帶年齡結(jié)構(gòu)傳染病模型的穩(wěn)定性研究＊

王鴻章， 梁聰剛， 王軍民

（1.平頂山學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)學(xué)院，河南 平頂山467000；2.河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河南 鄭州450002）

多數(shù)作者討論不同的年齡結(jié)構(gòu)的流行病模型時(shí)，都是假設(shè)感染率函數(shù)和染病人群成正比［1～7］.本文主要討論的是感染率函數(shù)和染病人群與潛伏期人群占總?cè)丝诘谋嚷食烧鹊膫魅静∧Ｐ?，?yīng)用偏微分－積分方程的理論，證明了該模型解的穩(wěn)定性.

1 一類時(shí)間疾病模型（P）

為了討論方便，給出以下符號(hào)說(shuō)明：A表示活到的最高年齡，t表示時(shí)刻，r表示年齡，s表示病期；m1（r，t）、λ（r，t）、μ1（r，t）、N1（r，t）、p1（r，t）＝則分別表示健康人口的出生率、發(fā)病率、死亡率、人口總數(shù)、年齡密度；m2（r，t）、η（r，s，t）、μ2（r，s，t）、p2（r，s，t）＝則表示染病人口的出生率、發(fā)病率、死亡率、病期密度.

2 模型解的穩(wěn)定性

將（4）的兩邊對(duì)s從0到r積分，得：p2（r，0）＝p2，0（r）.于是我們討論的系統(tǒng)P變?yōu)橄到y(tǒng) Q：

這里p2（r，t）表示疾病人口的年齡密度函數(shù)，定義μ（r，t），m（r，t）滿足：

這里p（r，t）表示整個(gè)人口的年齡密度函數(shù).將系統(tǒng)（Q）的前兩個(gè)方程相加，得系統(tǒng)（R）：

由m1（r，t）和m2（r，t）的假設(shè)可知存在β（r，t），使得：

則如下的系統(tǒng)R′：

的解p′（r，t）是唯一存在的，在β（r，t）小于臨界生育率時(shí)，p′（r，t）有界.

比較系統(tǒng)（R）和（R′），用比較定理知：p（r，t）＜p′（r，t）.所以系統(tǒng)（R）的解也是有界的.我們將系統(tǒng)（Q）分為兩個(gè)子系統(tǒng)（Q1）和（Q2）.（Q1）如下：

因此（Q1）變?yōu)槠浣鉃椋?/p>

現(xiàn)在來(lái)討論系統(tǒng)Q的另一子系統(tǒng)（Q2）：

其解為：

將p1（r，t）與p2（r，t）兩式相減得：

此處：

令ψ（y，r，t）＝0，則

ψ＝0等價(jià)于：

或

定義1 定義臨界得病率函數(shù)（接觸率函數(shù)）λc為：

則表達(dá)式（9）成立，當(dāng)且僅當(dāng)λ＝λc或η＾＝η＾c成立.

我們討論如下幾種情形：

1）令0＜λ（r，t）≤λc（r，t），且

易知此時(shí)必有：當(dāng)t→＋∞時(shí)，λ（r，t）→0，于是：

因此，有：

定理2 假設(shè)（14）成立，則必有（15）成立，即子系統(tǒng)（Q2）是漸近穩(wěn)定的，也就是說(shuō)疾病是可以完全治愈而消亡的.

則由上式，知η＾（r，t）→＋∞（當(dāng)t→＋∞時(shí)）.從而當(dāng)t→＋∞，

因此，有：

定理3 假設(shè)條件（16）成立，則必有（17）成立.說(shuō)明子系統(tǒng)（Q2）是漸近穩(wěn)定的，即疾病最終可以被治愈而消亡.

3）令

由（18）及（19）知t→＋∞時(shí)，λ（r，t）→＋∞.根據(jù)t＞A 時(shí)，

知p1（r，t）→0（t→＋ ∞）.又p（r，t）是有界的，即：O ＜m ≤｜p（r，t）｜≤M ＜＋∞ ，a，e于QT.從而

定理4［4］假設(shè)條件（18）和（19）成立，則（20）成立，這表明子系統(tǒng)（Q2）是穩(wěn)定的，但不漸近穩(wěn)定，即疾病不可能大范圍爆發(fā)，但也不能被完全治愈而消亡.

［1］徐文兵.某些傳染病系統(tǒng)的建模、分析與控制研究［D］.北京：北京信息控制研究所，2005.

［2］由守科，閆萍.一類具有潛伏期和染病年齡的SEIR傳染病模型［J］.新疆大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，27（3）：288－297.

［3］楊小平.狀態(tài)依賴的脈沖微分方程模型的最優(yōu)周期控制策略［J］.河南科學(xué)，2013，31（3）：262－264.

［4］唐文艷，焦建軍.具脈沖擴(kuò)散效應(yīng)的Gomportz種群動(dòng)力學(xué)模型研究［J］.湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2013（2）：10－13