三角恒等變換的策略

華瑋涵

三角是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，三角恒等變換是高考的熱點(diǎn)，又是一種極其基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)工具，在高考中得到了淋漓盡致的體現(xiàn)。

一、三角恒等變換的策略

（一）角的變換

例1已知

思路分析：利用整體觀念。

解：

（二）函數(shù)名稱的變換

例2已知，求tan 2a。

思路分析：弦化切。

解：由已知得

（三）常數(shù)“1”的變換

例3 已知，求證：

思路分析：“1”巧妙用兩次。

證明：將和分別代得：

①

②

③

②得 ④

④式除以③式得即

移項(xiàng)得

故

（四）升冪與降冪

例4 已知函數(shù)求其最小正周期T

思路分析：

解：

（五）引入輔助角 ，輔助角θ所在的象限a與b的符號確定，θ的值由 確定。

例5已知

（1）求f（x）的定義域及最小正周期。

（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間。

思路分析：化為的形式，便于研究三角函數(shù)的性質(zhì)。

解：（1）由，得，則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?。，則函數(shù)f（x）的最小正周期

（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

由且，得，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：

二、在高考中的應(yīng)用

1.（2015年高考北京理）函數(shù)f（x）

（1）求f（x）的最小正周期。

（2）求f（x）在[一π，0]上的最小值。

分析：逆用二倍角公式后添加輔助角 ，化為的形式，便于研究函數(shù)的性質(zhì)。

解：（1）

故函數(shù)f（x）的最小正周期

（2）由則當(dāng)，即時，f（x）取得最小值

2.（2015年高考天津理）已知函數(shù)f（x）

（1）求f（x）的最小正周期。

（2）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值。

思路分析：熟練應(yīng)用三角恒等變換公式，其策略是降冪，化為同名三角函數(shù)。

解：（1）

故f（x）的最小正周期。

（2）易得函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增。又，則f（x）在區(qū)間上的最大值為 ，最小值為

3.（2015年高考廣東文）已知tana=2。

（1）求 的值。

（2）求的值。

思路分析：利用兩角和的正切公式求 的值；利用二倍角的正、余弦公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求的值。

解：（1）

（2）

綜上所述，三角恒等變換是有規(guī)律可循的。一般的恒等變換策略有：角的變換、函數(shù)名稱的變換、常數(shù)的變換、冪的變換、公式變形、結(jié)構(gòu)變化等。在解題的過程中，我們要認(rèn)真審題，多觀察、勤思考、?？偨Y(jié)，這樣才會達(dá)到事半功倍的效果，才能在高考中取得好的成績。