借助波利亞解題思想，指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)

文/王杰 高明

波利亞在《怎樣解題》中指出解題有四個(gè)環(huán)節(jié): “弄清問(wèn)題——擬定計(jì)劃——實(shí)現(xiàn)計(jì)劃——回顧反思”，并強(qiáng)調(diào)擬定計(jì)劃是解題的核心環(huán)節(jié)，而擬定計(jì)劃的關(guān)鍵在于聯(lián)想。本文以一道競(jìng)賽題出發(fā)，著重通過(guò)“變、換、構(gòu)、拆”四個(gè)方向，不同視覺(jué)、不同層次來(lái)擬定計(jì)劃和完成解題，以此體現(xiàn)擬定計(jì)劃的重要性。

題目:已知a、b、c∈R+.求證

弄清問(wèn)題:本題是不等式證明問(wèn)題，題目所給條件和結(jié)論有一定的結(jié)構(gòu)特征，且可預(yù)測(cè)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，取最小值

角度1(擬定計(jì)劃——變)將原命題變形為有較強(qiáng)或明顯的結(jié)構(gòu)式，利用結(jié)構(gòu)特征和性質(zhì)解題。

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。故原不等式得證

角度2(擬定計(jì)劃——換)采用代換的方法，將復(fù)雜的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單化，轉(zhuǎn)換問(wèn)題。

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z，即a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。

角度3(擬定計(jì)劃——構(gòu))通過(guò)觀察討論條件或結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造解題模型，是解題最常用的手段。合理構(gòu)造模型，尋找銜接點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題巧妙解決。

顯然f＇＇(x)＞0恒成立，即函數(shù)f(x)為凸函數(shù)。

角度4(擬定計(jì)劃——拆)將原式整體分解，分解結(jié)論。解題的主要困難來(lái)自于結(jié)論的抽象概括，難以直接和條件聯(lián)系起來(lái)，可將結(jié)論分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的部分，以便各個(gè)擊破，達(dá)到最快解決原問(wèn)題的目的。

而a、b、c∈R+，故上式結(jié)論恒成立，原不等式得證。

本題考查的知識(shí)較為基礎(chǔ)，對(duì)于不等式的證明，方法也有很多。在這里，我們通過(guò)以上五種解法，從多角度，多層次來(lái)分析討論問(wèn)題，有機(jī)地將不等式、函數(shù)等相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，使解答具技巧性，又不失普遍性。

擬定計(jì)劃是解題的關(guān)鍵，它使整個(gè)解題過(guò)程具有方向性。同時(shí)，擬定計(jì)劃需要豐富的聯(lián)想，它是解題的紐帶，只有做到創(chuàng)造性的擬定計(jì)劃，才能做到解題的創(chuàng)造性。在教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識(shí)地讓學(xué)生自己去擬定計(jì)劃，做到有的放矢。既能培養(yǎng)學(xué)生多角度，多方位地考查問(wèn)題，又能增強(qiáng)其創(chuàng)新能力，達(dá)到擴(kuò)大視野和鍛煉思維的作用。