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    數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)

    2015-05-28 18:04姚紅
    關(guān)鍵詞:橢圓結(jié)論探究性

    姚紅

    圓錐曲線的本質(zhì)是幾何問題代數(shù)化,有些習(xí)題看起來很平常,實(shí)際上反映了相關(guān)數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)屬性,蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思維方法和思想精髓,是創(chuàng)新思維的生長點(diǎn),這就需要教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生不斷的發(fā)展,引申,變遷問題,進(jìn)行研究性學(xué)習(xí),從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,分析問題和解決問題的能力.圖1

    習(xí)題展示:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓C:x29+y25=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,經(jīng)過點(diǎn)T(1,0)的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),求證:直線AM、BN與直線x=9相交于一點(diǎn).

    學(xué)生很快呈現(xiàn)出本題的代數(shù)計(jì)算過程.

    解析:若直線l與x軸重合,命題顯然成立.

    若直線l不與x軸重合,設(shè)直線l的方程為my=x-1,

    聯(lián)立my=x-1

    平面中,兩條不平行的直線相交于一點(diǎn)是顯然的,但是3條直線相交于同一點(diǎn)應(yīng)該不僅僅是巧合,背后到底“隱藏”著什么樣的數(shù)學(xué)原理呢?我們能不能從問題出發(fā),試著對(duì)問題進(jìn)行一般化研究,變式研究,推廣研究,類比研究,甚至可以研究這一類問題的本質(zhì).

    一個(gè)星期后的數(shù)學(xué)課上,學(xué)生互相交流探討所研究的問題與結(jié)論,學(xué)生對(duì)于問題的變式研究,類比研究大大超出我的預(yù)料,在課上,每個(gè)同學(xué)都積極參與,力求用最精煉的語言表達(dá)結(jié)論,用最嚴(yán)謹(jǐn)簡(jiǎn)潔的過程證明結(jié)論的正確性,課后學(xué)生齊心協(xié)力,更是挖掘了問題的本質(zhì).1問題探究,披沙揀金

    拓展研究一平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C:x29+y25=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,經(jīng)過點(diǎn)(1,0)的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),則直線AM、BN的交點(diǎn)軌跡是直線x=9.

    第二個(gè)結(jié)論是對(duì)第一個(gè)結(jié)論的推廣,證明了在任意橢圓中這樣兩直線的交點(diǎn)軌跡均是直線,軌跡方程只與直線所過的定點(diǎn)和橢圓中的系數(shù)a有關(guān).

    拓展探究三平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B為長軸兩端點(diǎn),直線l過x軸上任意一點(diǎn)T(t,0)(t≠0)與橢圓交于M、N兩點(diǎn),若直線AM、BN的交點(diǎn)為P,則OP·OT=a2(為定值,與t無關(guān)).

    前面已證直線AM、BN的交點(diǎn)P(a2t,yp),易得OP·OT=a2.

    看到這樣的結(jié)果,學(xué)生臉上露出驚訝的表情,他們從中體會(huì)到數(shù)學(xué)的神奇,一個(gè)看似很平常的問題,竟然得到這么和諧漂亮的結(jié)論.

    經(jīng)過不斷的拓展研究,條件不斷的一般化,直線過x軸上任意一點(diǎn)T(t,0)(t≠0)推廣為過平面內(nèi)任意一點(diǎn)時(shí)向量點(diǎn)乘積為定值的結(jié)論依然成立.

    拓展探究四平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B為長軸兩端點(diǎn),直線l過平面內(nèi)任意一點(diǎn)T(t,s)(s≠0)與橢圓交于M、N兩點(diǎn),若直線AM、BN的交點(diǎn)為P,直線l與x軸的交點(diǎn)為Q,則OP·OQ=a2(為定值,與t無關(guān)).

    證明過程類似,從略.

    如果將橢圓改為圓,結(jié)論也成立.圓可以看作是橢圓的特殊情況,在計(jì)算的過程中a、b的大小是否相等并不影響計(jì)算的結(jié)果,.

    從三線共點(diǎn)到結(jié)論“OP·OQ=a2”如此簡(jiǎn)潔,如此美妙,直覺告訴我們這決不是偶然,肯定有其必然性,研究后發(fā)現(xiàn)本題有豐富的背景,它與極點(diǎn)和極線的知識(shí)有關(guān).

    實(shí)際上,關(guān)于極點(diǎn)和極線,有如下兩個(gè)常用的結(jié)論:圖2

    (1)如圖2,設(shè)P為不在圓錐曲線上的點(diǎn),過點(diǎn)P引兩條割線交圓錐曲線于

    E,F(xiàn),G,H,設(shè)EG,F(xiàn)H交于M,EH,F(xiàn)G交于N,則稱MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)

    的極線,同理,稱PN為點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的極線,PM為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線;

    (2)對(duì)于橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線為

    xx0a2+yy0b2=1,特別點(diǎn)P(t0,0)對(duì)應(yīng)的極線為x=a2t.

    有了極點(diǎn)極線知識(shí),我們所拓展研究的問題就很容易解釋了:

    當(dāng)直線l過x軸上任意一點(diǎn)T(t,0)(t≠0)時(shí),點(diǎn)T(t,0)對(duì)應(yīng)的極線為過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線x=a2t,此時(shí)P(a2t,y0),所以O(shè)P·OT=a2.

    當(dāng)直線l過平面內(nèi)任意一點(diǎn)T(t,s)(s≠0)時(shí),直線l與x軸的交點(diǎn)為Q(m,0),點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的極線還是過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線x=a2m,此時(shí)P(a2m,y0),所以O(shè)P·OQ=a2.2研究性學(xué)習(xí)實(shí)踐的認(rèn)識(shí)

    課堂是教學(xué)變革的主戰(zhàn)場(chǎng),研究性學(xué)習(xí)只有根植于課堂,變成課堂教學(xué)中的一種常用方式,才能由一種開放的教育思想變?yōu)榭尚械慕虒W(xué)實(shí)踐,才能真正發(fā)揮其應(yīng)有的價(jià)值[1].在理論學(xué)習(xí)和教學(xué)實(shí)踐中,數(shù)學(xué)課堂探究性學(xué)習(xí)必須依照數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn),努力凸顯其固有的問題性、自主性、過程性和開放性.

    2.1問題性

    “問題是數(shù)學(xué)的心臟”,它促使人們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的探索,推動(dòng)人們對(duì)數(shù)學(xué)真理的發(fā)現(xiàn).沒有問題也就難以誘發(fā)和激起探究欲望,感覺不到問題存在也就不會(huì)生成認(rèn)知上的需要,就不會(huì)深入思考,學(xué)習(xí)也只能是表面和形式的訓(xùn)練.數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)通過問題來進(jìn)行學(xué)習(xí),把問題看成學(xué)習(xí)的動(dòng)力、起點(diǎn)和貫穿學(xué)習(xí)過程的主線[2].教學(xué)中,教師要關(guān)注課本例題和習(xí)題的結(jié)論,應(yīng)該主動(dòng)地尋找知識(shí)的生長點(diǎn)和思維的發(fā)散點(diǎn),不斷地發(fā)展引申、變遷問題,進(jìn)行探究.通過學(xué)習(xí)生成問題,把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看成是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程.

    2.2自主性

    探究性學(xué)習(xí)是相對(duì)于授受式學(xué)習(xí)而提出的.自主性是探究性學(xué)習(xí)最本質(zhì)的規(guī)定性,也是探究式學(xué)習(xí)與授受式學(xué)習(xí)相區(qū)分的關(guān)鍵所在[3].探究性學(xué)習(xí)突出了學(xué)生作為教學(xué)活動(dòng)的主體,立足于學(xué)生的學(xué)和自主性探究,以學(xué)生的主體活動(dòng)為中心展開.強(qiáng)調(diào)學(xué)生是在教師恰到好處的引導(dǎo)和幫助下自主地參與教學(xué)活動(dòng),以自己的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)為基礎(chǔ),經(jīng)過獨(dú)立的、合作的探索與發(fā)現(xiàn),親身的體驗(yàn)與實(shí)踐,將知識(shí)納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,并嘗試解決新問題.在探究性學(xué)習(xí)中,教師要適當(dāng)?shù)貛椭龑?dǎo)學(xué)生,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的創(chuàng)造潛能,使學(xué)生的求知和創(chuàng)新意識(shí)得到發(fā)展,為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和畢生的發(fā)展奠定基礎(chǔ),這才是數(shù)學(xué)教育的真正意義所在.

    2.3過程性

    研究性學(xué)習(xí)追求過程和結(jié)果的和諧統(tǒng)一,它強(qiáng)調(diào)盡可能地讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整的知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、形成、應(yīng)用和發(fā)展的過程.數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)教學(xué)不宜將概念、法則、結(jié)論直接告訴學(xué)生,而應(yīng)努力地揭示它們發(fā)生、發(fā)展過程,使學(xué)生在“過程”中逐漸體會(huì)并掌握獲取知識(shí)的方法,體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”歷程,在這樣的探究過程中思維才有機(jī)會(huì)得以充分而自然的開啟、交流、優(yōu)化和升華.

    2.4開放性

    “數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)”.在傳統(tǒng)的授受式學(xué)習(xí)的課堂里,學(xué)生的思維基本是在教師規(guī)定的航道上運(yùn)行,思維發(fā)展難有成效.學(xué)生思維的誘發(fā)不僅來自教師的啟迪,也來自于學(xué)生之間的相互啟發(fā),這就需要一個(gè)開放的教學(xué)環(huán)境.在探究的過程中,不追求問題的難度,更關(guān)注能否體現(xiàn)強(qiáng)烈的探究欲望和創(chuàng)新興趣;不追求解題技巧,更關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解、數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟.只有在民主、和諧的課堂氛圍中,學(xué)生才能自由的想象,大膽的思考,才能充分挖掘自己的潛能,全面展示自己的個(gè)性,思維才最活躍最有創(chuàng)造性.在層出不窮的新問題的探究中,學(xué)生的思維層次和創(chuàng)新意識(shí)才能向縱深發(fā)展,這也正是探究性學(xué)習(xí)的精神要旨.

    參考文獻(xiàn)

    [1]徐章韜,梅全雄.論基于課堂的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2013,22(6):1-4.

    [2]余文森.課堂有效教學(xué)的理論和實(shí)踐[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2011.

    [3]任長松.探究式學(xué)習(xí)-學(xué)生知識(shí)的自主構(gòu)建[M].北京:教育科學(xué)出版社,2005.

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