論數(shù)學(xué)教學(xué)中的類比方法

陳千金

摘 要：類比推理作為一種極其重要的數(shù)學(xué)研究方法，利用它可以由兩個(gè)或幾個(gè)具有一定程度的一般性的判斷過(guò)渡到具有同樣程度的一般性的判斷。在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生如何應(yīng)用類比推理解答習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成自覺(jué)地應(yīng)用類比以尋求難題的解法的習(xí)慣，并自覺(jué)避免與應(yīng)用類比有關(guān)的錯(cuò)誤。

關(guān)鍵詞：類批；推理；判斷；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2015）07-072-02

關(guān)系推理作為一種研究方法，它的意思是在確定兩個(gè)對(duì)象有某一關(guān)系相同以后，可以得出這兩個(gè)對(duì)象在另一關(guān)系上也相同。關(guān)系推理的一種最重要的形式是類比?？梢哉f(shuō)，類比是科學(xué)研究的最普遍的方法之一。廣泛應(yīng)用類比，往往會(huì)使研究人員對(duì)于所研究的對(duì)象的性質(zhì)作出近似程度或大或小的設(shè)想，然后再通過(guò)實(shí)驗(yàn)或更嚴(yán)格的推理肯定或否定這種設(shè)想。

一、數(shù)學(xué)中類批推理的重要意義

關(guān)系推理是極其重要的一種推理，利用它可以由兩個(gè)或幾個(gè)具有一定程度的一般性的判斷過(guò)渡到具有同樣程度的一般性的判斷。

例如，設(shè)a，b和c是三個(gè)實(shí)數(shù)，

a>b（第一個(gè)判斷），

b>c（第二個(gè)判斷），

a>c（新判斷）。

在進(jìn)行類比推理時(shí)，從討論一個(gè)對(duì)象模型得到的知識(shí)，可以移到另一個(gè)在某一種意義上較少研究的（不容易研究的，不太直觀的，等等）對(duì)象上。對(duì)于具體對(duì)象來(lái)說(shuō)，由類比得到的結(jié)論，一般僅具有或然的性質(zhì)。這種結(jié)論是科學(xué)假設(shè)和歸納推理的一個(gè)來(lái)源，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)方面具有重要的作用。

同構(gòu)是最深刻的一種類比，由它可以導(dǎo)出完全可靠的結(jié)論。如果我們確定兩組或幾組對(duì)象同構(gòu)，那么我們可以把對(duì)于一組成立的任一語(yǔ)句移到另一組對(duì)象上去。在這種情況下，只要仔細(xì)地研究了一組對(duì)象，那么與它同構(gòu)的一組對(duì)象就不必再進(jìn)行這種研究。一個(gè)明顯的例子是解析幾何，它將對(duì)幾何圖形及其性質(zhì)的研究，歸結(jié)為對(duì)包含數(shù)值對(duì)象的一定的解析關(guān)系式的研究。

類比分為以下兩種：

1、簡(jiǎn)單類比：從對(duì)象的某些屬性相同推出它們的其他屬性相同；

2、普遍類比：從現(xiàn)象的相同可以得出原因相同的結(jié)論。

另一方面，簡(jiǎn)單類比和普遍類比又可以分為：

3、嚴(yán)格類比。被比較的對(duì)象的屬性處于互相依存的狀態(tài)；

4、不嚴(yán)格類比：被比較的對(duì)象的屬性不處于明顯的互相依存的狀態(tài)。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)中類比推理的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛應(yīng)用類比，是一種極有成效的方法，它能使學(xué)生對(duì)所學(xué)科目發(fā)生興趣，促進(jìn)他們參與研究性的活動(dòng)。此外，廣泛應(yīng)用類比還可能使學(xué)生更容易掌握學(xué)習(xí)的內(nèi)容，學(xué)得更扎實(shí)，因?yàn)檫@樣會(huì)有利于在思維中將一定的知識(shí)和技能的系統(tǒng)從已知的對(duì)象轉(zhuǎn)移到未知的對(duì)象上去（順便指出一點(diǎn)，這樣還可以促進(jìn)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)化）。

因此，在應(yīng)用類比法方面做一些經(jīng)過(guò)特殊選擇的練習(xí)是有益處的，例如：（1）“如果一個(gè)三角形的各個(gè)角均合同，那么它的三邊也合同?！边@個(gè)論斷對(duì)嗎？對(duì)于六邊形敘述一個(gè)類似的語(yǔ)句。它成立嗎？（2）“正三角形內(nèi)（或邊上）一點(diǎn)到各邊的距離的和是一個(gè)常量?！边@個(gè)論斷對(duì)嗎？對(duì)于任一多邊形敘述一個(gè)類似的語(yǔ)句。驗(yàn)證這個(gè)語(yǔ)句是否成立。

培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成自覺(jué)地應(yīng)用類比以尋求難題的解法的習(xí)慣，是大有益處的。這時(shí)，可以向他們提出如下的一般解題計(jì)劃。

1、選擇一個(gè)和要求解的問(wèn)題相似的問(wèn)題，它和要求解的問(wèn)題有相似的條件和結(jié)論；輔助問(wèn)題應(yīng)當(dāng)比要求解的問(wèn)題簡(jiǎn)單，或者是已經(jīng)解決過(guò)的題目。

2、解答輔助題目；然后用類比推理以解答要求解的問(wèn)題。

例如，在解答立體幾何問(wèn)題時(shí)，最好注意與平面幾何問(wèn)題作類比。為了使學(xué)生能較好地掌握這種解題方法，最好在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候向?qū)W生提出一些用歸納法便于解答的問(wèn)題。在開始這樣作時(shí)，最好向?qū)W生提出兩個(gè)或者更多（而不是一個(gè)）內(nèi)容互相聯(lián)系的問(wèn)題，同時(shí)敘述其中每一個(gè)問(wèn)題的條件。例如：a）用等邊三角形的高表示它的內(nèi)切圓的半徑；b）用正四面體的高表示它的內(nèi)切球的半徑。

三、類比推理在數(shù)學(xué)中的錯(cuò)誤應(yīng)用

這里，有必要說(shuō)明什么是“有益的”類比，什么是“有害的”類比。將平面幾何的許多概念和判斷從思想上移到三維空間的幾何，就是“有益的類比”的一個(gè)例子。例如，“長(zhǎng)方形類似于長(zhǎng)方體?！睂?shí)際上，長(zhǎng)方形各邊之間的關(guān)系同長(zhǎng)方體的各棱之間的關(guān)系就很相似：

長(zhǎng)方形的每一邊同另一邊平行和相等，而同其余兩邊垂直。

長(zhǎng)方體的每一條棱同另一條棱平行和相等，而同其余一些垂直”。

我們注意到，長(zhǎng)方形的面積和長(zhǎng)方體的體積之間也存在著很明顯的類比關(guān)系。同時(shí)這種類比關(guān)系表現(xiàn)在許多方面，從公式S=a·b和V=a·b·c的形式直接推導(dǎo)這個(gè)公式的結(jié)構(gòu)（按長(zhǎng)方形和長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng)或棱長(zhǎng)可以表示成自然數(shù)、正有理數(shù)和實(shí)數(shù)三種情況依次加以證明）都很相似。

數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)了解隨便應(yīng)用類比會(huì)產(chǎn)生哪一些典型的錯(cuò)誤。學(xué)生往往會(huì)自發(fā)地采用這種“有害的”（錯(cuò)誤的）類比，而且學(xué)生本人甚至教師有時(shí)還弄不清楚為什么會(huì)產(chǎn)生這種錯(cuò)誤（當(dāng)然也就不可能糾正錯(cuò)誤）。在教學(xué)教學(xué)過(guò)程中，不僅教師本人應(yīng)當(dāng)借用有益的類比，而且應(yīng)當(dāng)要求學(xué)生能使用類比的方法進(jìn)行推理。這時(shí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)懂得，由類比得出的結(jié)論必須加以論證，因?yàn)椴荒芘懦贸鲥e(cuò)誤結(jié)論的情況。

例如下面幾例常見的錯(cuò)誤運(yùn)用類比的情形：

1、由眾所周知的被3和9整除的特征，類似地可以敘述也許成立的被27整除的特征：“如果一個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被27整除，那么這個(gè)數(shù)本身也能被27整除”。但是這相論斷是不正確的；

2、將眾所周知的有限和的加法法則硬搬到無(wú)限和的情況，可以作為“有害的”類比的一例。數(shù)學(xué)中有限和無(wú)限之間非常深刻的本質(zhì)區(qū)別，使得它們所具有的相似的性質(zhì)的數(shù)目大為減少。

3、由于數(shù)的加法和乘法的性質(zhì)有許多相同點(diǎn)，有時(shí)學(xué)生會(huì)將這兩種運(yùn)算的相似性質(zhì)錯(cuò)誤地類推到其他性質(zhì)上去。例如：在作分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生會(huì)錯(cuò)誤地同約去公因式作類比，而約去分式中分母和分母相同的一個(gè)加數(shù)。

4、由于平面幾何和立體幾何的的許多概念和命題之間有很多相似的地方，學(xué)生往往會(huì)將一種幾何的概念和命題搬到另一種幾何中去，因而出現(xiàn)錯(cuò)誤的情況。例如，“過(guò)空間已知直線上的一點(diǎn)，只能作一條直線垂直已知的直線，”“垂直于空間同一直線的兩條直線，一定互相平行，”“垂直于同一平面的兩個(gè)平面，一定互相平行，”等等。

顯然，教師應(yīng)當(dāng)及時(shí)向?qū)W生指出他們所出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤，讓他們注意不要作錯(cuò)誤的類比。