基于預(yù)設(shè)與生成理性思考的數(shù)學(xué)教學(xué)

康萬學(xué)

內(nèi)容摘要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中預(yù)設(shè)與生成的合理處理能提高課堂效率、實施有效教學(xué)。本案例就是針對歸納推理教學(xué)，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘，對教學(xué)進行大膽嘗試預(yù)設(shè)與生成處理的一個很好構(gòu)思、實踐及反思。

關(guān)鍵詞： 預(yù)設(shè)與生成 數(shù)學(xué)課堂 深層思維

【中圖分類號】G633.6

隨著新課程改革的不斷深入，預(yù)設(shè)和生成的理念也越來越多地融入我們的課堂教學(xué)。華東師范大學(xué)葉瀾教授指出：“要從生命的高度、動態(tài)生成的觀點看課堂教學(xué)”；崔允滸教授則認為：“預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果表明是教學(xué)設(shè)計時關(guān)注的重點，是課堂教學(xué)過程的決定因素，也是教學(xué)效益中可評價的那一部分?！?目前理論界對教學(xué)中預(yù)設(shè)和生成的處理依然有爭議，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐中某些看起來開放和活躍的課堂教學(xué)，大多有盲目生成之嫌，如未能圍繞課程的教學(xué)目標進行，或未能注意生成時間的制約性等，從而出現(xiàn)不負責(zé)任的課堂或缺乏生成的不精彩的課堂。因而如何設(shè)計教學(xué)預(yù)設(shè)促使數(shù)學(xué)課堂恰當精彩生成、在課堂中處理好生成，充分發(fā)揮師生的能動性和創(chuàng)造性，成為提高課堂效率、實施有效教學(xué)的重要問題。本案例就是對數(shù)學(xué)教學(xué)的預(yù)設(shè)和生成的一個粗淺探討。

案例背景：我校高二數(shù)學(xué)備課組圍繞本學(xué)期校本活動《教研主題：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)預(yù)設(shè)和生成的研究》展示了一節(jié)《歸納推理》探究課，探索校本教研活動的有效方式。這節(jié)課上的成功之處主要在于有了比較多的不同聲音，得到所期待的討論。

在準備前期，備課組內(nèi)部也有過爭論。焦點為：因為本課內(nèi)容校內(nèi)示范課的課題，也是準備參加優(yōu)質(zhì)課的課題，是否以其中優(yōu)秀的教學(xué)設(shè)計或其教學(xué)設(shè)計中的優(yōu)秀片段進行截取整合。

傳統(tǒng)過程：通過一或二個引例，就提出本課的主題：歸納推理，然后在通過幾個例題加以深化與落實。歸納推理是學(xué)生在小學(xué)幾何中就開始接觸的解決問題的思考方法，G波利亞的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》第二卷《它的內(nèi)容，方法和意義》中講解了這種思考方法、思維路線等；合情推理這個概念最早是G波利亞在《怎樣解題》中得到總結(jié)，隨后又在他的《合情推理》上下冊中廣泛而深刻地闡述。因此，可以說G波利亞的理論已深刻展示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

為充分體現(xiàn)學(xué)生自己的歸納推理體驗，立足于“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)”理念，對教學(xué)課堂的預(yù)設(shè)與生成尤為重要。我們作了如下嘗試：在教學(xué)中安排幾個典型生活與游戲的問題來探究，最后得出概念。這長長的前奏，讓學(xué)生經(jīng)歷從隱性被動到顯性主動，從而達到自主探索、實踐創(chuàng)新的效果。其中明線是：感覺到最后才給出了歸納推理的概念及由此方法得到的重大發(fā)現(xiàn)，實際上的暗線是：在解決數(shù)學(xué)問題中，不斷地滲透過程與方法（實驗、觀察、概括、推廣、猜測）、情感態(tài)度價值觀（大膽猜想，小心求證）。

探索問題的預(yù)設(shè)：

選擇典型生活與游戲的問題，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生饒有興趣地、自覺地去試驗、觀察，得到猜想，分析其發(fā)現(xiàn)動機和合情推理，讓學(xué)生得到充分的歸納推理體驗。

爬樓梯問題：現(xiàn)有10級樓梯，每次只能走一級或二級，問有多少種走法？

謝賓斯基三角形問題：上世紀初，波蘭的數(shù)學(xué)家謝賓斯基想要找到一個圖形，當它的面積無限減小時，它的周長則無限增大（用幾何畫板進行迭代演示）。將上述迭代過程逐一展示，問謝賓斯基三角形的第n個圖形中，灰色三角形的個數(shù)為多少？灰色、黑色三角形的總個數(shù)又為多少呢？

……

漢諾塔問題：

規(guī)則：把圓環(huán)從一根針上全部移到另一根針上，第三根針起“過渡”的作用。（1）每次只能移動1個圓環(huán)；

（2）較大的圓環(huán)不能放在較小的圓環(huán)上面.

請你試著推測：把n個圓環(huán)從1號針移到3號針，最少需要移動多少次？（最后借助小軟件直觀的驗證學(xué)生的思維過程）

區(qū)域數(shù)問題：平面被n 條直線最多分成幾個區(qū)域？

要達到數(shù)學(xué)教學(xué)預(yù)設(shè)與生成的適配，老師就要能“跳出教材”，從“教材外”看教材。大膽地處理教材，把教材作為可利用的資源中的一種來使用，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、自主發(fā)展。而從學(xué)生發(fā)展層面看，既要預(yù)設(shè)性發(fā)展，也要生成性發(fā)展。因此，準確把握教材、學(xué)生，抓牢生成的基點：學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平；把握預(yù)設(shè)的要點：足夠的預(yù)留彈性空間如教學(xué)目標和教學(xué)方式的彈性化，是預(yù)設(shè)與生成成功教學(xué)的基礎(chǔ)。這幾個問題的選擇是集高二備課組所有老師在教學(xué)中的嘗試和收獲所得，既能促進學(xué)生積極思考，又能恰到好處地開放，很好地實踐了課堂的預(yù)設(shè)與生成。

教學(xué)過程的生成：

教師課堂教學(xué)之前須了解學(xué)生的個體差異，課堂上了解學(xué)生的真實學(xué)習(xí)水平；教學(xué)后反思學(xué)生的種種表現(xiàn)，以準確把握學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平。對教學(xué)過程進行假設(shè)：學(xué)生會怎么說？我該怎么引導(dǎo)？學(xué)生說的與預(yù)想的不一致，我該怎么辦？如何根據(jù)學(xué)生的當場反饋，調(diào)整問題的難易程度？以下就孔老師執(zhí)教的兩堂試驗課與一節(jié)展示課加以說明：

1、 爬樓梯問題

學(xué)生嘗試用分類列舉、數(shù)數(shù)…

[問題]：你是怎么想的，結(jié)論是多少？

學(xué)生得到1，2，3，5，…， 89

[問題]：你是如何得到？你是根據(jù)哪點得出的？

學(xué)生得到 由此可以得到

[問題]：這個規(guī)律怎么發(fā)現(xiàn)的，這樣走樓梯的內(nèi)在規(guī)律是怎樣的？開始這種方法也可以嗎？錯在哪？

師：比較兩種方法，前者麻煩，不清晰。后者先考慮簡單的走1級、2級、3級分別會有幾種走法，然后找出規(guī)律，得到n級的情況。這種方法挺好。

因為起點高，學(xué)生可能暫時解決不了這個問題，則教師處理成：這個問題我們一下了還無法解決，那先放一放吧，說不定過一會，我們就有了靈感了。先來看下一個問題。

生成有：1、在理科班的實驗課上學(xué)生中出現(xiàn)結(jié)果為25的答案。這是屬于理解角度與認知起點不同引起的非常生成，學(xué)生的回答讓孔老師有點措手不及，因為學(xué)生的回答她在課前尚未想到，而學(xué)生又不能暢述清楚自己的思路，當時解決得不是很好。2、展示課班級為文科學(xué)生，一位學(xué)生嘗試列舉出方法的總數(shù)，但是又因為思維的無序性、分類思想的不成熟，沒辦法整理出最后的結(jié)果。這是自然流露的正常生成，孔老師在在傾聽中發(fā)現(xiàn)學(xué)生困惑的焦點，并引導(dǎo)采用分類的方法成功解決問題。3、因為這個問題對文科生來說起點較高，在文科班的實驗課中學(xué)生暫時解決不了，教師采用了提示：10級太多了，不好考慮？怎么辦？為了更好的生成，在討論后我們處理成：暫時委婉避過，先對后面的問題作思考，再回過頭由學(xué)生自行解決。

當課堂中出現(xiàn)不穩(wěn)定性的生長