探討構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的若干方法

陳彩霞

[摘 要]近年來，高中數(shù)學(xué)的教材新增了導(dǎo)數(shù)相關(guān)的內(nèi)容.相應(yīng)的，數(shù)學(xué)不等式的證明也有了新途徑和新方法.充分利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念，從而完成不等式的證明，是近年來高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是一個(gè)難點(diǎn)和熱點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本思路是，巧妙利用構(gòu)造函數(shù)的基本形式，通過導(dǎo)數(shù)來分析原來函數(shù)的單調(diào)性，找出其最值，分析其值域，從而證明不等式.因此，在證明不等式的過程中，合理、有效地構(gòu)造函數(shù)，是證明不等式的核心步驟.介紹了作差構(gòu)造函數(shù)法、換元構(gòu)造函數(shù)法、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)法的基本思路，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析.

[關(guān)鍵詞]構(gòu)造函數(shù)法 不等式證明 高中數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2015）230033

不等式的證明問題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，傳統(tǒng)的證明不等式的方法技巧性較強(qiáng)，多數(shù)學(xué)生不易想到，并且各類不等式的證明沒有通性通法.新教材引入導(dǎo)數(shù)相關(guān)的內(nèi)容，為我們處理不等式的證明問題提供了一條新的途徑.在近年高考題中，使用導(dǎo)數(shù)證明不等式也時(shí)有出現(xiàn)，但現(xiàn)行教材對(duì)這一問題沒有展開研究，使得學(xué)生對(duì)這一簡(jiǎn)便方法并不了解.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式思路清晰、方法簡(jiǎn)捷、操作性強(qiáng)，易被學(xué)生掌握.下面筆者介紹作差構(gòu)造函數(shù)法、換元構(gòu)造函數(shù)法、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)法的基本思路，并通過一些實(shí)例進(jìn)行分析與總結(jié).

一、作差構(gòu)造函數(shù)法

作差法是比較法中常用的方法，其原理來自不等式的基本性質(zhì)：如果a>b，則a-b>0；如果a=b，則a-b=0；如果a【例1】 求證不等式

x-x22

【例3】 若函數(shù)y=f（x）在R上可導(dǎo)，且滿足不等式xf′（x）>-f（x）恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b.求證：af（a）>bf（b）.

證明：由已知得xf′（x）+f（x）>0，

∴構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x），

則F′（x）=xf′（x）

+f（x）>0，從而F（x）在R上為增函數(shù).

∵a>b，

∴F（a）>F（b），即af（a）>bf（b）.

由條件移項(xiàng)后得xf′（x）+f（x）>0，容易想到這是一個(gè)積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x），求導(dǎo)即可完成證明.若題目中的條件改為xf′（x）>f（x），則移項(xiàng)后得xf′（x）-f（x）>0，要想到這是一個(gè)商的導(dǎo)數(shù)，學(xué)生在平時(shí)解題時(shí)應(yīng)多注意總結(jié).

作為高中教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，不等式證明問題難度高，技巧性強(qiáng)，其相關(guān)內(nèi)容一直得到了高中數(shù)學(xué)教學(xué)和研究人員的很多關(guān)注.新教材體系新增了導(dǎo)數(shù)部分的內(nèi)容，為證明不等式增加了新的思路，開辟了一條新路徑.將導(dǎo)數(shù)相關(guān)的內(nèi)容運(yùn)用到不等式的證明中，可以使證明過程簡(jiǎn)單明了，思路清晰，方法易于操作，是值得展開充分研究的一項(xiàng)內(nèi)容.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[2]朱護(hù)國(guó).構(gòu)造函數(shù)法證明不等式[J].試題與研究：新課程論壇，2014（7）.

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[5]曾思江.分而治之 各個(gè)擊破——不等式證明的局部處理法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1991（5）.

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（責(zé)任編輯 鐘偉芳）