二階TGV 結合小波變換模的圖像去噪算法

張文靜，吳傳生，劉 欣

(武漢理工大學 理學院，湖北 武漢430070)

圖像去噪是圖像處理領域中的一個經典問題，也是圖像處理的底層技術之一。圖像去噪的目的是根據(jù)觀察到的降質圖像恢復原始真實圖像。在實際去噪過程中，一般圖像中的噪聲是不能夠完全去除的，因此很難獲得原始不含噪聲的圖像，而是得到原始不含噪圖像的估計圖像，也是某種意義下的最優(yōu)逼近。

圖像去噪方法很多，按照處理域的不同，圖像去噪方法主要分為兩大類：空間域去噪和變換域去噪?？臻g域方法有均值濾波、中值濾波、非局部平均濾波等;變換域去噪方法有基于傅里葉變換的降噪法和基于小波變換的去噪方法等?；谄⒎址匠?partial differential equation，PDE)的圖像去噪方法是空間域去噪的一種重要方法。偏微分方程的應用主要分為兩類：一種是基于方程的模型，另一種是基于變分法的思想。

在利用變分法去除圖像噪聲的方法中，經典的模型為RUDIN 等提出的TV 模型［1］。TV 模型克服了許多傳統(tǒng)方法的不足，在去除噪聲的同時能夠較好地保持圖像的邊緣，且TV 模型具有成熟的解的適定性質及數(shù)值解法理論，因此引起了眾多學者的廣泛關注。但是TV 模型僅能有效地逼近分片常數(shù)函數(shù)，在去噪時容易造成圖像平滑區(qū)域的階梯效應。目前，許多學者針對該問題提出了大量的改進模型，如四階偏微分方程模型、二階與四階偏微分方程相結合的模型、LOT 模型及TV-Stokes 模型等。

2009 年，BREDIES 等提出了總廣義變分(total generalized variation，TGV)［2-3］的數(shù)學概念。不同于TV，TGV 能夠有效逼近任意階的多項式函數(shù)，并且還具有旋轉不變性、凸性和下半連續(xù)等優(yōu)良性質。許多理論分析和實驗結果都表明，TGV 作為正則項在進行建模時能夠較好地防止階梯效應的產生。

筆者提出了用二階TGV 正則項代替TV 正則項的圖像去噪模型，該模型在去噪的同時能夠避免階梯效應的產生。同時，筆者研究了小波變換的模在邊緣檢測時的優(yōu)良性質，引入以小波變換模為參數(shù)的邊緣檢測函數(shù)，使新模型能夠對圖像邊緣和細節(jié)信息進行更好的保護。

1 TV 與TGV

根據(jù)噪聲性質的不同，有不同的圖像模型。筆者主要考慮加性噪聲的情況，因此，圖像去噪的數(shù)學模型為：

式中：f為觀察到的帶噪圖像;u為原始清晰圖像;n為加性噪聲。

圖像去噪是一個不適定［4］的線性逆問題，不具備解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性的條件。不適定問題一般可通過正則化模型求解。經典的去噪模型為TV 模型，表達形式為：

其中：第一項為TV 正則項;第二項為數(shù)據(jù)保真項;λ≥0 為正則參數(shù);Ω 為一有界區(qū)域。

用TV 模型去噪時，會使圖像光滑區(qū)域產生階梯效應。BREDIES 等提出了TGV 的數(shù)學概念。

設Ω?Rd是一個開區(qū)域，k≥1 且α0，…，αk-1＞0，則對任意的u∈(Ω)，k階TGV 定義為：

其中，Symk(Rd)為k階對稱張量。

當k=1 且α ＞0 時，有：

因此，TGV 可以看成是TV 的推廣。

利用Lengendre-Fenchel 對偶［5］，式(3)可以轉換為：

其中，ε(ul-1)為對稱梯度算子。

根據(jù)式(4)，二階TGV 可轉化為：

其中，BD(Ω)為有界扭曲的向量場空間，滿足?ω∈BD(Ω)，弱對稱的導數(shù)ε(ω)ω+▽ωT)是一個矩陣值的Radon 度量。

用TGV 正則項代替TV 正則項，得到的圖像去噪模型為：

2 小波變換模

圖像的邊緣通常位于圖像灰度變化最大的地方，即圖像灰度的突變點。小波變換［6］是圖像邊緣分析的一種重要方法，其將圖像信號在不同尺度下進行分解，信號的突變點(包括噪聲點、邊緣等)可由小波變換的過零點或極值點以及在不同尺度分量的變化來表示。圖像在不同尺度上小波變換的模極大值［7］集合包含了圖像中最重要的信息。圖像的信號和噪聲在不同尺度下的小波變換模特性也不同。對圖像進行若干次小波變換，隨著尺度的增大，信號和噪聲所對應的模極大值會分別增大和減小。因此可利用該性質區(qū)別噪聲和信號。

設θ(x，y)為二維平滑函數(shù)，滿足以下條件：

對于任意圖像信號f(x，y)∈L2(R2)，(f*θa)(x，y)表示f(x，y)經θa(x，y)平滑后的圖像，a為平滑的尺度。

由θa(x，y)定義的兩個二維小波為：

f(x，y)在尺度a上的小波變換的兩個分量為：

其矢量形式為：

當a為二進制小波變換時，a為2j(j∈Z)。

梯度矢量的模和梯度方向的表達式為：

若梯度模在(x，y)處為極大值，則意味著(f*θa)(x，y)在此處具有最大的方向導數(shù)，也就表明f(x，y)在(x，y)處發(fā)生突變，且方向為梯度方向，則可以認為(x，y)為圖像f(x，y)的邊緣點。

3 新模型

通常認為圖像上變化劇烈的點為圖像的邊緣點，由上述分析可知，梯度模為局部極大值的點可認為是圖像灰度突變點，即圖像的邊緣點。為保持圖像邊緣與細節(jié)，筆者考慮把小波變換模作為參數(shù)引入到TGV 正則化模型中，得到的新模型為：

其中：

由上述模型可知，在給定對比因子K的情況下，當|Ma f(x，y)|較大時，即對應為圖像的邊緣處，邊緣檢測函數(shù)g(Ma f(x，y))的值很小，意味著擴散較小，從而圖像的邊緣得到了保留。反之，當|Ma f(x，y)|較小時，則對應圖像的平坦區(qū)域，此時g(Ma f(x，y))的值接近于1，意味著擴散較強，從而能夠很好地去除平坦區(qū)域的噪聲。因此，新模型在去除噪聲的同時較好地保持了圖像邊緣。

利用Legendre -Fenchel 變換［8］，得到模型的對偶形式為：

其中：

用原始-對偶算法［9］求解式(17)的迭代公式為：

divh為對稱梯度算子ε 的復共軛，divh= -ε*，divh(q)

上述模型的數(shù)值解法步驟為：

(1)初始化。u0，ˉu0=f，ω0，ˉω0=0，p0，q0=0，δ，τ，λ ＞0，k=0;

(3)若uk+1和ωk+1收斂，則終止迭代過程。否則令k=k+1，繼續(xù)步驟(2)。

4 數(shù)值實驗

為了克服單純憑主觀視覺判斷圖像質量的局限性，筆者采用了一些客觀算法評價標準［`10］。

設圖像的分辨率為M×N，均方誤差(mean square error，MSE)為：

均方誤差的值越小，表明去噪后的估計圖像與原始圖像的近似度越高，去噪效果越好。

峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)為：

峰值信噪比越大，表示去噪效果越好。

筆者采用Lena 圖像作為測試圖，TV 模型與新模型的PSNR及MSE結果比較如表1 所示，圖1 為實驗的結果。

表1 TV 模型與新模型的PSNR 及MSE 結果比較

由實驗結果可知，用TV 模型進行去噪后的圖像中含有大量的階梯效應，看起來并不光滑，而新模型去噪后的圖像中不存在這種現(xiàn)象，且新模型較好地保持了圖像邊緣。對上述兩種方法峰值信噪比和均方誤差的結果進行比較可知，新模型優(yōu)于TV 模型。

圖1 Lena 圖實驗結果

5 結論

筆者提出了用二階TGV 正則項代替TV 正則項的圖像去噪模型，并在該模型中引入了以小波變換模為參數(shù)的邊緣檢測函數(shù)。實驗結果和質量評價參數(shù)的計算結果表明，該模型能夠有效緩解階梯效應，并能保持良好的邊緣。

［1］RUDIN L，OSHER S，F(xiàn)ATEMI E.Nonlinear total variation based noise removal algorithms［J］. Physical D，1992(60)：259 -268.

［2］BREDIES K，KUNISCH K，POCK T.Total generalized variation［J］. SIAM Journal on Imaging Sciences，2010，3(3)：492 -526.

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［4］劉繼軍.不適定問題的正則化方法及應用［M］. 北京：科學出版社，2005：76 -134.

［5］CHAMBOLLE A.An algorithm for total variation minimization and applications［J］.Journal of Mathematical Imaging and Vision，2004，20(1 -2)：89 -97.

［6］孫延奎. 小波變換與圖像、圖形處理技術［M］. 北京：清華大學出版社，2012：54 -87.

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［8］許建樓.交替方向法和TGV 正則在圖像處理中的應用研究［D］.西安：西安電子科技大學圖書館，2013.

［9］CHAMBOLLE A，POCK T. A first-order primal-dual algotithm for convex problems with applications to imaging［J］. Journal Mathematical Imaging Vision，2011，40(1)：120 -145.

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