

    3.有如圖14所示的兩種情況,可先求出△ABC的面積,再利用求出BD.

    4.有圖15所示的幾種拼接方案,供參考.

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