函數(shù)的概念，有“你”更精彩

李秀蘭

函數(shù)的概念是學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。讓我們一起來了解“函數(shù)”吧。

一、函數(shù)的概念，精彩紛呈

設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中郁有唯一的元素y和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)，通常記作y=f（x），x∈A，其中所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y=f（x）的定義域。

需要注意的是：（1）函數(shù)y=f（x）也經(jīng)常寫作函數(shù)f（x），在函數(shù)關(guān)系式中，函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)時(shí)可以省略不寫，如函數(shù)y=2x+l（x∈R）往往寫成y =2x+1。（2）對(duì)y=f（x）即“y是x的函數(shù)”的理解：x是自變量，它是對(duì)應(yīng)法則所施加的對(duì)象，f是對(duì)應(yīng)法則，它可以是一個(gè)或幾個(gè)代數(shù)式，可以是圖像、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數(shù)，當(dāng)x為允許的某一具體值時(shí)，相應(yīng)的y值為該自變量值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。

例1 下列對(duì)應(yīng)是從A到B的函數(shù)的是____。

（1）A=R，B={x|x>0}，對(duì)應(yīng)法則f：x→|x|。

（2）A=Z，B=N，對(duì)應(yīng)法則f：A→B，求平方。

（3）A=Z，B=Z，對(duì)應(yīng)法則f：A→B，求算術(shù)平方根。

（4）A=[-2，2]，B=[-3，3]，對(duì)應(yīng)法則f：A→B，求立方。

解：可結(jié)合函數(shù)的定義來判斷。

（1）不是函數(shù)，A中的元素0在B中沒有元素與它對(duì)應(yīng)。

（2）是函數(shù)，符合函數(shù)的定義。

（3）不是函數(shù)，A中的負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，可知B中沒有元素與它對(duì)應(yīng)。

（4）不是函數(shù)，集合A中的元素2，求立方后不在集合B中，可知在B中無元素與它對(duì)應(yīng)。

答案為（2）。

評(píng)注：判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系，除構(gòu)成對(duì)應(yīng)的兩個(gè)集合是數(shù)集外，更重要的是判斷任意給定的x值是否有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，即“取元的任意性，取值的唯一性”，這是判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的重要依據(jù)。

二、函數(shù)的定義域，理解是關(guān)鍵

函數(shù)的定義域主要是通過解不等式（組）來獲得的，若不加以說明，所謂函數(shù)的定義域就是使函數(shù)表達(dá)式有意義的輸入值的集合。

例2 求下列函數(shù)的定義域：

評(píng)注：求函數(shù)的定義域往往需要將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組。函數(shù)的定義域可以用集合表示，也可以用區(qū)間表示。

例3 （1）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇1，3].求函數(shù)f（2x+1）的定義域。

（2）已知函數(shù)f（2x+1）的定義域?yàn)閇1，3]，求函數(shù)f（x）的定義域。

解：本題屬于復(fù)合函數(shù)的定義域問題。若函數(shù)y=f（t），t=g（x），則稱函數(shù)y=f[g（x）]為復(fù)合函數(shù)，而該函數(shù)的定義域是由y=f（t），t=g（x）共同決定的，可認(rèn)為在對(duì)應(yīng)法則f的作用下，g（x）是在y=f（t）的定義域內(nèi)取值的。

（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇1，3]，即x∈[1，3]

函數(shù)f（2x+1）中的2x+l的范圍與函數(shù)f（x）中的x的范圍相同，則l≤2x+1≤3，即0≤x≤1，可得f（2x+1）的定義域?yàn)閇0，1]。

（2）由x∈[1，3]，可得2x+1∈[3，7]，即函數(shù)f（x）的定義域是[3，7]。

評(píng)注：在解決上述問題中要注意作用對(duì)象的范圍，從而正確求出函數(shù)的定義域。