用導(dǎo)數(shù)新解一類最值問題

成寶娟　李釗

摘 要： 目前，高等數(shù)學(xué)教材中都沒有介紹開區(qū)間或者半開半閉區(qū)間、無窮區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值或者有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)的最值問題。文章給出了開區(qū)間（a，b）或半開半閉區(qū)間（a，b]或[a，b）上連續(xù)函數(shù)的最值，同時(shí)給出了無限區(qū)間（（-∞，+∞），（-∞，a），（-∞，a]，[b，+∞），（b，+∞））上連續(xù)函數(shù)的最值以及有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)最值的求法。

關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù)； 自主學(xué)習(xí)； 最值； 區(qū)間； 連續(xù)

中圖分類號： G 421，O 13 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1671-2153（2015）03-0078-04

0 引 言

求函數(shù)的最值一直是數(shù)學(xué)教學(xué)中的熱點(diǎn)問題，并且最值在日常生活以及學(xué)生專業(yè)學(xué)習(xí)中有著非常重要的應(yīng)用[1]。求函數(shù)的最值常用的方法有：配方法、判別式法、換元法、不等式法、利用函數(shù)單調(diào)性求最值、平方法、數(shù)形結(jié)合法、導(dǎo)數(shù)法、線性規(guī)劃法等[2]。在高職高專的數(shù)學(xué)教學(xué)中，一般重點(diǎn)介紹了最大值和最小值定理：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值[3]。各種高等數(shù)學(xué)教材中都介紹了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值的方法，而對開區(qū)間或者半開半閉區(qū)間、無窮區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值或者有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)的最值卻都沒有介紹。在自主學(xué)習(xí)[4]過程中，為了激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新[5]精神，應(yīng)適時(shí)向?qū)W生提問：課本為什么對這類問題不作介紹呢？難道是課本遺漏了嗎？可不可以借鑒閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值的求法？本文對有限開區(qū)間或者半開半閉區(qū)間以及無窮區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值、有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)的最值進(jìn)行探討。首先規(guī)定-∞

1 有限開區(qū)間、半開半閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值

2 無限區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值

3 有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)最值

對于有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)最值則可以轉(zhuǎn)化為有限個(gè)連續(xù)區(qū)間上函數(shù)的最值問題。

設(shè)f（x）在某個(gè)區(qū)間上有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則求f（x）在此區(qū)間上的最值的求解步驟如下：

（1） 求出函數(shù)f（x）在此區(qū)間上間斷點(diǎn)，f'（x）=0的點(diǎn)和f'（x）不存在的點(diǎn)，計(jì)算以上各點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值，以及相應(yīng)端點(diǎn)處函數(shù)相應(yīng)的極限值、間斷點(diǎn)處函數(shù)相應(yīng)的左右極限值，比較以上各值，設(shè)其中最大的為M，最小的為m。

（2） 若M和m能在此區(qū)間上取到，則f（x）在此區(qū)間上的最大值為M，最小值為m；若M或m不能在此區(qū)間上取到，則f（x）在此區(qū)間上的相應(yīng)最值取消，相應(yīng)類型最值不存在。

4 結(jié)束語

由上述可以看出，有限開區(qū)間、半開半閉區(qū)間、無限區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值，有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)的最值的求法可以借鑒閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值的求法，且方法簡單方便。有限開區(qū)間、半開半閉區(qū)間、無限區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值的求法為：先求出此區(qū)間內(nèi)函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，再求出這些點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)值以及端點(diǎn)處函數(shù)的相應(yīng)極限，比較以上個(gè)值，其中最大的為M，最小的為m。若M或m不能在此區(qū)間上取到，則函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的相應(yīng)最值取消，相應(yīng)類型最值不存在。若M或m能在此區(qū)間上取到，則函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的相應(yīng)類型最值保留，且大小不變。對于有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)最值則可以轉(zhuǎn)化為有限個(gè)連續(xù)區(qū)間上函數(shù)的最值問題。利用以上方法能夠求解其他方法不易解決的最值難題。

參考文獻(xiàn)：

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[5] 陸曉云. 自由是創(chuàng)新能力培養(yǎng)的必要范圍[J]. 寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（2）：66-69.

（責(zé)任編輯：徐興華）